悖论与数学基础问题.ppt

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1、悖论与数学基础问题现在学习的是第1页，共45页章节目录1 悖论的定义和起源2 悖论举例和数学三次危机3 策莫洛对悖论的解决方案4 罗素对悖论的解决方案5 塔斯基及其语义学6 哥德尔的不完备性定理与悖论7 悖论的成因与研究悖论的重要意义现在学习的是第2页，共45页1 悖论的定义和起源现在学习的是第3页，共45页 悖论分为三种主要形式1一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论的悖论的类型逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等1 悖论的定义和起源现

2、在学习的是第4页，共45页1 悖论的定义和起源一、关于悖论的定义一、关于悖论的定义 当前流行的说法当前流行的说法 悖论悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的。是假的，那么它又是真的。悖论悖论是是指这样一个命题是是指这样一个命题A，由，由A出发，可以找出发，可以找到一语句到一语句B，若假定，若假定B真，就可推得真，就可推得B真，即真，即B假。反假。反之亦然。之亦然。一个命题构成一个一个命题构成一个悖论悖论，如果由它的真可以推，如果由它的真可以推出它的

3、假，而由它的假可以推出它的真。出它的假，而由它的假可以推出它的真。现在学习的是第5页，共45页1 悖论的定义和起源 当前流行的说法的当前流行的说法的缺陷缺陷：孤立地用肯定等价于否定来作为悖论的定义不够合理全面。孤立地用肯定等价于否定来作为悖论的定义不够合理全面。1 1、任何一个悖论在实质上都、任何一个悖论在实质上都相对地被包含在某个理论体系中相对地被包含在某个理论体系中。2 2、并非每个悖论都要陈述为一个命题或某一语句的形式，有的、并非每个悖论都要陈述为一个命题或某一语句的形式，有的 悖论往往要由悖论往往要由一个推演过程一个推演过程来呈现。来呈现。3 3、从一些著名悖论的呈现形式来看，人们并不

4、习惯于要求把每、从一些著名悖论的呈现形式来看，人们并不习惯于要求把每 个悖论都划归为肯定等价于否定的形式，也可用某一系统中个悖论都划归为肯定等价于否定的形式，也可用某一系统中 并存的两个互相矛盾的命题并存的两个互相矛盾的命题来表示一个悖论。来表示一个悖论。现在学习的是第6页，共45页1 悖论的定义和起源 如果如果某一理论某一理论的公理和推理原则的公理和推理原则看上去是合理的看上去是合理的，但在这个理论中却推出了但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题两个互相矛盾的命题，或，或者证明了这样一个者证明了这样一个复合命题复合命题，它表现为两个互相矛盾的，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么我们就

5、说这个理论包含了一个悖论。命题的等价式，那么我们就说这个理论包含了一个悖论。因此，我们主张采用A.A.Fraenkel与Y.Bar-Hillel的说法：这样看来，当前流行的那种定义，就只是抽取了Fraenkel陈述中的后半段作为悖论的定义，这显然是不够合理而全面的。现在学习的是第7页，共45页1 悖论的定义和起源二、关于悖论的起源二、关于悖论的起源1、关于悖论的起源，可以追溯到古希腊和我国先秦哲学时代，但在那时及其往后的一个相当长的历史时期中，悖论往往指那些推理过程看推理过程看上去合理的，但推理的结果却又违背客观实际上去合理的，但推理的结果却又违背客观实际，例如著名的芝诺悖论便属于这一类悖论。

6、芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物，可以说是第一个提出悖论的人。如：阿喀流斯和乌龟：假设阿喀流斯和乌龟赛跑，乌龟在阿的前面一段距离开始起跑，所以阿必须先跑到乌龟的起跑点，而这时乌龟又向前进了一段距离，如此，虽然阿的速度快于乌龟，阿越追越近，但总也追不上乌龟。现在学习的是第8页，共45页1 悖论的定义和起源2、在历史上，还有另一种与之相反的情形而称之为悖论的，那就是由于新概念的引入新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观念违背了具有历史局限性的传统观念，这也一时称为悖论的发现。例如，历史上的Galilei悖论便属于这一类悖论。Galilei对平方数与自然数一一对应的发平方数与自然数一一对应的发

