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1、实验数据分析方法误差理论与最小二乘法1 1第一页，讲稿共六十二页哦第五章 误差理论与最小二乘法n n 天文学的诸多理论是以天文观测为基础的，如地球自转理论、人造卫星运动理论等都离不开天文观测。人们通过对某一天文量(静态的或动态的)的直接或间接观测，获得大量的数据。而任何观测都不可避免的含有误误差差。因此，当我们在利用观测结果时，必须分析这些数据的可靠程度可靠程度：只有当它们的误差在我们允许的范围之内时，我们才能放心大胆的去使用它，否则则不能使用。误差的研究无论是对生产实践还是基础理论研究都误差的研究无论是对生产实践还是基础理论研究都有着有着重要意义！重要意义！重要意义！重要意义！2 2第二页，
2、讲稿共六十二页哦n n 例例例例1 1 1 1：由于牛顿在其最初计算中使用了具有较大误差的由于牛顿在其最初计算中使用了具有较大误差的地球半地球半地球半地球半径值径值径值径值，使得他测得的月球加速度的值和理论计算值相差约，使得他测得的月球加速度的值和理论计算值相差约1010，因，因而推迟了而推迟了2020年发表他的引力理论！年发表他的引力理论！n n 例例例例2 2 2 2：爱因斯坦广义相对论的观测证明：爱因斯坦广义相对论的观测证明：19161916年爱因斯坦在德国年爱因斯坦在德国物物理学纪事理学纪事上发表了具有划时代意义的重要文献上发表了具有划时代意义的重要文献广义相对论基础广义相对论基础广义
3、相对论基础广义相对论基础。文章指出，当光线行经太阳附近时，光线产生弯曲，其弯曲。文章指出，当光线行经太阳附近时，光线产生弯曲，其弯曲曲率预计为曲率预计为 =1.=1.”7575，而，而19111911年他用经典方法得到年他用经典方法得到=0.=0.”9 9，相，相差两倍。如果观测能测得差两倍。如果观测能测得 在在1.1.”7575附近，这将证明他的广义相对论附近，这将证明他的广义相对论是正确的，如果测得的值是在经典值附近，则将否定其理论。幸好是正确的，如果测得的值是在经典值附近，则将否定其理论。幸好19191919年英国天文学家爱丁顿爵士在西非几内亚湾的普林西比岛的日全食观年英国天文学家爱丁顿
4、爵士在西非几内亚湾的普林西比岛的日全食观测中测得测中测得 1.1.”6161 0.0.”3030；与此同时有人在巴西东北海岸外索伯雷；与此同时有人在巴西东北海岸外索伯雷尔的日食观测中测得尔的日食观测中测得 1.1.”9898 0.0.”1212。这两个结果与广义相对论的预。这两个结果与广义相对论的预言值相近，远大于经典理论值，强有力的证明了广义相对论的正确性言值相近，远大于经典理论值，强有力的证明了广义相对论的正确性!如果他们当时的观测误差很大，置信度很低，以致于和理论值相差甚如果他们当时的观测误差很大，置信度很低，以致于和理论值相差甚远，那么也就很难由此来验证这个理论了。由此可见，远，那么也
5、就很难由此来验证这个理论了。由此可见，观测和误差分观测和误差分观测和误差分观测和误差分析对基础理论的研究起了一个不可估量的作用析对基础理论的研究起了一个不可估量的作用析对基础理论的研究起了一个不可估量的作用析对基础理论的研究起了一个不可估量的作用!3 3第三页，讲稿共六十二页哦n n 最小二乘法最小二乘法是用来处理具有误差的观测数据的一种有效的方法，也是最早用于天文观测资料处理的一种数学工具。早在l794年，高斯为了利用小行星坐标的多次观测准确地推算小行星的轨道，第一次应用了最小二乘法。1805年勒让德应用测量平差方法确定了彗星的轨道和地球子午线弧长。1809年高斯又推证了误差的概率定律，从而
6、使最小二乘法高度完善化，成为数据处理中应用最广的一个分支。随着概率统计学和矩阵理论的发展以及电子计算机的广泛应用，最小二乘法进入了近代数据处理方法的行列。4 4第四页，讲稿共六十二页哦n n误差误差是实验科学术语，指是实验科学术语，指测量结测量结果偏离真值的程度。果偏离真值的程度。对任何一个物理量进行的测量都不可能得出一个绝对对任何一个物理量进行的测量都不可能得出一个绝对准确的数值，即使采用测量技术所能达到的最完善的准确的数值，即使采用测量技术所能达到的最完善的方法，测出的数值也和真实值存在差异，这种测量值方法，测出的数值也和真实值存在差异，这种测量值和真实值的差异称为误差。和真实值的差异称为
