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1、第22届全国中学生物理竞赛复赛题O1O2OAB一、图中的是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是的1/4圆周连接而成，它们的圆心、与两圆弧的连接点在同一竖直线上沿水池的水面一小滑块可由弧的随意点从静止开场下滑 1若小滑块从开场下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开场下滑时应在圆弧上的何处？（用该处到的连线与竖直线的夹角表示）2凡能在点脱离滑道的小滑块，其落水点到的间隔 如何？O1O2O3PP2P1ORRr二、如图所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O1、O2、O3为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知在OO1、OO2的连线
2、上距O1、O2为的P1、P2点处分别放置带电量为q1和q2的线度很小的导体（视为点电荷），在O3处放置一带电量为q3的点电荷，设法使q1、q2和q3固定不动在导体球外的P点放一个电量为Q的点电荷，P点与O1、O2、O3共面，位于的延长线上，到O的间隔 1求q3的电势能2将带有电量q1、q2的小导体释放，当重新到达静电平衡时，各外表上的电荷分布有何改变？ 此时q3的电势能为多少？p0r三、(22分) 如图所示，程度放置的横截面积为S的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有1mol 的志向气体其内能，C为已知常量，T为热力学温度器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为F图中r为电
3、阻丝，通电时可对气体缓慢加热起始时，气体压强与外界大气压强p0相等，气体的温度为T0现开场对r通电，已知当活塞运动时克制摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体汲取若用Q表示气体从电阻丝汲取的热量，T表示气体的温度，试以T为纵坐标，Q为横坐标，画出在Q不断增加的过程中T和Q的关系图线并在图中用题给的已知量及普适气体常量R标出反映图线特征的各量（不要求写出推导过程）SvRxAOlrO2O1四、（23分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源始终在发光，并通过圆孔射出车厢以高速v沿固定在程度地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点
4、O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直板的圆心O2 、S、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有局部从挡板四周射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的状况不考虑光的衍射试求：1车厢参考系中（所测出的）刚出现这种状况的时刻 2地面参考系中（所测出的）刚出现这种状况的时刻 a1a2a0五、（25分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a1、a2，厚度可以忽视两个外表都带有电荷，电荷面密度随分开环心间隔 r改变
5、的规律均为，为已知常量薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度减速转动，t = 0时刻的角速度为将一半径为a0 (a0 vA、vB ABkxOl七、（25分） 如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球BA用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图试求随意时刻两球的坐标第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答O1O2OABP1P2qq一、1如图所示，设滑块动身点为，分开点为，按题意要求、与竖直方向的夹角相等，设
6、其为，若分开滑道时的速度为v，则滑块在处脱离滑道的条件是 (1)由机械能守恒 (2)(1)、(2)联立解得 或 (3)2设滑块刚能在O点分开滑道的条件是（4）v0为滑块到达O点的速度，由此得（5）设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的动身点到的连线与竖直的夹角为，由机械能守恒，有（6）由（5）、（6）两式解得（7）若滑块到达O点时的速度，则对OB滑道来说，因O点可能供应的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的程度切线方向分开O点对于的滑块，其在OA上动身点的位置对应的角必大于，即，由于，依据机械能守恒，到达O点的最大速度（8）由此可知，能从O点分开滑道的滑块速度是v0到之间全部可能
7、的值，也就是说，从至下滑的滑块都将在O点分开滑道以速度v0从O点沿程度方向滑出滑道的滑块，其落水点至的间隔 （9） （10）由（5）、（9）、（10）式得 （11）当滑块以从O点沿程度方向滑出滑道时，其落水点到的间隔 （12）由（8）、（10）、（12）式得 （13）因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到的间隔 在到之间的全部可能值即（14）二、1由静电感应知空腔1、2及3的外表分别出现电量为、和的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外外表呈现出电量由静电屏蔽可知，点电荷q1及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（）在空
8、腔外产生的电场为零因此，在导体球外没有电荷时，球外表的电量作球对称分布当球外P点处放置电荷Q后，由于静电感应，球面上的总电量仍为，但这些电荷在球面上不再匀称分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零O3处的电势由位于P点处的Q、导体球外表的电荷及空腔3外表的感应电荷（）共同产生无论在球面上如何分布，球面上的面电荷到O点的间隔 都是R，因此在O点产生的电势为， Q在O点产生的电势为，这两局部电荷在O3点产生的电势与它们在O点产生的电势相等，即有 （1）因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷在空腔3壁上匀称分布这些电荷在O3点产生的电势为 (2)依据电势叠加定理，O3点的
