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1、第22届届全国中中学生物物理竞赛赛复赛题题O1O2OAB一、图中中的是游游乐场中中的滑道道模型，它它位于竖竖直平面面内,由由两个半半径都是是的1/44圆周连连接而成成，它们们的圆心心、与两圆圆弧的连连接点在在同一竖竖直线上上沿水水池的水水面一一小滑块块可由弧弧的任意意点从静静止开始始下滑 1若小小滑块从从开始下下滑到脱脱离滑道道过程中中，在两两个圆弧弧上滑过过的弧长长相等，则则小滑块块开始下下滑时应应在圆弧弧上的何何处？（用用该处到到的连线线与竖直直线的夹夹角表示示）2凡能能在点脱脱离滑道道的小滑滑块，其其落水点点到的距距离如何何？二、如图图所示，O为半径等于于R的原来不不带电的的导体球球的球
2、心心，O1、O2、O3为位于于球内的的三个半径皆皆为r的球形形空腔的球心，它它们与OO共面，已已知在OO1、OO2的连线线上距OO1、O2为的P1、P2点处分别放置置带电量为q1和q2的线度度很小的的导体（视视为点电电荷），在在O3处放置置一带电电量为q3的点电电荷，设设法使qq1、q2和q3固定不不动在在导体球球外的PP点放一个个电量为为Q的点电荷荷，P点与O1、O2、O3共面，位位于的延延长线上上，到OO的距离离1求qq3的电势势能O1O2O3PP2P1ORRr2将带带有电量量q1、q2的小导导体释放放，当重重新达到到静电平平衡时，各各表面上上的电荷荷分布有有何变化化？ 此此时q3的电势势
3、能为多多少？p0r三、(222分) 如图图所示，水水平放置置的横截截面积为为S的带有有活塞的的圆筒形形绝热容容器中盛盛有1mmol 的理想想气体其内能能，C为已知知常量，T为热力学温度器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为F图中r为电阻丝，通电时可对气体缓慢加热起始时，气体压强与外界大气压强p0相等，气体的温度为T0现开始对r通电，已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收若用Q表示气体从电阻丝吸收的热量，T表示气体的温度，试以T为纵坐标，Q为横坐标，画出在Q不断增加的过程中T和Q的关系图线并在图中用题给的已知量及普适气体常量R标出反映图线特征
4、的各量（不要求写出推导过程）四、（223分）封封闭的车车厢中有有一点光光源S，在距距光源ll处有一一半径为为r的圆孔孔，其圆圆心为OO1，光源源一直在在发光，并并通过圆圆孔射出出车厢厢以高速速v沿固定定在水平平地面上上的x轴正方方向匀速速运动，如如图所示示某一一时刻，点点光源SS恰位于于x轴的原原点O的正上上方，取取此时刻刻作为车车厢参考考系与地地面参考考系的时时间零点点在地地面参考考系中坐坐标为xxA处放一一半径为为R（R r）的不不透光的的圆形挡挡板，板板面与圆圆孔所在在的平面面都与xx轴垂直直板的的圆心OO2、S、O1都等高高，起始始时刻经经圆孔射射出的光光束会有有部分从从挡板周周围射到
5、到挡板后后面的大大屏幕（图图中未画画出）上上由于于车厢在在运动，将将会出现现挡板将将光束完完全遮住住，即没没有光射射到屏上上的情况况不考考虑光的的衍射试求：1车厢厢参考系系中（所所测出的的）刚出出现这种种情况的的时刻 2地面面参考系系中（所所测出的的）刚出出现这种种情况的的时刻 SvRxAOlrO2O1五、（225分）一一个用绝绝缘材料料制成的的扁平薄薄圆环，其其内、外外半径分分别为aa1、a2，厚度度可以忽忽略两两个表面面都带有有电荷，电电荷面密密度随离离开环心心距离rr变化的的规律均均为，为已知知常量薄圆环环绕通过过环心垂垂直环面面的轴以以大小不不变的角角加速度度减速转转动，tt = 0时