7、误差。(from Wiki)n n误差按其表达形式分：绝对误差、相对误差绝对误差、相对误差绝对误差、相对误差绝对误差、相对误差n n误差按其性质及产生原因分：系统误差系统误差、随机误差随机误差随机误差随机误差、过失（人为）误差过失（人为）误差 n n误差不仅存在于测量值中，计算时采用近似的理论模误差不仅存在于测量值中，计算时采用近似的理论模型，计算中一些理论常数的不准确以及数值计算中取型，计算中一些理论常数的不准确以及数值计算中取位的多少等也会在计算结果中产生误差。位的多少等也会在计算结果中产生误差。5.1 误差的定义与分类误差的定义与分类5 5第五页，讲稿共六十二页哦5.1.1 绝对误差和相
8、对误差n n一个量值的给出值的一个量值的给出值的绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差定义为该量值的给出值与其定义为该量值的给出值与其真值之差，或用公式表示为：真值之差，或用公式表示为：绝对误差给出值绝对误差给出值-真值真值n n 公式中的给出值如果是被测量的观测结果，则相应的公式中的给出值如果是被测量的观测结果，则相应的误差为观测误差；如果给出值是某量的计算近似值，则误差为观测误差；如果给出值是某量的计算近似值，则相应的误差为计算近似值的误差。式中的真值是被测量相应的误差为计算近似值的误差。式中的真值是被测量本身的真实大小，它是一个理想的概念：一般说来，真本身的真实大小，它是一个理想的概念：一般说
9、来，真值是未知的，通常用约定值来代替。例如某一系统的天值是未知的，通常用约定值来代替。例如某一系统的天文常数也可看作相应量值的真值。从绝对误差的定义式文常数也可看作相应量值的真值。从绝对误差的定义式不难看出，绝对误差和被测量具有相同的量纲。因此，不难看出，绝对误差和被测量具有相同的量纲。因此，若说一颗星其位置误差为若说一颗星其位置误差为0.10.1，测时的记录误差为0.00010.0001，都是指的绝对误差。6 6第六页，讲稿共六十二页哦n n我们把误差的反号值定义为修正值，则可得：我们把误差的反号值定义为修正值，则可得：真值给出值真值给出值真值给出值真值给出值 -误差给出值误差给出值误差给出
10、值误差给出值 +修正值修正值修正值修正值 这表明，带有误差的给出值加上修正值后可消除或减小误差的影响。n n 在有些情况下用绝对误差来表示测量的精度是不恰当的：在有些情况下用绝对误差来表示测量的精度是不恰当的：如目前卫星激光测距的准确度如目前卫星激光测距的准确度(测量值与被测量真值之间的测量值与被测量真值之间的偏离程度偏离程度)已达已达cm级，卫星的距离一般为10103kmkm量级；但量级；但如果我们测定的是恒星的距离如果我们测定的是恒星的距离(这里指离太阳在这里指离太阳在20pc20pc以内以内的恒星的恒星)，用三角视差法一般可准确到，用三角视差法一般可准确到0.0.”02，相当于，相当于2
11、pc2pc的测距误差，显然它和卫星的测距误差是无法直接的测距误差，显然它和卫星的测距误差是无法直接比较的！但如果我们引入比较的！但如果我们引入相对误差相对误差相对误差相对误差的概念，它们的测距的概念，它们的测距误差就有了可比性。误差就有了可比性。7 7第七页，讲稿共六十二页哦n n被测量的绝对误差与其真值a之比定义为这个量的相对误差相对误差，并用下式表示：n n当误差较小时，相对误差式中真值a可用给定值代替。对于上面的例子，它们测距的相对误差分别为110和110-1。即三角视差测量的相对误差反而要比卫星激光测距的相对误差小！8 8第八页，讲稿共六十二页哦n n 由观测的环境因素差异、仪器性能、
12、不同的观测者由观测的环境因素差异、仪器性能、不同的观测者等因素造成的按某一确定的规律变化的误差称为等因素造成的按某一确定的规律变化的误差称为系统系统系统系统误差误差误差误差。系统误差的大小和符号在多次重复观测中几乎相同，通常使观测值往一个方向偏离。另外，这种误差可以归结为某一因素或某几个因素的函数，而这种函数通常可以用解析公式表达出来。人们总是设法找出代表系统误差的解析表达式，然后在观测结果中扣除扣除扣除扣除。n n 由某些难以控制的随机因素造成的，绝对值和符号的变化时大时小、时正时负，以不可预测的方式变化的误差称为随机误差随机误差随机误差随机误差。虽然就其个体而言，随机。虽然就其个体而言，随