7、现矛盾于全体大于部分的原则现矛盾于全体大于部分的原则，这就不是Galilie的发现在推理上的问题，而是由于全体大于部分的直观原则是从有限数量的事物关系中抽象出来的，自然就不适用于无限集合的情形了。现在学习的是第9页，共45页1 悖论的定义和起源3、在历史上，与今天所讲悖论的含义较为接近并可看作悖论之直接悖论之直接起源起源的是这样一件事，公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides)：“所有克利特人都说谎。”这就是撒谎者撒谎者悖论的来源。现在学习的是第10页，共45页1 悖论的定义和起源 后来，人们顺着Epimenides的原始命题，终于构造出了等价于上述命题的强化了的撒谎者悖

8、论，即“永恒性撒谎者悖论”，陈诉如下：强化了的撒谎者悖论强化了的撒谎者悖论 症结症结：作论断的话与被论断的话混而为一，既当否定者自身被包括在被否定的对象中时，则否定者必然走向它的反面。所以这个悖论的排除在于语义的分层语义的分层，这正是近代语义学产生发展的原因，也正是语义学所研究的重要内容。一个克里特人说：一个克里特人说：“我现在说的是一句假话，所有的克里特人我现在说的是一句假话，所有的克里特人都说谎。都说谎。”现在学习的是第11页，共45页2 悖论举例和数学三次危机现在学习的是第12页，共45页2 悖论举例和数学三次危机第一次危机第一次危机 公元前五世纪，一个希腊人，Pythagoras学派的

9、希帕索斯，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了数学的第一次危机。背景背景：从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段。影响影响：促使人们从依靠自觉、经验而转向依靠证明，导致了公理几何学与逻辑学的诞生。现在学习的是第13页，共45页2 悖论举例和数学三次危机第二次危机第二次危机 数学史上把18世纪微积分诞生以来在数学界出现的混乱局面称为数学的第二次危机。背景背景：微积分的广泛应用与理论基础不牢固的矛盾 Berkeley大主教对牛顿微积分理论的攻击，史上称为“Berkeley悖论”。影响影响：柯西、Dedekind、康托与外尔斯特拉斯都加入了为微积分理论寻找牢固基础的工作，发展了

10、极限理论。现在学习的是第14页，共45页2 悖论举例和数学三次危机第三次危机第三次危机 在今天，人们恰当地把集合悖论的出现及其引起的争论局面称之为数学的第三次危机。背景背景：建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而建立的实数理论又必须以集合论为基础，而集合论的诞生与发展却又偏偏出现一系列的悖论，从而构成了更大的危机。影响影响：极大地刺激了当时的集合不矛盾性的“乐观局面”，对集合论的进步具有重大的意义。现在学习的是第15页，共45页2 悖论举例和数学三次危机第三次危机举例第三次危机举例Burali-Forti（布拉里福蒂）（布拉里福蒂）悖论悖论 在超穷序数理论中发现了第一悖论“最大序数悖论”康

11、托悖论康托悖论 其来源康托定理是集合论最早也是最重要的定理之一罗素罗素悖论悖论 在古典集合论里可划归为最基本逻辑概念的形式，而且能用日常语言来表述其基本原则，如著名的 “理发师悖论理发师悖论”现在学习的是第16页，共45页2 悖论举例和数学三次危机Burali-Forti（布拉里福蒂）（布拉里福蒂）悖论悖论第三次危机第三次危机 举例一举例一定理定理1 任何一个良序集A不能与A的任何截段 相似。定理定理2 凡由序数所组成的集，按其大小为序排列时，必为一 良序集。定理定理3 一切小于序数a的序数所组成良序集 的序数 就 是序数a，即 。如所知，在超限数论中有如下的一些定理：现将一切序数汇集在一起组

12、成一集，可推出其并不同时满足于以上三条定理，这就是Burali-Forti悖论。现在学习的是第17页，共45页2 悖论举例和数学三次危机在古典集合论中有所谓的康托定理康托定理第三次危机第三次危机 举例二举例二任何集合任何集合M的基数的基数 小于幂集小于幂集P(M)的基数的基数 。其中所谓幂集，就是任给一集M，由M的一切子集所组成的集合称为M的幂集，并记为P(M)。现假设存在一切集合所组成的集合u，由康托定理推出矛盾，这就是康托悖论康托悖论。现在学习的是第18页，共45页2 悖论举例和数学三次危机包含在古典集合论中的罗素罗素悖论悖论第三次危机第三次危机 举例三举例三集合可分为两种：集合可分为两种