6、刻刻的角速速度为将一半半径为aa0(a0vA、vB 七、（225分）如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球BA用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图试ABkxOl求任意时刻两球的坐标第22届届全国中中学生物物理竞赛赛复赛题题参考解解答O1O2OABP1P2qq一、1如图所所示，设设滑块出出发点为为，离开开点为，按按题意要要求、与竖直直方向的的夹角相相等，设设其为，若若离开滑滑道时的的速度为为v，则滑滑块在处处脱
7、离滑滑道的条条件是 (1)由机械能能守恒 (2)(1)、(2)联立立解得或 (3)2设滑滑块刚能能在O点离开开滑道的的条件是是 （44）v0为滑滑块到达达O点的速速度，由由此得 （5）设到达OO点的速速度为vv0的滑块块在滑道道OA上的的出发点点到的连连线与竖竖直的夹夹角为，由由机械能能守恒，有有 （6）由（5）、（66）两式式解得 （7）若滑块到到达O点时的的速度，则则对OBB滑道来来说，因因O点可能能提供的的最大向向心力为为mg，故故滑块将将沿半径径比R大的圆圆周的水水平切线线方向离离开O点对对于的滑滑块，其其在OAA上出发发点的位位置对应应的角必必大于，即即，由于于，根据据机械能能守恒，
8、到到达O点的最最大速度度 （8）由此可知知，能从从O点离开开滑道的的滑块速度度是v0到之间所所有可能能的值，也也就是说说，从至下滑的的滑块都都将在OO点离开开滑道以速度度v0从O点沿水水平方向向滑出滑滑道的滑滑块，其其落水点点至的距距离（9）（100）由（5）、（99）、（110）式式得（111）当滑块以以从O点沿水水平方向向滑出滑滑道时，其其落水点点到的距距离（122）由（8）、（110）、（112）式式得（133）因此，凡凡能从OO点脱离离滑道的的滑块，其其落水点点到的距距离在到到之间的的所有可可能值即（144）二、1由静电电感应知知空腔1、22及3的表表面分别别出现电量为、和的面电电荷，
9、由由电荷守守恒定律律可知，在在导体球球的外表表面呈现现出电量量由静电电屏蔽可可知，点点电荷qq1及感应应电荷（）在空腔外外产生的的电场为为零；点电荷荷q2及感应应电荷（）在空腔外外产生的的电场为为零；点电荷荷q3及感应应电荷（）在空腔外外产生的的电场为为零因因此，在在导体球球外没有有电荷时时，球表表面的电电量作球球对称分分布当球外PP点处放置置电荷Q后，由于静静电感应应，球面面上的总总电量仍仍为，但但这些电电荷在球球面上不不再均匀分分布，由由球外的的Q和重新分分布在球球面上的的电荷在导体球内内各点产产生的合合场强为为零O3处的的电势由由位于P点处的的Q、导体球球表面的的电荷及及空腔33表面的的
10、感应电电荷（）共共同产生生无论在球球面上如如何分布布，球面面上的面面电荷到到O点的距距离都是是R，因而在在O点产生生的电势势为， Q在O点产生生的电势势为，这两部部分电荷荷在O3点产生的的电势与与它们在在O点产生的的电势相等等，即有有 （11）因q3放放在空腔腔3的中中心处，其其感应电电荷在空空腔3壁壁上均匀匀分布这些电电荷在OO3点产生的的电势为为 (22)根据电势势叠加定定理，OO3点的电电势为 (3)故q3的的电势能能 (44)2 由由于静电电屏蔽，空空腔1外所有有电荷在在空腔11内产生生的合电电场为零零，空腔腔1内的电电荷q1仅受到到腔内壁壁感应电电荷的静静电力作作用，因因q1不在空腔
11、腔1的中中心O1点，所所以感应应电荷在在空腔表面分分布不均均匀，与与q1相距较较近的区区域电荷荷面密度度较大，对对q1的吸力较大，在在空腔表面感感应电荷荷的静电电力作用用下，qq1最后到到达空腔腔1表面面，与感感应电荷荷中和同同理，空空腔2中q2也将在在空腔表面感感应电荷荷的静电电力作用用下到达达空腔22的表面面与感应应电荷中中和达达到平衡衡后，腔腔1、22表面上上无电荷荷分布，腔腔3表面面和导体体球外表表面的电电荷分布布没有变变化OO3的电势仍由由球外的的电荷QQ和导体体球外表表面的电电量及空空腔3内内壁的电电荷共同同产生，故故O3处的电电势U与q3的电势势能W仍如(3)式式与(44)式所所