13、机误差没有规律、不可预料，但就其总体而言，随着观误差没有规律、不可预料，但就其总体而言，随着观测次数的增加，它又服从某种测次数的增加，它又服从某种统计规律统计规律统计规律统计规律。下面我们将。下面我们将从概率论的角度出发讨论随机误差所满足的统计规律。从概率论的角度出发讨论随机误差所满足的统计规律。5.1.2 系统误差、随机误差和过失误差 9 9第九页，讲稿共六十二页哦n n古典误差理论认为，随机误差服从正态分布正态分布，因此我们可以用正态分布密度曲线来表征随机误差，随机误差的分布密度曲线可表为：其被称为其被称为高斯误差方程高斯误差方程高斯误差方程高斯误差方程，其相应图形也常被称为高斯误差曲，其
14、相应图形也常被称为高斯误差曲线。式中线。式中 称为精密度指数，称为精密度指数，=x-a=x-a,为随机误差为随机误差 的均的均方差。方差。n n高斯误差方程的一般表达式：1010第十页，讲稿共六十二页哦n n 随机误差有下列统计特征，当观测样本足够大时：(1)绝对值相等、符号相反的正负误差近于相等。因此，随机误差的算术平均值随着观测次数的增加愈来愈小，以零为极限。(2)误差的概率与误差的大小有关，绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，绝对值很大的误差出现的概率很小。根据随机误差的这些特征，当不存在系统误差的影响时，多次测量结果的平均值将更接近于真值。随机误差产生的原因很多，观测
15、时环境因素的微小变化，设备中的热噪声等都是产生随机误差的重要原因。1111第十一页，讲稿共六十二页哦n n实际上，系统误差和随机误差之间并没有明显的界限实际上，系统误差和随机误差之间并没有明显的界限 有时，我们把一些具有复杂规律但暂末掌握的系统有时，我们把一些具有复杂规律但暂末掌握的系统误差都当作随机误差处理。而随着人们对误差及其规误差都当作随机误差处理。而随着人们对误差及其规律的认识的加深，就有可能把这些以往认识不到因而律的认识的加深，就有可能把这些以往认识不到因而归之于随机误差的这类误差确认为系统误差。反之，归之于随机误差的这类误差确认为系统误差。反之，在一个较短时期内可能呈现出某种规律，
16、故而归为系在一个较短时期内可能呈现出某种规律，故而归为系统误差，但经过一段较长时间的观测，发现这种变化统误差，但经过一段较长时间的观测，发现这种变化规律破坏了，并呈现出随机性，这就是说，随着时间规律破坏了，并呈现出随机性，这就是说，随着时间的推移，两种不同性质的误差有可能互相转化。的推移，两种不同性质的误差有可能互相转化。n n过失（人为）误差过失（人为）误差是指测量结果与事实明显不符的是指测量结果与事实明显不符的一种误差。如观测时对错星或观测过程中望远镜一种误差。如观测时对错星或观测过程中望远镜/记记录仪器的小故障等过失原因造成的结果异常。这种误录仪器的小故障等过失原因造成的结果异常。这种误
17、差一般比较容易发现，而且只要观测人员认真细致，差一般比较容易发现，而且只要观测人员认真细致，基本上是可以避免的。基本上是可以避免的。1212第十二页，讲稿共六十二页哦n n 数据处理中一个很重要的方面是评定一列观测值的可靠程度。它是指观测结果与真值的一致程度，是观测结果中系统误差和随机误差大小的综合度量，常用准确度准确度准确度准确度这个词来表征。在消除了系统误差之后，观测的可靠程度由这个词来表征。在消除了系统误差之后，观测的可靠程度由随机误差的大小来衡量。一列观测值精度高低必须从全列观随机误差的大小来衡量。一列观测值精度高低必须从全列观测值的误差来衡量，而不能只根据个别值的误差来判断。测值的误
18、差来衡量，而不能只根据个别值的误差来判断。n n 另外，观测的目的是要从一列观测值中确定另外，观测的目的是要从一列观测值中确定(直接地或间接直接地或间接地地)被测量的被测量的真值真值真值真值，但由于观测手段和观测次数的限制，真值实际上是测不到的，只能得到它的一个近似值或估计值。在天文学中通常把最接近于被测量的真值的一个近似值近似值近似值近似值称为它们的称为它们的最或然值最或然值最或然值最或然值，因此，数据处理的又一个重，因此，数据处理的又一个重要的问题是给出被测量的最或然值及其精度。最或然值要的问题是给出被测量的最或然值及其精度。最或然值的精度是衡量观测结果的精度和处理方法有效性的综合的精度是
19、衡量观测结果的精度和处理方法有效性的综合指标。指标。5.2 观测精度观测精度1313第十三页，讲稿共六十二页哦n n标准偏差标准偏差(又称又称均方误差均方误差)是用来衡量一列观测值精度高低的一个较好指标。n n设设 为被测量的一组观测值，为被测量的一组观测值，a a为被测量的真为被测量的真值，且值，且x xi i中只包含随机误差，则中只包含随机误差，则 称为称为x xi的真误差，我们定义的真误差，我们定义真误差的平方的算术平均值的平方根为这列观测值的为这列观测值的标准偏差标准偏差标准偏差标准偏差或或标准误差标准误差，天，天文上又常称之为中误差，并用文上又常称之为中误差，并用 表示，即：表示，即