13、：本身分子集，如：一切集合所组成的集合是它自身的一个元素；本身分子集，如：一切集合所组成的集合是它自身的一个元素；非本身分子集，如：自然数集合非本身分子集，如：自然数集合N绝不是某个自然数绝不是某个自然数n。这样，任给一集M，它不是本身分子集就是非本身分子集，不应有其它例外。现考虑一切非本身分子集的集 ，试问 是哪一种集合？罗素悖论改写罗素悖论改写著名的著名的“理发师悖论理发师悖论”理发师：理发师：“给而且只给村子里自己不给自己给而且只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。刮胡子的人刮胡子。”现在学习的是第19页，共45页2 悖论举例和数学三次危机 随着悖论的出现和研究，推动了人们从逻辑和哲学

14、的角度深入研究数学基础中的问题，并取得了积极的成果。集合论的矛盾，曾一度引起人们摒弃集合论的想法，但终究不切实际。所以大家开始致力于集合论的改造。改造的方案主要有二：一、罗素的类型论罗素的类型论；二、策莫洛（策莫洛（E.Zermelo）的公理集合论）的公理集合论。现在学习的是第20页，共45页3 策莫洛对悖论的解决方案现在学习的是第21页，共45页3 策莫洛对悖论的解决方案 思想来源思想来源 罗素认为，集合可以用两种方式予以定义：外延性定义外延性定义（枚举式的定义）与内涵式定义内涵式定义（指明性质的定义）。基于这一准则，寻找解决集合悖论的办法有两条道路可走：量性限制理论量性限制理论（外延理论）

15、和曲折理论曲折理论（内涵理论）。策莫洛和其他人所发展起来的公理集合论公理集合论在涉及集合时可以看成是对量性限制理论量性限制理论这一思想的阐发，其最主要的特点是对于全集或无限制的关于某种现象的概念的存在性加以限制。现在学习的是第22页，共45页3 策莫洛对悖论的解决方案 自从罗素悖论出现以后，策莫洛想借助于他所说的划分公理（或称分出公理）来排除它。划分公理划分公理 设L为任一集合，是与L的变元有关的一句话，则L中一切能使 成真话的元素可组成一集合 。显然，即 为L的一个子集。根据划分公理，可证下述定理为真。定理定理 任意一集L必有一子集不是L的元素。有了这条定理，即可证明罗素悖论陈述中的“一切非

16、本身分子集的集 ”不是一个集合，但并不能承认划分公理可排除罗素悖论这一孤立的说法，划分公理的公理系统不容忽视。现在学习的是第23页，共45页3 策莫洛对悖论的解决方案 产生罗素悖论的原因：概括原则造集的任意性与生成集合的客观原则的非任意性之间的矛盾。后来，经过仔细分析，人们归结到如下四件事不能同时成立，这就是：（1）是一个条件（含x的语句）。（2）任给一条件 决定一集，即 。（3）集合为个体之一，因而x处均可代以A。（4）为一矛盾。各家对悖论的排除：各家对悖论的排除：罗素从否定（1）出发，展开他的类型论。Zermelo-Fraenkel基于否定（2），构造ZFC集合论公理系统。Bernays-

17、Gdel基于否定（3），形成BG集合论公理系统。o以否定（4）为起点发展他的多值逻辑。现在学习的是第24页，共45页3 策莫洛对悖论的解决方案 策莫洛首先构造公理系统，在保留概括原则中之合理原则的前提下，对造集的任意性加以适当的限制，形成了一个包括划分公理在内的集合论公理系统。在这个系统内，只承认按系统中公理只承认按系统中公理所允许的限度内构造出来的集才是集合，凡是超出系统中公理所允许所允许的限度内构造出来的集才是集合，凡是超出系统中公理所允许的限度而构造出来的集是概不承认的的限度而构造出来的集是概不承认的。在这个系统中能把康托悖论、Burali-Forti悖论以及罗素悖论等已出现的逻辑、数学

18、悖论予以排除。这样在策莫洛于1908年建立了他的集合论公理系统后，Fraenkel与Skolem在19211923年间给了一个严格的解释，并对策莫洛公理系统作了改进，形成了今天著名的ZF系统，加上选择公理，便是熟知的ZFC系统。现在学习的是第25页，共45页3 策莫洛对悖论的解决方案ZFC集合论公理系统外延公理空集公理配对公理并集公理幂集公理子集公理无穷公理选择公理代换公理正则公理现在学习的是第26页，共45页4 罗素对悖论的解决方案现在学习的是第27页，共45页4 罗素对悖论的解决方案 思想来源思想来源 关于悖论的成因，庞卡莱曾在1905年、1906年、1908年多次指出，所有的悖论都与非直