12、示三、答案案如图所所示abdQTT0 tanq2=q1q2附计算过过程：电阻通通电后对对气体缓缓慢加热热，气体体的温度度升高，压压强增大大，活塞塞开始有有向外运运动的趋趋势，但但在气体体对活塞塞的作用用力尚未未达到外外界大气气对活塞塞的作用用力和器器壁对活活塞的最最大静摩摩擦之和和以前，活活塞不动动，即该该过程为为等容过过程因因气体对对外不做做功，根根据热力力学第一一定律可可知，在在气体温温度从TT0升高到T的过程程中，气气体从电电阻丝吸吸收的热热量， (1)此过程将将持续到到气体对对活塞的的作用力力等于外外界大气气对活塞塞的作用用力和器器壁对活活塞的最最大静摩摩擦之和和若用用T1表示此此过程
13、达达到末态态的温度度，p表示末末态的压压强，QQ1表示此此过程中中气体从从电阻丝丝吸收的的热量，由由等容过过程方程程有(2)由力的平平衡可知知(3)由（2）、（33）两式式可得 (44)代入(11)式得得 (55)由以上讨讨论可知知，当时时，T与Q的关系系为 (6)在图中为为一直线线如图中中所示，其其斜率 (7)直线在TT轴上的的截距等等于T0，直线线ab的终终点b的坐标标为（TT1，Q1）当电阻丝丝继续加加热，活活塞开始始向外运运动以后后，因为为过程是是缓慢的的，外界界大气压压及摩擦擦力皆不不变，所所以气体体的压强强不变，仍仍是p，气体体经历的的过程为为等压过过程在在气体的的体积从从初始体体
14、积V0增大到到V，温度度由T1升高到到T的过程程中，设设气体从从电阻丝丝吸收的的热量为为，活塞塞运动过过程中与与器壁摩摩擦生热热的一半半热量为为q，由热热力学第第一定律律可知(8)q可由摩摩擦力做做功求得得，即(9)代入（88）式得得(100)由状态方方程式可可知 (111)将（111）式和和（4）式式代入（110）式式，得即（122）从开始对对气体加加热到气气体温度度升高到到T( T1)的过过程中，气气体从电电阻丝吸吸收的总总热量（133）把（133）式代代入到（112）式式，并注注意到（44）式和和（5），得得（14）由此可知知，当时时，T与Q的关系系仍为一一直线，此此直线起起点的坐坐标为
15、，；斜率率为（155）在图中中，就是是直线bbd，当当热量QQ从零开开始逐渐渐增大，气气体温度度T 将从从起始温温度T0沿着斜斜率为KKab的直直线上升升到温度度为T1的b点，然然后沿着着斜率为为Kbd的直直线上升升，如图图所示rRlLS四、1相对于于车厢参参考系，地地面连同同挡板以以速度vv趋向光光源S运动由S发出的的光经小小孔射出出后成锥锥形光束束，随离离开光源源距离的的增大，其其横截面面积逐渐渐扩大若距SS的距离离为L处光束束的横截截面正好好是半径径为R的圆面面，如图图所示，可得 (1)设想车厢厢足够长长，并设设想在车车厢前端端距S为L处放置置一个半半径为RR的环，相相对车厢厢静止，则则
16、光束恰恰好从环环内射出出当挡挡板运动动到与此此环相遇遇时，挡挡板就会会将光束束完全遮遮住此此时，在在车厢参参考系中中挡板离离光源SS的距离离就是LL在车车厢参考考系中，初初始时，根根据相对对论，挡挡板离光光源的距距离为(2)故出现挡挡板完全全遮住光光束的时时刻为(3) 由（11）、（33）式得得(4)2相对对于地面面参考系系，光源源与车厢厢以速度度v向挡板运运动光光源与孔孔之间的的距离缩缩短为 (55)而孔半径径r不变，所所以锥形形光束的的顶角变变大，环环到S的距离离即挡板板完全遮遮光时距距离应为为 (66)初始时，挡挡板离SS的距离离为xA，出现现挡板完完全遮住住光束的的时刻为为 (77)五
17、、用半半径分别别为r1（a1），r2，ri，rn1（a2）的n-1个个同心圆圆把塑料料薄圆环环分割成成n个细圆圆环第第i个细圆圆环的宽宽度为，其其环带面面积式中已略略去高阶阶小量，该细细圆环带带上、下下表面所所带电荷荷量之和和为设时刻tt，细圆圆环转动动的角速速度为w ，单位时间间内，通通过它的的“横截面面”的电荷荷量，即即为电流流由环形电电流产生生磁场的的规律，该该细圆环环的电流流在环心心产生的的磁感应应强度为为 (1)式中是一一个微小小量，注注意到，有有 (2)将各细圆圆环产生生的磁场场叠加，由由（1）、（22）式得得出环心心O点处的的磁感应应强度： (33)由于a00a1，可以以认为在在