20、：这里定义的标准误差和统计学中从方差的正平方根定义的标这里定义的标准误差和统计学中从方差的正平方根定义的标准差是一致的，因为从概率论的角度来说，准差是一致的，因为从概率论的角度来说，x xi i的真值可用其的真值可用其数学数学数学数学期望期望期望期望表示。表示。5.2.1 精度标准1414第十四页，讲稿共六十二页哦n n下面我们来说明标准偏差的大小为什么可以用来衡量一下面我们来说明标准偏差的大小为什么可以用来衡量一列观测值的精度高低：列观测值的精度高低：由正态分布的性质可知，观测值xi i在（在（a a，a+a+）区间上的概率，或说）区间上的概率，或说i出现在（出现在（，+）范围）范围内的概率
21、为内的概率为68.3%68.3%,已知 1 1 2 2.则区间（则区间（a a1 1，a+a+1 1）小于（）小于（a a2 2,a+,a+2 2），也就是说），也就是说 =1的观测的观测数据在数据在a 周围的分布较周围的分布较密集密集密集密集，而 =的观测值在的观测值在a 周围的分布较周围的分布较分散分散分散分散，即标准偏差，即标准偏差 的大小可以衡量的大小可以衡量一一一一列观测值在真值周围分布的密度程度列观测值在真值周围分布的密度程度列观测值在真值周围分布的密度程度列观测值在真值周围分布的密度程度，而这种密集程度，而这种密集程度是具有概率含义的，即误差在（是具有概率含义的，即误差在（，+）
22、内的）内的置信水置信水置信水置信水平平平平是是68.3%68.3%。1515第十五页，讲稿共六十二页哦n n下表列出了一些常用的置信水平误差限：置信水平误差限置信水平误差限50.0%68.3%95.0%0.674 1.0 1.96 95.5%99.0%99.7%99.7%2 2.58 3 3 可见，误差落在 3 中的概率为99.7,亦即绝对值大于3的误差仅有0.3%,这显然是一个小概率事件。所以在有限次观测中，误差值大于3的观测值可能含有过失误差，应考虑舍去该观测值;当然,也有可能这个值并不含有过失误差,如舍去它会犯“弃真”错误，但这种误差的最大概率也只有0.3%。这种取舍观测值的原则称为拉依
23、达准则拉依达准则拉依达准则拉依达准则或简称为3 3 3 3 准则准则准则准则。1616第十六页，讲稿共六十二页哦高斯函数的性质1717第十七页，讲稿共六十二页哦n n在比较两个观测结果时，应在相同的置信水平上比较它们的误差在比较两个观测结果时，应在相同的置信水平上比较它们的误差限，误差限较小的观测较精确，为了说明观测的精度，通常把观限，误差限较小的观测较精确，为了说明观测的精度，通常把观测结果报导为测结果报导为 (置信水平置信水平)。凡是没有注明置信水平的，一般均指凡是没有注明置信水平的，一般均指 68.368.3，相应的误差限相应的误差限即为标准误差。即为标准误差。n n 在上述各式中，真值
24、在上述各式中，真值a(a(或或x)x)通常是未知的，因此真误差通常是未知的，因此真误差 也是未也是未知的，通常用被测量的最或然值或真值的估计值代替真值，观测值与其知的，通常用被测量的最或然值或真值的估计值代替真值，观测值与其最或然值之差称为观测值的最或然值之差称为观测值的残差残差残差残差或或离差离差离差离差。标准误差不取决于观测中。标准误差不取决于观测中个别误差的符号，对观测值中较大误差和较小误差比较灵敏，个别误差的符号，对观测值中较大误差和较小误差比较灵敏，是表示精度的较好方法。实际应用中，有时也常用平均误差是表示精度的较好方法。实际应用中，有时也常用平均误差离差绝对值的算术平均值来表示精度
25、；也有时采用概率误差：即离差绝对值的算术平均值来表示精度；也有时采用概率误差：即绝对值比它大的误差和绝对值比它小的误差出现的可能性一样大，绝对值比它大的误差和绝对值比它小的误差出现的可能性一样大，将误差绝对值按大小顺序排列，序列的中位数即为概率误差。平将误差绝对值按大小顺序排列，序列的中位数即为概率误差。平均误差和概率误差只有当均误差和概率误差只有当N N较大时才较可靠。较大时才较可靠。n n 天体物理中还经常采用天体物理中还经常采用半峰宽度半峰宽度半峰宽度半峰宽度来表示观测的精度，所谓来表示观测的精度，所谓半峰宽度半峰宽度半峰宽度半峰宽度，即观测值分布曲线在极大值半高度处的全宽（即观测值分布