9、电势为 (3)故q3的电势能 (4)2 由于静电屏蔽，空腔1外全部电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷在空腔外表分布不匀称，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在空腔外表感应电荷的静电力作用下，q1最终到达空腔1外表，与感应电荷中和同理，空腔2中q2也将在空腔外表感应电荷的静电力作用下到达空腔2的外表与感应电荷中和到达平衡后，腔1、2外表上无电荷分布，腔3外表和导体球外外表的电荷分布没有改变O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外外表的电量及空腔3内壁的电荷共同产生，故O3处的电势U与q3的
10、电势能W仍如(3)式与(4)式所示三、答案如图所示abdQTT0 tanq2=q1q2附计算过程：电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度上升，压强增大，活塞开场有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未到达外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程因气体对外不做功，依据热力学第肯定律可知，在气体温度从T0升高到T的过程中，气体从电阻丝汲取的热量， (1)此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和若用T1表示此过程到达末态的温度，p表示末态的压强，Q1表示此过程中气体从电阻丝汲取的热量，由等容过程方程有 (2)
11、由力的平衡可知 (3) 由（2）、（3）两式可得 (4)代入(1)式得 (5)由以上探讨可知，当时，T与Q的关系为 (6)在图中为始终线如图中所示，其斜率 (7)直线在T轴上的截距等于T0，直线ab的终点b的坐标为（T1，Q1）当电阻丝接着加热，活塞开场向外运动以后，因为过程是缓慢的，外界大气压及摩擦力皆不变，所以气体的压强不变，仍是p，气体经验的过程为等压过程在气体的体积从初始体积V0增大到V，温度由T1上升到T的过程中，设气体从电阻丝汲取的热量为，活塞运动过程中与器壁摩擦生热的一半热量为q，由热力学第肯定律可知(8)q可由摩擦力做功求得，即 (9)代入（8）式得 (10)由状态方程式可知
12、(11)将（11）式和（4）式代入（10）式，得 即（12）从开场对气体加热到气体温度上升到T( T1)的过程中，气体从电阻丝汲取的总热量（13）把（13）式代入到（12）式，并留意到（4）式和（5），得（14）由此可知，当时，T与Q的关系仍为始终线，此直线起点的坐标为，；斜率为（15）在图中，就是直线bd，当热量Q从零开场渐渐增大，气体温度T 将从起始温度T0沿着斜率为Kab的直线上升到温度为T1的b点，然后沿着斜率为Kbd的直线上升，如图所示rRlLS四、1相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随分开光源间隔 的增大，其横截面积渐渐扩大若距
13、S的间隔 为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，则有 可得 (1)设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住此时，在车厢参考系中挡板离光源S的间隔 就是L在车厢参考系中，初始时，依据相对论，挡板离光源的间隔 为(2)故出现挡板完全遮住光束的时刻为(3) 由（1）、（3）式得(4)2相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动光源与孔之间的间隔 缩短为 (5)而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的间隔 即挡板完全遮光时间隔 应为 (6)初始时，挡板离S的间隔 为xA，出
14、现挡板完全遮住光束的时刻为 (7)五、用半径分别为r1（a1），r2，ri，rn1（a2）的n-1个同心圆把塑料薄圆环分割成n个细圆环第i个细圆环的宽度为，其环带面积式中已略去高阶小量，该细圆环带上、下外表所带电荷量之和为设时刻t，细圆环转动的角速度为w ，单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流由环形电流产生磁场的规律，该细圆环的电流在环心产生的磁感应强度为 (1)式中是一个微小量，留意到，有 (2)将各细圆环产生的磁场叠加，由（1）、（2）式得出环心O点处的磁感应强度： (3)由于a0a1，可以认为在导线圆环所在小区域的磁场是匀强磁场，可由O点的场表示磁场对导线环的磁通量(4)由于
15、是改变的，所以上述磁通量是随时间改变的，产生的感应电动势的大小为 (5)由全电路欧姆定律可知，导线环内感应电流的大小为 (6)设题图中薄圆环带正电作逆时针旋转，穿过导线圆环的磁场方向垂直纸面对外，由于薄圆环环作减角速转动，穿过导线圆环的磁场渐渐减小，依据楞次定律，导线圆环中的感应电流亦为逆时针方向，导线圆环各元段Dl所受的安培力都沿环半径向外现取对于y轴两对称点U、V，对应的二段电流元所受的安培力的大小为MNQqDqDfDfxDfyxyODxDyDlDfDfxDfyDlUV (7)方向如图所示，它沿x及y方向重量分别(8)(9)依据对称性，作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的x重量
16、之和互相抵消，即 (10)（式中，当时，是正的，当时，是负的，故），而作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的y重量之和为(11) （式中，由于q 在0p之间都是正的，故），即半个导线圆环上受的总安培力的大小为，方向沿y正方向，由于半个圆环处于平衡状态，所以在导线截面Q、N处所受（来自另外半个圆环）的拉力（即张力）F应满意由（3）、（6）两式得 (12)由（12）式可见，张力F随时间t线性减小A(t1)B(t)qB(t)A(t)vBvAOqA(t1)六、如图所示，t时刻汽车B位于处，距O点的间隔 为vBt此时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的汽车A发出此笛声时位于
