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1、平稳随机过程的功平稳随机过程的功率谱密度率谱密度第一页，讲稿共三十页哦一、平稳过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度 1.平均功率和能量谱密度平均功率和能量谱密度 且且 绝对可积绝对可积,换存在或者说具有频谱换存在或者说具有频谱 狄利克雷资料狄利克雷资料且同时有傅立叶逆变换且同时有傅立叶逆变换 第二页，讲稿共三十页哦等式等式:称为称为x(t)的能量谱密度的能量谱密度帕塞瓦尔资料帕塞瓦尔资料平均功率平均功率 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.上的平均功率上的平均功率.第三页，讲稿共三十页哦平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式 它的帕塞瓦尔等式它的帕塞
2、瓦尔等式 绝对可积傅立叶资料傅立叶资料第四页，讲稿共三十页哦变形得变形得称为称为 x(t)的平均功率谱密度的平均功率谱密度 第五页，讲稿共三十页哦2.平稳过程的平均功率和能量谱密度平稳过程的平均功率和能量谱密度 交换定义式中积分与均值的运算顺序交换定义式中积分与均值的运算顺序,并注并注 于是于是 平稳过程的平均功率该过程的均方值第六页，讲稿共三十页哦即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或 即即 也简称为也简称为自谱密度自谱密度或或谱密度谱密度,它是从频率这个角度它是从频率这个角度 第七页，讲稿共三十页哦物理意义物理意义:第八页，讲稿共三十页哦二、谱密度
3、的性质二、谱密度的性质 性质性质1 性质性质2 2 它们统称为它们统称为维纳维纳-辛钦辛钦(Wiener-Khinchin)公式公式.辛钦资料辛钦资料维纳资料维纳资料第九页，讲稿共三十页哦说明说明:1.1.平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,维纳维纳-辛钦公式成立辛钦公式成立.所以维纳所以维纳-辛钦辛钦公式还可以写成如下的形式公式还可以写成如下的形式:第十页，讲稿共三十页哦规律之间的联系规律之间的联系.方法或等价的频率域方法去解决实际问题方法或等价的频率域方法去解决实际问题.3.维纳维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函辛钦公式又称为平稳过程自相关函 数的谱
4、表示式数的谱表示式.它揭示了从时间角度描述平稳过程它揭示了从时间角度描述平稳过程 在应用上我们可以根据实际情形选择时间域在应用上我们可以根据实际情形选择时间域 第十一页，讲稿共三十页哦例例1 1 解解 第十二页，讲稿共三十页哦第十三页，讲稿共三十页哦例例2 2 解解 由公式知自相关函数由公式知自相关函数 可算得可算得 利用留数定理利用留数定理,第十四页，讲稿共三十页哦均方值为均方值为 说明说明 有理谱密度有理谱密度 第十五页，讲稿共三十页哦有关实际问题仍能得到圆满有关实际问题仍能得到圆满 其谱密度都是离散的其谱密度都是离散的.在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程在实际问题中常常碰到这样一些平稳
5、过程,们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶 变换或逆变换不存在变换或逆变换不存在,此时如果允许谱密度和自相此时如果允许谱密度和自相 解决解决.在这种情况下在这种情况下,自相关函数为常数或正弦型函自相关函数为常数或正弦型函 数的平稳过程数的平稳过程,它它 第十六页，讲稿共三十页哦通常用单位有向线段来表示通常用单位有向线段来表示.第十七页，讲稿共三十页哦就有就有 据此可以写出以下傅立叶变换对：据此可以写出以下傅立叶变换对：第十八页，讲稿共三十页哦其谱密度都是离散的其谱密度都是离散的.由此可见，由此可见，自相关函数为常数或正弦型函数的平自相关函数为常数
6、或正弦型函数的平 稳过程，稳过程，第十九页，讲稿共三十页哦解解 所要求的谱密度为所要求的谱密度为 相应的谱密度如图所示相应的谱密度如图所示:外的周期信号的外的周期信号的.例例3 3 此图说明了谱密度此图说明了谱密度 是如何表明噪声以是如何表明噪声以 第二十页，讲稿共三十页哦白噪声白噪声 均值为零而谱密度为正常数均值为零而谱密度为正常数,即即2.白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数 1.1.定义定义 简称白噪声简称白噪声.其名出于白光具有均匀光谱的缘故其名出于白光具有均匀光谱的缘故.第二十一页，讲稿共三十页哦说明说明 那就可把它近似地当作白噪声来处理那就可把它近似地当作白噪声来处理.(1)白噪声
7、也可定义为均值为零、自相关函数为白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为 (2)白噪声是一种理想化的数学模型白噪声是一种理想化的数学模型.它的平均功它的平均功 率是无限的率是无限的.白噪声在数学处理上具有简单、方便白噪声在数学处理上具有简单、方便优点优点.如果某种噪声如果某种噪声(或干扰或干扰)在比实际考虑的有用在比实际考虑的有用 频带宽得多的范围内频带宽得多的范围内,具有比较具有比较“平坦平坦”的谱密度的谱密度,第二十二页，讲稿共三十页哦三、互谱密度及其性质三、互谱密度及其性质互谱密度的定义互谱密度的定义 称称 说明：说明：第二十三页，讲稿共三十页哦互谱密度的性质：互谱密度的性质：有如下维纳有
8、如下维纳-辛钦公式辛钦公式 第二十四页，讲稿共三十页哦4.4.互谱密度与自谱密度之间成立有不等式互谱密度与自谱密度之间成立有不等式 注意注意 要运用互谱密度要运用互谱密度.例如例如:(1)在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时时,第二十五页，讲稿共三十页哦根据维纳根据维纳-辛钦公式辛钦公式,第二十六页，讲稿共三十页哦(2)互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义,引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个 平稳过程的相关性平稳过程的相关性.例如例如:补充例题补充例题第二十七页，讲稿共三十页哦四、小结四、小结得到谱密度得到谱密度.平稳过程平稳过程X(t)的的功率谱密度功率谱密度平稳过程平稳过程X(t)和和Y(t)的的互谱密度互谱密度 为了计算平稳过程的谱密度为了计算平稳过程的谱密度(或互谱密度或互谱密度)，一，一般总是先求出相关函数般总是先求出相关函数,再进行再进行FT(维纳维纳-辛钦公式辛钦公式)第二十八页，讲稿共三十页哦