19、谓定义非直谓定义有关。所谓非直谓定义，就是被定义的对象被包括在借以定义它的各个对象中。例如：李家庄村上年纪最大的人H.定义总体的对象李家庄村上的人 .H.Df李家庄村上所有的人组成的总体 GDf总体G中年纪最大的人 H“被定义的对象H包括在借以定义H的总体G中”现在学习的是第28页，共45页4 罗素对悖论的解决方案（1）广义非直谓广义非直谓 凡是非直谓定义中的被定义对象，可用直谓定义法重新定义者，叫做广义非直谓。例：李家庄村上年纪最大的人李大娘的老伴（2）狭狭义非直谓义非直谓 凡是非直谓定义中的被定义对象非借助于总体不可，亦即被定义的对象只能借助于这一总体才能定义。例：李家庄村上年纪最大的人村

20、外人寻此人（3）等价式的非直谓等价式的非直谓 凡是非直谓定义中的被定义对象仅借助于“总体本身就是什么”这样的等价式刻画来确定的，则称为等价式的非直谓。例：一切集合的集合就是一个集合 按非直谓定义构成的具体过程，可作如下分类：按非直谓定义构成的具体过程，可作如下分类：现在学习的是第29页，共45页4 罗素对悖论的解决方案 鉴于对非直谓定义的分析，罗素进一步明确了庞卡莱关于悖论成因的想法，即构成悖论的深刻原因却与非直谓定义法有关。为此，罗素明确提出如下的原则。恶性循环原则恶性循环原则：没有一个整体能包含一个只能借助于这个整体来定义的元素。基于等价式非直谓是侠义非直谓的一种特殊情况的考虑，罗素的恶性

21、循环原则从集合的观点出发隐含了下述一种思想规定：类型混淆原则类型混淆原则：任何一个集合绝不是它自身的一个元素。现在学习的是第30页，共45页4 罗素对悖论的解决方案 作为类的划分的一个基本原则基本原则是，每一谓词（性质）都必须从属于一个确定的类类。而且每一类的性质只有当其使用于直次于它的那个类的对象才是有意义的。属于O类中的对象的名称第一类：对象的性质，如：a,b,c,.第二类：性质的性质，如：f(a),g(b),.中的f,g,.第三类：性质的性质的性质，如：F(f),G(f),.中的F,G,.基于类的划分的基本原则，如f(a),G(f).是有意义的，但F(a),f(f),a(b),.就是无意

22、义的。现在学习的是第31页，共45页4 罗素对悖论的解决方案 罗素认为，除掉对于性质要作出类的划分之外，还要对于性质的定义方法，再把同一类中的性质作出级级的划分，那些在定义方法中没有涉及“所有的性质”的性质是第1级的，而那些在下定义时涉及第n级的“所有的性质”的性质是第n+1级的，.，如此，当不具体指明所考虑的级，则凡涉及“所有的性质”的表达式是无意义的。这样，所有的性质（谓词）首先按对象的性质，性质的性质，加以分类，再按类中性质的定义方法加以分级，因之，每一性质都归属于一定的类和级，由于级是在类内划分的，因此，罗素的这一理论就叫做分支类型论分支类型论。现在学习的是第32页，共45页4 罗素对

23、悖论的解决方案类与级的划分的区分：类的划分：对集合对象的性质而言的；级的划分：对性质的定义方法而言。恶性循环原则恶性循环原则狭义非直谓定义法狭义非直谓定义法冲突冲突类型混淆原则类型混淆原则等价式非直谓定义法等价式非直谓定义法冲突冲突 实际上，那些不涉及类型混淆的非直谓定义法常常是不可缺少的。如果坚持贯彻恶性循环原则，势必要将许多数学概念抛弃，虽然排除了悖论，却也同时失去了很多合理的东西。现在学习的是第33页，共45页4 罗素对悖论的解决方案 罗素的分支类型论虽然解决了悖论，但并没有让逻辑学家们和数学家们感到满意，其原因归结起来主要有三：可划归性公理无法自明或“必然真”；恶性循环原则的不合理性；

24、类型论展开的繁杂和累赘。有人评价说“它是为阻止悖论的发生，任意地临时凑合而成的设计”。后来，有罗素的学生兰姆赛（兰姆赛（Ramsey）把分支类型论加以简化，在废除分支类型论中关于级的划分而保留类的划分的基础上建立了简单类型论简单类型论，并为大多数数学家所欢迎。悖论语义学悖论逻辑数学悖论只需坚持类型混淆原则从逻辑数学出发，不需考虑现在学习的是第34页，共45页5 塔斯基及其语义学现在学习的是第35页，共45页5 塔斯基及其语义学 逻辑哲学的基本问题是逻辑与客观现实的关系问题，即逻辑真理是否反映客观现实?逻辑学的始祖亚里士多德提出了著名的真理符合合论，认为逻辑规律是客观现实的反映。莱布尼茨首先对亚