26、曲线在极大值半高度处的全宽（Full Width at Full Width at Half Maximum)Half Maximum)。1818第十八页，讲稿共六十二页哦n n 在很多实际问题中,待求量往往不能直接观测得到，待求量往往不能直接观测得到，但它们可通过对其它量的观测，再利用它们之间的函数但它们可通过对其它量的观测，再利用它们之间的函数关系换算求得：这种情况就称为关系换算求得：这种情况就称为间接观测间接观测。间接观测在。间接观测在天文观测中是普遍存在的，例如：在人造卫星的定轨预报天文观测中是普遍存在的，例如：在人造卫星的定轨预报中要测的是卫星在某一历元的轨道根数，但它们不能直接中要
27、测的是卫星在某一历元的轨道根数，但它们不能直接测得而只能通过测定卫星的赤经、赤纬换算而得到。测得而只能通过测定卫星的赤经、赤纬换算而得到。n n 对于间接观测的情况，应首先由直接观测量求出间接观测对于间接观测的情况，应首先由直接观测量求出间接观测量的最或然值，然后由直接观测量的精度估计出间接观测量的最或然值，然后由直接观测量的精度估计出间接观测量的精度。量的精度。n n 通常用下面的式子表示间接观测量通常用下面的式子表示间接观测量y与与mm个直接观测量x xk k(k=1(k=1 m)m)的关系：的关系：5.2.2 误差传递公式1919第十九页，讲稿共六十二页哦n n为了求得间接观测时误差传递
28、的关系，需要对上式进行线为了求得间接观测时误差传递的关系，需要对上式进行线性化处理性化处理 如果直接观测量的误差相对于它们的观测如果直接观测量的误差相对于它们的观测值来说是较小的量，则非线性函数可以在各个观测值的值来说是较小的量，则非线性函数可以在各个观测值的邻近点上展开成泰勒级数，然后取误差的一阶项而略去邻近点上展开成泰勒级数，然后取误差的一阶项而略去一切高阶误差项：一切高阶误差项：式中式中 为观测量为观测量x xk k的离差，我们把它记为的离差，我们把它记为k k。若对。若对x xk k(k=1(k=1 m)m)各进行了各进行了N N次观测，设间接观测量任一次观测的离差为次观测，设间接观测
29、量任一次观测的离差为y yy y y y0 0，y y0 0f(xf(x1010，x x2020，x xm0m0),),将将 y yy y+y+y0 0,k k=x=xk k x xk0k0 代入上式，可得：代入上式，可得：n n直接观测量直接观测量x xk k的误差以的误差以 的形式出现在间接观测量的形式出现在间接观测量y y的的误差中，或说间接观测量误差中，或说间接观测量y y的误差是的误差是mm个直接观测量的误差加权和，权重因子个直接观测量的误差加权和，权重因子 称为称为y y的的误差传递误差传递误差传递误差传递系数系数系数系数。2020第二十页，讲稿共六十二页哦n n设设m个直接观测量
30、的标准偏差为 ，根据标准偏差的定义及随机变量方差的运算法则，可得间接观测量y y的标准偏差为：的标准偏差为：式中式中 kjkj为第为第k k个观测量与第个观测量与第j j个观测量的相关系数。当各个直接个观测量的相关系数。当各个直接观测量相互独立时，有观测量相互独立时，有 kjkj=0,=0,则有：则有：上式通常称为上式通常称为独立观测量的误差合成定理独立观测量的误差合成定理独立观测量的误差合成定理独立观测量的误差合成定理。n n若间接观测量与直接观测量的关系为线性关系时，即：若间接观测量与直接观测量的关系为线性关系时，即：。则有：则有：此式即为线性线性线性线性情况下的情况下的标准偏差传递公式标
31、准偏差传递公式标准偏差传递公式标准偏差传递公式。2121第二十一页，讲稿共六十二页哦例：例：利用IRAF进行测光时，其会根据误差传递以如下的公式给出测光误差：根据信噪比的定义：S/N=Flux/Err，故1/MerrS/N，即IRAF里给出的测光误差的倒数即为信噪比。除了信噪比会引起测光误差外，还有很多其他的因素也会带来误差，如减本底、除平场、减暗流等过程都会带来附加的误差：一般平场的精度可以达到千分之五左右。n n目标源的目标源的测光误差测光误差可以按如下形式给出：可以按如下形式给出：ErefEref为多颗比较星测光误差的平均值，EobjEobj为目标源测光误差，EothersEothers
