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1、关于多元函数极值与最值第一页，讲稿共二十五页哦1.连续函数的极值连续函数的极值(1)极值可疑点极值可疑点:使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2)第一充分条件第一充分条件过过由由正正变变负负为极为极大大值值过过由由负负变变正正为极为极小小值值(3)第二充分条件第二充分条件为极为极大大值值为极为极小小值值回顾回顾:第二页，讲稿共二十五页哦一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小
2、值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某邻域内有的某邻域内有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三页，讲稿共二十五页哦2 2、驻点、驻点 使一阶偏导数同时为零的点称为函数的使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点驻点驻点驻点极值点极值点注注意意第四页，讲稿共二十五页哦第五页，讲稿共二十五页哦时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确
3、定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 驻点驻点第六页，讲稿共二十五页哦例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七页，讲稿共二十五页哦在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;机动机动 目录目录
4、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八页，讲稿共二十五页哦例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此为极小值为极小值.正正负负0在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 可能为可能为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第九页，讲稿共二十五页哦二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最
5、值点边界上的最值点特别特别,当区域当区域内部内部最值存在最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,为极小为极小 值值为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十页，讲稿共二十五页哦例例3.3.解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的
6、尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最省.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十一页，讲稿共二十五页哦第十二页，讲稿共二十五页哦第十三页，讲稿共二十五页哦三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外
7、,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如,转转化化机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十四页，讲稿共二十五页哦方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法例如例如第十五页，讲稿共二十五页哦推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点.例如例如,下下在条件在条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数的极值的极值.第十八页，讲稿共二十五页哦例例5.要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求x,y
8、,令令解方程组解方程组解解:设设 x,y,z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱,试问试问 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十九页，讲稿共二十五页哦得唯一驻点得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此,当高为当高为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十页，讲稿共二十五页哦内
9、容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法简单问题用代入法如对二元函数如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十一页，讲稿共二十五页哦设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十二页，讲稿共二十五页哦解解第二十三页，讲稿共二十五页哦第二十四页，讲稿共二十五页哦感谢大家观看第二十五页，讲稿共二十五页哦