18、导线圆圆环所在在小区域域的磁场场是匀强强磁场，可可由O点的场场表示磁场对对导线环环的磁通通量(4)由于是变变化的，所所以上述述磁通量量是随时时间变化化的，产产生的感感应电动动势的大大小为 (5)由全电路路欧姆定定律可知知，导线线环内感感应电流流的大小小为 (6)MNQqDqDfDfxDfyxyODxDyDlDfDfxDfyDlUV设题图中中薄圆环环带正电电作逆时时针旋转转，穿过过导线圆圆环的磁磁场方向向垂直纸纸面向外外，由于于薄圆环环环作减减角速转转动，穿穿过导线线圆环的的磁场逐逐渐减小小，根据据楞次定定律，导导线圆环环中的感感应电流流亦为逆逆时针方方向，导导线圆环环各元段段Dl所受的的安培力
19、力都沿环环半径向向外现现取对于于y轴两对对称点UU、V，对应应的二段段电流元元所受的的安培力力的大小小为 (7)方向如图图所示，它它沿x及y方向分量量分别 (88) (99)根据对称称性，作作用于沿沿半个导导线圆环环QMNN上的各各电流元元的安培培力的xx分量之之和相互互抵消，即即 (100)（式中，当当时，是正正的，当当时，是负负的，故故），而作用于于沿半个个导线圆圆环QMMN上的的各电流流元的安安培力的的y分量之之和为 (111) （式中，由由于q 在0p之间都是正正的，故故），即半个导导线圆环环上受的的总安培培力的大大小为，方方向沿yy正方向向，由于于半个圆圆环处于于平衡状状态，所所以在
20、导导线截面面Q、N处所受受（来自自另外半半个圆环环）的拉拉力（即即张力）F应满足由（3）、（6）两式得 (122)由（122）式可可见，张张力F随时间t线性减减小A(t1)B(t)qB(t)A(t)vBvAOqA(t1)六、如图图所示，t时刻汽车B位于处，距O点的距离为vBt此时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的汽车A发出此笛声时位于处，距O点的距离为此笛声由发出点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u(tt1)，由几何关系可知 (11)即这是以tt1为变量量的一元元二次方方程，其其解为 由于，但但t1t，所以以上式中中只能取取减号(2) (3)令(4)有， (55
21、)在时刻，位位于处的的汽车AA发出的的笛声沿沿直线（即即波线）在t时刻传到处，以、分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有(6)(7)令n 表示BB车司机机接收到到的笛声声的频率率，由多多普勒效效应可知知(8) 由（66）、（77）、（88）式，得得(9)七、解法法一：ABkxOlC对于由小小球A、BB和弹簧簧构成的的系统，当当A、BB之间的的距离为为l时，已已知mA = m，mB = 2m，由质质心的定定义，可可知系统统的质心心C离A的的距离 （11）故A、BB到质心心C的距离离分别为为（2）若以质心心C为参考考系（质质心系），则则质心CC是固定定不动的的，连接接A、BB的弹簧簧可以分分成两个个
22、弹簧CCA和CB设设弹簧CCA的自自然长度度为lA0，劲度度系数为为kA，一端端与小球球A相连连，另一一端固定定在C点；弹弹簧CBB的的自自然长度度为lB0，劲度度系数为为kB，一端端与小球球B相连连，另一一端亦固固定在CC点若若连接AA、B的的自然长长度为ll0，根据据题意有有（3）由（2）式式可知弹弹簧CAA和CB的自自然长度度分别为为（4）当A被被悬挂，系系统处于于静止时时，已知知连接AA、B的的弹簧长长度为ll，由（22）式可可知，此此时弹簧簧CA和CB的长长度分别别为（5）弹簧CAA、CB作用用于A、BB的弹簧簧力分别别为但fA 、fB就是连连接A、BB的弹簧簧因拉伸伸而产生生的弹力