32、为其他误差，根据不同的情况确定，比如误差小于千分之五的时候“其他误差”就可能需要包括平场误差，再比如比较星的定标误差等。2222第二十二页，讲稿共六十二页哦n n 观测精度的高低是由观测条件决定的，它包括观测的手段、仪器的观测精度的高低是由观测条件决定的，它包括观测的手段、仪器的精度、观测的次数、观测者技术熟练的程度等精度、观测的次数、观测者技术熟练的程度等,因此我们按观测时的因此我们按观测时的条件把观测分成两大类条件把观测分成两大类:如果某一列观测是在完全相同的条件如果某一列观测是在完全相同的条件下进行的，则为等精度观测，所得到的序列称为等精度观测列；下进行的，则为等精度观测，所得到的序列称
33、为等精度观测列；如果某一列观测是在不同的条件下进行的，称为非等精度观测，如果某一列观测是在不同的条件下进行的，称为非等精度观测，相应的观测序列为非等精度观测列。相应的观测序列为非等精度观测列。等精度观测列的标准偏差等精度观测列的标准偏差 对于等精度观测列，可以用全列观测值的标准偏差来衡量这列观测对于等精度观测列，可以用全列观测值的标准偏差来衡量这列观测值的精度。但是，由于观测值的真误差一般是未知的，为此通常用观测值的精度。但是，由于观测值的真误差一般是未知的，为此通常用观测值的残差代替真误差。而对于一列等精度观测值来说，被测量的最或然值的残差代替真误差。而对于一列等精度观测值来说，被测量的最或
34、然值就是这列观测值的算术平均值值就是这列观测值的算术平均值 ，则有残差，则有残差 ，而真误差为，而真误差为:5.2.3 等精度观测和非等精度观测 2323第二十三页，讲稿共六十二页哦n n 为算术平均值的真误差，对上式两边求平方和，得：并有：n n 由线性线性情况下的标准偏差传递公式，并将算术平均值的标准偏差 代入上式则得：n n 整理后得到一等精度观测列用残差表示的标准偏差公式整理后得到一等精度观测列用残差表示的标准偏差公式(这里用高斯符号 表示求和表示求和)：2424第二十四页，讲稿共六十二页哦 权与非等精度观测列权与非等精度观测列n n 处理非等精度观测序列的情况在天文学中是很普遍的：处
35、理非等精度观测序列的情况在天文学中是很普遍的：例如例如利用观测星表编制基本星表就是一个典型的例子。各利用观测星表编制基本星表就是一个典型的例子。各种星表中的星位都具有误差；即使是在同一星表中，它所种星表中的星位都具有误差；即使是在同一星表中，它所包含的星位也不都具有相同的标准偏差。包含的星位也不都具有相同的标准偏差。它们大多数和观测次数的多少有关，故而大多数星表中有一栏同时列出了各恒星观测的次数，相应的精度随所用的观测数目的增加而增加。因此，在编制基本星表时，需根据它们精度的高低区别对待。在数据处理中，通常用数值p p p pi i i i表表示对某一观测结果示对某一观测结果x xi的重视程度
36、，并称之为的重视程度，并称之为权权权权。观测值精。观测值精度的高低是和其误差大小密切相关的：误差越大度的高低是和其误差大小密切相关的：误差越大,观测值精度就越低，对它的重视程度也应相应减小。在观测值只包含随机误差的情况下，通常定义权与标准偏差的平方成反比。2525第二十五页，讲稿共六十二页哦n n设非等精度观测列的标准偏差分别为设非等精度观测列的标准偏差分别为 1,2 2,N N,通常把通常把和最大的标准偏差对应的观测值的权定为和最大的标准偏差对应的观测值的权定为1，设，设 1maxmax i(i i=1=1 N N)，则标准偏差为，则标准偏差为i i的观测值的观测值x xi的权为：的权为：不
37、难看出不难看出p1=1=1，故x x1 1被称为单位权观测值。对非等精度观被称为单位权观测值。对非等精度观测序列被测量的最或然值需要加权平均测序列被测量的最或然值需要加权平均,即:标准偏差公式为标准偏差公式为:n n 权只是从权只是从相对意义相对意义相对意义相对意义上表示一个量的精确程度：我们同样可以取和最小的i i对应的观测值为单位权观测值；这时虽然各个观测值权的数值和原来不同了，但这些观测值权的比值并未改变。有时为了使所有观测值的权均为整数，可以根据要求选取单位权观测值。2626第二十六页，讲稿共六十二页哦n n由于被测量的真值在有限次观测中是无法得到的，数据处由于被测量的真值在有限次观测
38、中是无法得到的，数据处理的任务是通过对被测量的有限次观测求出被测量的最接理的任务是通过对被测量的有限次观测求出被测量的最接近于真值的量，即被测量的最或然值。近于真值的量，即被测量的最或然值。5.3 直接观测量的最或然值及其精度直接观测量的最或然值及其精度5.3.1 最小二乘准则 n n最小二乘法是求解被测量最或然值的基本方法。按照最或然最小二乘法是求解被测量最或然值的基本方法。按照最或然值的定义，它是最接近于真值的值。设一组观测值为值的定义，它是最接近于真值的值。设一组观测值为x1,x2 2,x,xN ，待求的最或然值为待求的最或然值为x*，则它们的残差为，则它们的残差为i i=xi i-x*
