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1、第五讲立方根一.知识要点1 .立方根：2 .开立方：3 .立方根的性质：4 .平方根与立方根的区别与联系：联系：.(2).区别：.逼近思想(估算)：通过估算比拟两个数的大小估计一个无理数的大致范围的方法：假设GV。；， 那么； 假设， 那么 Ja；.误差：答案一般有两个；二.典例分析例1.求以下各数的立方根：o5(1) -27；(2) ；(3) -5；(4) 0. 216；(5) 0；(6) 7；(7) -15-；(8) 0. 512例2.求以下各式的值:（1） -V-27 ;(3 )一216一闻+g例3求以下各式的值：而Y（衿）3 =例4.求以下各式中的x值:(2)27(1)3+8 = 0；
2、(2)Vm (误差小于o. i)77(1) x3+l=- 8例5.估算以下数的大小(1) wo (误差小于1)例6.通过估算，比拟以下各组数的大小(1)-(2)-(3) V15 3.852222(4) 2 /3 ；(5) J174.2 ；3例7.陀，和址-2x互为相反数,求x:y.例8.假设m二7 = 1 。2, J_=o,求标的值.例9.：M是q + 8的算术数平方根，N = 2/痂三是人一3立方根，求A7 + N的平方根.例10.-2与#11 y互为相反数,求Jy x的值.例11.当以下关系式成立的是()A. a a , a aB. a a , a aC. ya aD. ya a , y/
3、a a例12.以下命题中正确的选项是()(1) 0. 027的立方根是3； (2)“i不可能是负数；(3)如果a是b的立方根，那么abN0;(4)一个 数的平方根与其立方根相同，那么这个数是LC. (1) (4)D. (1) (4)E. (3) (4)A. （1） （3） B. （2） （4） 例13.以下各式中，不正确的选项是（a.寸可b. 77-（-2）3C.，/+2，片+1d. 7（-5）2 = |-5|针对性练习：一.填空题：1 . 的立方根是0；（加一）的立方根是. 8.假设、3=一，贝1J x=；假设:/ + 729 = 0,贝U y=； 3（z3）3=81,那么 z=3计算:隈4
4、 .假设夜芯= 1.738,那么W0.00525 =. -27的立方根与屈的平方根的和是二.选择题:5 .以下说法正确的选项是（）.B. 一个非零的数的立方根，仍然是一个非零的数;A.零不存在算术平方根;C. 一个数的立方根一定比这个数小；D. 一个数的算术平方根一定是正数.6 .如果一人是。的立方根（加且厚0）,那么以下结论正确的选项是（）A. 一匕也是的平方根；C. 是一的立方根；8 . ayja3 的值为（）.A.正数；B.负数；9 .假设式子Jx-2 + 8%有意义,A. x22；B. xW3；三.解答题：A. 一匕也是的平方根；C. 是一的立方根；10 . ayja3 的值为（）.A
5、.正数；B.负数；11 .假设式子Jx-2 + 8%有意义,B. x22；B. xW3；三.解答题：C. b是。的立方根；D.以上结论都不对.C.非正数； D.非负数.那么元的取值范围是D. 2WxW3； D.以上都不对.A=Lm + / + 3是+3的算术平方根,B= n-2闵2n是加+2的立方根,求BA的立方根.10 . 一个正方体木块的体积是125cm3,先将它锯成8块同样大小的正方体小块，求每个小正方体木块的表 面积.12.次 =4,且(y2z+iy+Jz-3 =0,求的值.13 .请先观察以下等式:观察后，写出满足上述各a + 3b 、仁-7的立万根.C式规律的一般化公式.1 / 1
6、 914. a. b. c14. a. b. c满足一 I。一人+4| + 3一3Z? + 7 +(c + )=0,求82提升训练1 .假设人=一加3石瓦为a+3b的算术平方根，8=22一6-167为1_22的立方根，求A+B的值.2 .解方程：-i (-x+1) 3=108.4 .假设访南是一个正整数，那么满足条件的最小正整数x=.5 .对于结论：当a+b=O时，a3+b3=0也成立.假设将a看成a?的立方根，b看成是b?的立方根，由此得出 这样的结论：如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数.(1)试举一个例子来判断上述结论的猜想是否成立？(2)假设行行与弧工的值互为相反数，求1
7、 一收的值.7. 一个正数x的平方根是2a - 3与5 - a, 一个负数y的立方根是它本身，求x+y的值?8 . 一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长是原来的多少倍？体积变为原来的27倍呢？体积变为原 来的1000倍呢？利用你发现的规律解决以下问题：假设加.00000526=8 01739,如=17. 39,户7殉=丫, 求 x 和 y 的值.假设 x2= （ - 3） 2, y3= （ - 2） 3,求 x+y 的值.9 .现规定一种新的运算，aXb=%，如32=,那么3的值是（）A. 3 B版C. 2 D. 111 .以下计算正确的选项是（）A.卬一 8二一2 B. - V376-