23、力f，即有有由此得（6）相对地面面，质心心C是运动动的，在在t = 0 时时刻，即即细线刚刚烧断时时刻，AA位于OOx轴的的原点OO处，即即；B的的坐标由（11）式，可可知此时时质心CC的坐标标为（7）在细线烧烧断以后后，作用用于系统统的外力力是重力力故质质心以gg为加速速度做匀匀加速直直线运动动，任意意时刻tt，质心心的坐标标（8）由于质心心作加速速运动，质质心系是是非惯性性系在在非惯性性参考系系中，应应用牛顿顿第二定定律研究究物体的的运动时时，物体体除受真真实力作作用外，还还受惯性性力作用用若在在质心系系中取一一坐标轴轴，原点点与质心心C固连，取取竖直向向下为轴轴的正方方向，当当小球BB在
24、这参参考系中中的坐标标为时，弹弹簧CBB作用于于B的弹弹性力当时，方方向竖直直向上此外，BB还受到到重力mmg，方方向竖直直向下；惯性力力大小为为mg，方方向竖直直向上作用于于B的合合力由（3）、（44）式得得（9）令（100）有（111）当XB = 00，作用用于B的的合力FFB = 0，BB处于平平衡状态态，由（110）式式，可知知在质心心系中，BB的平衡衡位置的的坐标（122）XB为BB离开其其平衡位位置的位位移，（111）式式表明，作作用于BB的合力力具有弹弹性力的的性质，故故在FB作用下下， BB将在平平衡位置置附近作作简谐振振动，振振动圆频频率（133）离开平衡衡位置的的位移（14
25、4）AB为振振幅，为为初相位位在tt = 0时刻刻，即细细线刚烧烧断时刻刻，B是是静止的的，故此此时B离离开其平平衡位置置的距离离就是简简谐振动动的振幅幅AB，而在在t = 0时刻刻，B离离开质心心的距离离即（55）式给给出的llB，故BB离开平平衡位置置的距离离即振幅幅由（5）式式、（112）式式得（15）因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故由此得（16）由（100）式，t时刻B在质心系中的坐标（17）在地面参参考系的的坐标（18）得（19）同理，当当小球AA在质心心系中的的坐标为为时，注注意到是是负的，这这时，弹弹簧CAA的伸长长量为，当为负时时，弹力力向下，为为正，当当为正时时，
26、弹力力向上，为为负，故故有作用于AA的合力力为令有当XA=0，作作用于AA的合力力FB = 0，AA处于平平衡状态态，A的的平衡位位置的坐坐标（200）XA为AA离开其其平衡位位置的位位移，故故在合力力FA作用下下， AA将在平平衡位置置附近作作简谐振振动，振振动圆频频率（211）离开平衡衡位置的的位置AA为振振幅，为为初相位位在tt = 0时刻刻，即细细线刚烧烧断时刻刻，A是是静止的的，A离离开质心心C的距离离为lA，A的的平衡位位置离开开质心的的距离为为故此时时A离开开平衡位位置的距距离即为为振幅AAA，而此时，故故由此得（22）在时刻tt，A在在地面参参考系中中的坐标标解法二：当球相对对
27、于地面面参考系系的坐标标为时，弹弹簧的伸伸长量为为，所受的的合力为为其加速度度为其相对于于质心的的加速度度为其中表示示球相对对于其平平衡位置置的位移移，在相相互平动动的两个个参考系系中，相相对位移移与参考考系无关关 上式表表明，相相对质心心，球的的加速度度与其相相对于平平衡位置置的位移移成正比比且反向向也就是是说，球球相对质质心作简简谐振动动 同理理可证，其相对于于质心的的加速度度为其中表示示球相对对于其平平衡位置置的位移移，相对对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向，即球相对质心也作简谐振动且有与振动的圆频率相等， x1, x2, kxOAB解法三： 在地面参参考系中中，列AA、B的的牛顿定定律方程程2x1、xx2是A、BB的坐标标，l0是弹簧簧的自然然长时，有为初始时时即细线线刚烧断断时刻，弹弹簧的长长度，有有关系所以由+，令，是一一个恒定定的加速速度，结结合初始始条件，对应的坐标和运动方程是，再由，这是一个个以A为为参考系系描写BB物体运运动的动动力学方方程，且且是简谐谐的，所所以直接接写出解解答，结合初条条件，得到所以即由，得由+，得得