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1、1课时跟踪检测课时跟踪检测(四十二四十二)数学归纳法数学归纳法1如果命题 p(n)对 nk(kN*)成立，则它对 nk2 也成立若 p(n)对 n2 也成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对所有正整数 n 都成立Bp(n)对所有正偶数 n 都成立Cp(n)对所有正奇数 n 都成立Dp(n)对所有自然数 n 都成立2凸 n 多边形有 f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数 f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n23用数学归纳法证明 123n2n4 n22，则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上的项为_4(2013皖南三校一模)设平面上 n 个圆周最
2、多把平面分成 f(n)片(平面区域)，则 f(2)_，f(n)_.(n1，nN*)5用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN*)能被 9 整除6.创新题已知点 Pn(an，bn)满足 an1anbn1，bn1bn14a2n(nN*)，且点 P1的坐标为(1，1)(1)求过点 P1，P2的直线 l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于 nN*，点 Pn都在(1)中的直线 l 上7已知 f(n)11231331431n3，g(n)3212n2，nN*.(1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明2答案1选 B由题意 n
3、k 成立，则 nk2 也成立，又 n2 时成立，则 p(n)对所有正偶数都成立2选 C边数增加 1，顶点也相应增加 1 个，它与和它不相邻的 n2 个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加 n1 条3解析：当 nk 时左端为 123k(k1)(k2)k2，则当 nk1 时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)24解析：易知 2 个圆周最多把平面分成 4 片；n 个圆周最多把平面分成 f(n)片，再放入第 n1 个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第 n1 个应与前面 n 个都相交且交
4、点均不同，有 n 条公共弦，其端点把第 n1 个圆周分成 2n 段，每段都把已知的某一片划分成 2 片，即 f(n1)f(n)2n(n1)，所以 f(n)f(1)n(n1)，而 f(1)2，从而fnn2n2.答案：4n2n25证明：(1)当 n1 时，(311)7127 能被 9 整除，命题成立；(2)假设当 nk(kN*，k1)时命题成立，即(3k1)7k1 能被 9 整除；则当 nk1 时，3(k1)17k11(3k1)7k1137k1(3k1)7k16(3k1)7k37k1(3k1)7k19(2k3)7k.由于(3k1)7k1 和 9(2k3)7k 都能被 9 整除，所以(3k1)7k1
5、9(2k3)7k 能被 9 整除，即当 nk1 时，命题也成立，故(3n1)7n1(nN*)能被 9 整除6解：(1)由题意得 a11，b11，b2114113，a211313，3P213，13.直线 l 的方程为y1131x1131，即 2xy1.(2)证明：当 n1 时，2a1b121(1)1 成立假设 nk(k1 且 kN*)时，2akbk1 成立则 2ak1bk12akbk1bk1bk14a2k(2ak1)bk12ak12ak12ak1，当 nk1 时，2ak1bk11 也成立由知，对于 nN*，都有 2anbn1，即点 Pn在直线 l 上7解：(1)当 n1 时，f(1)1，g(1)1，所以f1g(1)；当 n2 时，f(2)98，g(2)118，所以 f(2)g(2)；当 n3 时，f(3)251216，g(3)312216，所以 f(3)g(3)(2)由(1)猜想 f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当 n1,2,3 时，不等式显然成立假设当 nk(k3，kN*)时不等式成立即 11231331431k33212k2，那么，当 nk1 时，f(k1)f(k)1k133212k21k13，因为12k1212k21k13k32k1312k23k12k13k20，所以 f(k1)3212k12g(k1)由、可知，对一切 nN*，都有 f(n)g(n)成立