8、6 c12 .以下语句不正确的选项是（）A. _ （02+1）没有意义B.C. - （a?+l）的立方根是卬一 （&2+i）D.13 .以下命题中正确的选项是（）0. 027的立方根是0.3；圾不可能是负一个数的平方根与其立方根相同，那么这个数是1.A. B.C.14 .假设-汇=近，那么a的值是（）： 7（-13） 2=-13D.每;5（&2+i）没有意义.-（a24-l）的立方根是一个负数数；如果a是b的立方根，那么abNO；D.va V8A. 1B. -1 C. 土88815 .以下四种说法，其中正确的选项是（）1的平方根是1；且的立方根是工； 273A.B.C16 .|x|=6, y3
9、= - 8,且 x+y0 B. x0 C. xhO D. xNO 且 XhI. 一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是.20 .假设妻和孤W都是5的立方根，那么=, b=.21 .乂=噢&是M的立方根，支正要是x的相反数，且M=3a-7,求x的平方根.实数大小进行比拟的常用方法实数的大小比拟是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难.实数是初中数学的重要内容 之一，也是学好其他知识的基础.为帮助同学们掌握好这局部知识，本文介绍几种比拟实数大小的常用方 法，供同学们参考.方法一：差值比拟法差值比拟法的基本思路是设a, b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当ab0时
10、，得至Uab,当ab0时，得到ab.当ab=0,得到a=b.例1： （1）比拟正与的大小.（2）比拟1 血与1 6的大小.55叼 V3-1 1 V3-2V3-1 1解 V-0 , A-0 ,1 V2 1 V3 .方法二：商值比拟法商值比拟法的基本思路是设a, b为任意两个正实数，先求出a与b得商.当人bVI时，a1时，ab；当巴=1时，a=b.来比拟a与b的大小. bb例2：比拟立二1与工的大小.55铲.V3-1 , 1_ 巧 I . V3-11解： = a/3 - 1 Cl V 5555方法三：倒数法 倒数法的基本思路是设a, b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当寸，ab.来
11、比拟a与b的大小.a b例 3：比拟 J2004 J2003 与 J2005 J2004 的大小.解: /j-J2004 +J2003 ,/j-J2005 +J2004V2004 -V2003V2005 -V2004又 J2004 +J2003 72005 - .2004（超纲，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先将要比拟的两个数分别平方，再根据a0, b0时、可由得到ab来比拟大小，这种方法常用于比拟无理数的大小.例5：比拟血+而与6 +巧的大小解：（血 + 病）2 =8 + 2至，（6 + 君）2=8+2 后.又 */ 8+2 J12 J5 .方法五：估算法估算法的基本是思路是
12、设a, b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某局部的取值范围， 再进行比拟.例4.比拟厄3与工的大小88解：V3 V13 4 A V13-30, b0,假设要比拟形如aJF与cJ7的大小，可先把根号外的因 数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比拟.例6：比拟与的大小角轧2疗=后:7 二 府，3d323=4.又丁2827,：,2句 3a/3 .方法七：取特值验证法比拟两个实数的大小，有时取特殊值会更简单.8 1例7:当0YXY1时，X2, X,的大小顺序是.1 9 1 1解：（特殊值法）取工二,那么：/ = _, =2.2 4 x1 . 1V-2,厂工 一.4 2x/ 1、T例设4 = 2,匕= （ 3）2, c= / , d=,那么b. c. d按由小到大的顺序排列正确的选项是（）A. cadh B. hdac C. a.cdb D. b.ca = 9, c= V-9 = - 9 , d= =2,而一WV1V29,所以 eV（2 Jadb.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比拟法等比拟实数 大小的方法.对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题.能快速地取得令人满意的结果.