25、里士多德的真理符合论提出了挑战，提出了二元真理论，他认为，有两种真理，一种是推理的真理一种是事实的真理。正是在真理符合论和真理二元论长期争议的背景下，塔斯基另辟蹊径，第一次提出了语义真理论，并由此创建了逻辑语义学，在世界哲学界产生了极其广泛而深远的影响。现在学习的是第36页，共45页5 塔斯基及其语义学实质适当性：能成功地把握被下定义词项的日常或直观意义，即能抓住古典符合论真理定义所蕴藏的内涵。形式正确性：能把清晰明确的定义词项无歧义地运用于被定义词项的外延。“本文几乎全部是献给一个问题一真理的定义的。它的任务是，针对一种给定的语言，建立一个实质上适当的、形式上正确的关于真句子这个诃的定义。”

26、1991.03 形式化语言中的真理概念现在学习的是第37页，共45页5 塔斯基及其语义学T型等值式（T）：）：X是真的，当且仅当是真的，当且仅当P。撒谎者悖论剖析：我们现在用符号S作为下列句子的缩写：S不是真句子这样，凭经验，我们可以建立（1）“S不是真句子”等同于S现在对S和它的引号名称“S”建立T等式，可以得到：（2）“S不是真句子”，当且仅当S不是真句子将（1）和（2）结合可以得到：S是真句子，当且仅当，S不是真句子现在学习的是第38页，共45页5 塔斯基及其语义学解悖方法：对语言进行分层处理分层处理对象语言：语言表达式本身 元语言：属于更高层次，用来谈论前一种语言的语言 前提：元语言需

27、具备此对象语言中所有的变量都更高逻辑类型的变量。（也即每个出现在对象语言中的语句也必须在元语言中出现，换言之，元语言必须将对象语言作为部分包括在内）塔斯基关于真理的定义：X是真的，当且仅当X是一语句并且类中每一无穷序列都满足X。现在学习的是第39页，共45页6 哥德尔的不完备性定理与悖论现在学习的是第40页，共45页6 哥德尔的不完备性定理与悖论 如所知，著名的哥德尔（Gdel）不完备性定理是数理逻辑发展史上的重大研究成果，曾被誉为逻辑在现代所取得的最重要的进展之一，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。定理定理 如果形式算术系统是 无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证

28、明，亦即它是不完备的。后来，又经罗塞尔（Rosser）改进为下述形式：定理定理 如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。详言之，亦即 定理 如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中，A是不能证明的，同时 A也是不能证明的。现在学习的是第41页，共45页6 哥德尔的不完备性定理与悖论不完备性定理证明证明的关键思想：映射思想映射思想Step1：通过引进哥德尔数而实现了对象的数化对象的数化手续；通过引进递归函数而证明了所有元理论元理论中关于表达式的结构形式的命题，均可在算术系统中得到表示在算术系统中得到表示。元理论中的命题元理论中的命题算术系统中的命题算术

29、系统中的命题Step2:在对象系统中构造命题G，使其元数学的意义为“G是不能证明的”，记为现在学习的是第42页，共45页6 哥德尔的不完备性定理与悖论这里，G正是所需要的不可判定的命题。前提前提：（）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任一公理系统的必然要求）。（）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G和 是同真假的）。设G是可以证明的（）G为真（）为真 由 的意义G是不能证明的结论结论1 G是不能证明的结论结论2 是不能证明的 G是不能证明的（）G为真（）为真 是不能证明的 由 的意义现在学习的是第43页，共45页7 悖论的成因与研究悖论的重要意义任何一个悖论都相对于某一理论系

30、统，还属于一定的历史范畴，因此不存在任何绝对意义下的悖论不存在任何绝对意义下的悖论，但又不排除我们能在认识论的意义下去揭示产生悖论的原因。产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾。这种直接和间接的矛盾在某一点上的集中表现就是悖论。悖论问题的研究，对于数学基础理论、逻辑学、语言学和哲学的研究都有重要意义。现在学习的是第44页，共45页 由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.徐利治7 悖论的成因与研究悖论的重要意义现在学习的是第45页，共45页