39、(i=1 N N),),最小二乘准则最小二乘准则最小二乘准则最小二乘准则就是选择x*x*，使得残差平方和，使得残差平方和为最小。即为最小。即x*x*必须满足：必须满足：2727第二十七页，讲稿共六十二页哦n n对于一列等精度观测列，设由最小二乘准则求出的最或然对于一列等精度观测列，设由最小二乘准则求出的最或然值为值为x*x*，由，由N个观测值可得个观测值可得N个残差方程：i i=xi i-x*-x*(i=i=1 1 N N)根据最小二乘准则，最或然值根据最小二乘准则，最或然值x*x*应满足：应满足：由极值原理，有：由极值原理，有：于是得：于是得：n n设观测值的标准偏差为设观测值的标准偏差为，
40、则由上式并利用标准偏差的传递公式得：，则由上式并利用标准偏差的传递公式得：5.3.2 等精度观测列的最或然值及精度 多次观测取平均可多次观测取平均可多次观测取平均可多次观测取平均可以减小观测结果的以减小观测结果的以减小观测结果的以减小观测结果的随机误差！随机误差！随机误差！随机误差！2828第二十八页，讲稿共六十二页哦n n设设x x1 1,x2 2,x,xN N为一非等精度观测列，为一非等精度观测列，x*x*为被测量的最或然值，由于各个x xi i的精度不同，不能像处理等精度观测列那样直接应用 来求解x*x*，而必须先将它转，而必须先将它转化为等精度观测列，再利用等精度观测列的最小二乘准则来
41、化为等精度观测列，再利用等精度观测列的最小二乘准则来求最或然值及其精度。求最或然值及其精度。n n设观测值设观测值xi的权为的权为p pi，可以证明，只要将每个观测值乘以，可以证明，只要将每个观测值乘以相应的权的平方根，就可以把原来的非等精度观测列转化相应的权的平方根，就可以把原来的非等精度观测列转化为一等精度观测列为一等精度观测列 ，与之对应的残差序，与之对应的残差序列为列为 。由最小二乘准则有：。由最小二乘准则有：5.3.3 非等精度观测列的最或然值及精度 则非等精度观测列的加权平均值非等精度观测列的加权平均值非等精度观测列的加权平均值非等精度观测列的加权平均值为 2929第二十九页，讲稿
42、共六十二页哦n n非等精度观测列的最或然值的标准偏差为：由于非等精度观测列中每个观测值的标准偏差可表示为由于非等精度观测列中每个观测值的标准偏差可表示为 ，则上式又可写为：，则上式又可写为：其中其中 为单位权标准偏差，它可按等精度观测列的标准偏差公式计算，但它对应的残差是 ，最后得：实例3030第三十页，讲稿共六十二页哦n n间接观测中一种较普遍的情况是观测量为待求量的线性函数。设对间接观测中一种较普遍的情况是观测量为待求量的线性函数。设对直接观测量进行了直接观测量进行了N N次观测，待求的未知量为次观测，待求的未知量为x xk k (k=k=1 1 m m)，则可，则可得得N N个观测方程：
43、个观测方程：如果如果l li i没有误差且各方程是独立的，则由其中没有误差且各方程是独立的，则由其中m m(m mN N)个方程可以解出个方程可以解出m m个未个未知量的知量的真值真值真值真值。n n但实际上观测值总会有误差。如果我们用未知量的最或然值代入上但实际上观测值总会有误差。如果我们用未知量的最或然值代入上式式,则观测量则观测量l li i与待求量的最或然值的关系可表示成如下的方程组：与待求量的最或然值的关系可表示成如下的方程组：5.4 间接观测量的最或然值及其精度间接观测量的最或然值及其精度5.4.1 误差方程 式中1,2,N 分别为l1,l2,lN 的残差。3131第三十一页，讲稿
44、共六十二页哦n n通常称以上方程组为误差方程误差方程或或条件方程条件方程，在这个方，在这个方程组中有程组中有N N个方程，个方程，m+Nm+N个未知量个未知量,即使不考虑vi i 的影响，的影响，也不能找出严格满足所有方程的解，更何况残差也不能找出严格满足所有方程的解，更何况残差i必须必须要考虑，但它又是未知的。因此，要求出未知量必须要有要考虑，但它又是未知的。因此，要求出未知量必须要有附加条件附加条件附加条件附加条件，而使用最小二乘准则最小二乘准则最小二乘准则最小二乘准则能得到这个方程圆满的能得到这个方程圆满的解。解。n n根据最小二乘准则，在根据最小二乘准则，在等精度观测列等精度观测列等精