17、处，距O点的间隔 为此笛声由发出点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u(tt1)，由几何关系可知 (1)即这是以t1为变量的一元二次方程，其解为 由于，但t1 t，所以上式中只能取减号 (2) (3)令(4)有， (5)在时刻，位于处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线）在t时刻传到处，以、分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有 (6) (7)令n 表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知 (8) 由（6）、（7）、（8）式，得 (9)七、解法一：对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的间隔 为l时，已知mA = m，mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的间隔
18、ABkxOlC （1）故A、B到质心C的间隔 分别为（2）若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、B的弹簧可以分成两个弹簧CA和CB设弹簧CA的自然长度为lA0，劲度系数为kA，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的的自然长度为lB0，劲度系数为kB，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点若连接A、B的自然长度为l0，依据题意有（3）由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为（4）当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹簧CA和CB的长度分别为（5）弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉
19、伸而产生的弹力f，即有由此得（6）相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即；B的坐标由（1）式，可知此时质心C的坐标为（7）在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力故质心以g为加速度做匀加速直线运动，随意时刻t，质心的坐标（8）由于质心作加速运动，质心系是非惯性系在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律探讨物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用若在质心系中取一坐标轴，原点与质心C固连，取竖直向下为轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为时，弹簧CB作用于B的弹性力当时，方向竖直向上此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向
20、竖直向上作用于B的合力由（3）、（4）式得（9）令（10）有（11）当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标（12）XB为B分开其平衡位置的位移，（11）式说明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置旁边作简谐振动，振动圆频率（13）分开平衡位置的位移（14）AB为振幅，为初相位在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B分开其平衡位置的间隔 就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B分开质心的间隔 即（5）式给出的lB，故B分开平衡位置的间隔 即振幅由（5）式、（12）式得（15）因
21、t = 0，XB =AB，且XB是正的，故由此得（16）由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标（17）在地面参考系的坐标（18）得（19）同理，当小球A在质心系中的坐标为时，留意到是负的，这时，弹簧CA的伸长量为，当为负时，弹力向下，为正，当为正时，弹力向上，为负，故有作用于A的合力为令有当XA=0，作用于A的合力FB = 0，A处于平衡状态，A的平衡位置的坐标（20）XA为A分开其平衡位置的位移，故在合力FA作用下， A将在平衡位置旁边作简谐振动，振动圆频率（21）分开平衡位置的位置AA为振幅，为初相位在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A是静止的，A分开质心C的间隔 为lA，A的平衡位置分
22、开质心的间隔 为故此时A分开平衡位置的间隔 即为振幅AA， 而此时，故由此得（22）在时刻t，A在地面参考系中的坐标解法二：当球相对于地面参考系的坐标为时，弹簧的伸长量为，所受的合力为 其加速度为 其相对于质心的加速度为 其中表示球相对于其平衡位置的位移，在互相平动的两个参考系中，相对位移与参考系无关 上式说明，相对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向也就是说，球相对质心作简谐振动 同理可证， 其相对于质心的加速度为 其中表示球相对于其平衡位置的位移，相对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向，即球相对质心也作简谐振动且有与振动的圆频率相等， 解法三： 在地面参考系中，列A、B的牛顿定律方程 x1, x2, kxOAB2 x1、x2是A、B的坐标，l0是弹簧的自然长 时，有 为初始时即细线刚烧断时刻，弹簧的长度，有关系 所以 由+， 令，是一个恒定的加速度，结合初始条件，对应的坐标和运动方程是，再由， 这是一个以A为参考系描写B物体运动的动力学方程，且是简谐的，所以干脆写出解答，结合初条件， 得到 所以 即 由，得 由+，得