45、度观测列等精度观测列的情况下，未知量的的情况下，未知量的最或然值是使残差平方和最小的那些值，即最或然值是使残差平方和最小的那些值，即n n由极值原理，由极值原理，x xk k (k k 1 1 m)应满足：应满足：5.4.2 正态方程 3232第三十二页，讲稿共六十二页哦 即：经过简单整理并引用高斯符号，经过简单整理并引用高斯符号，则由此可得到线性方程组 常称以上方程组为常称以上方程组为正态方程正态方程正态方程正态方程或或法方程法方程法方程法方程。3333第三十三页，讲稿共六十二页哦n n 间接观测另一种常见的情况是观测值是待求量的间接观测另一种常见的情况是观测值是待求量的非线非线非线非线性函
46、数性函数性函数性函数。n n 例如，人造卫星的轨道改正中，观测量是某一历元卫星的例如，人造卫星的轨道改正中，观测量是某一历元卫星的球面坐标，待求量是相应历元的六个轨道根数，它们之间的球面坐标，待求量是相应历元的六个轨道根数，它们之间的关系是很复杂的关系是很复杂的非线性关系非线性关系；利用甚长基线；利用甚长基线(VLBI)(VLBI)观测测观测测定地球自转参数，观测量是来自射电源同一波前到达定地球自转参数，观测量是来自射电源同一波前到达VLBIVLBI两个测站的钟面时之差即几何延迟，待求量是地球自转参数，两个测站的钟面时之差即几何延迟，待求量是地球自转参数，它们之间的关系也是很复杂的非线性关系；
47、又如，利用食双它们之间的关系也是很复杂的非线性关系；又如，利用食双星的光变曲线确定其轨道要素是目前测定星的光变曲线确定其轨道要素是目前测定食双星食双星轨道要素轨道要素的惟一方法，而食双星的光变曲线不仅和轨道根数有关，的惟一方法，而食双星的光变曲线不仅和轨道根数有关，还依赖于其它一些因素：包括两颗子星的大小、光度、还依赖于其它一些因素：包括两颗子星的大小、光度、形状等形状等因此，利用光变曲线得到食双星的轨道要素因此，利用光变曲线得到食双星的轨道要素(称为食双星的测光轨道解)是一个典型的复杂非线性间接观是一个典型的复杂非线性间接观测问题。测问题。3434第三十四页，讲稿共六十二页哦n n观测量yi
48、与待求量xk(k=1 m)之间的非线性关系可写为 n n设x0k为xk的近似值(或初值)，并用xk表示xk与其近似值之差。则由上式可以算出已知待求量近似值的函数y0k，并记yi yi y0i，对上式在x0k(k 1 m)上进行泰勒展开，并略去xk的二次及二次以上的项，这样可得：其中其中 (k k1 1 m m)当当x x0k0k给定时为己知系数，下面我们用给定时为己知系数，下面我们用b bikik(k k1 1 m m)表示。因为观测值表示。因为观测值y yi i有误差，因此必须考虑有误差，因此必须考虑 y yi i中中的误差，故而得到误差方程：的误差，故而得到误差方程：3535第三十五页，讲
49、稿共六十二页哦n n利用最小二乘准则，可得到法方程：解此方程得到解此方程得到 x xk k(k k1 1 m m)，分别加上近似值，分别加上近似值x x0k0k(k k1 1 m m)，就可得，就可得 待求量的最或然值。待求量的最或然值。n n 当当|x xk k|较大时，可将得到的较大时，可将得到的x xk k代替原来的近似值代替原来的近似值x x0k0k重新算出系数重新算出系数b bikik 和和 y yi i并解法方程得到新的并解法方程得到新的 x xk k。这种过程可以反复迭代，直到。这种过程可以反复迭代，直到最后的最后的|x xk k|值小于给定的误差限为止，这时最后得到的值小于给定
50、的误差限为止，这时最后得到的x xk k即为所即为所求。这种算法常被称为求。这种算法常被称为高斯高斯高斯高斯牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法或或泰勒展开法泰勒展开法泰勒展开法泰勒展开法，此法在求解过，此法在求解过程中需反复迭代和修正，逐次迭代的结果将使最后的程中需反复迭代和修正，逐次迭代的结果将使最后的x xk k更接近真解。更接近真解。当当初值初值初值初值选得较好时，随着迭代次数的增加，修正值选得较好时，随着迭代次数的增加，修正值|k k|将越来越小，将越来越小，即为迭代即为迭代“收敛收敛收敛收敛”；否则称迭代；否则称迭代“发散发散发散发散”：迭代得到的新值可能比原：迭代得到的新值可能比原来的值更远