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1、-第 1 页全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全-第 2 页高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1.如图，直线 l1与 l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A，点 B、D 在直线 l1上(B、D 位于点 A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在 l1上的射影点是 N，且|BN|=2|DM|.()建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程()过点 D 且不与 l1、l2垂直的直线 l 交()中的轨迹 C 于 E、F 两点；另外平面上的点 G、H 满足：(R);AGAD2;GEGFGH0.GH EF求点 G 的横坐标的取值范围2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点
2、在x轴上，离心率23e，已知点)3,0(P到这个椭圆上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程.3.已知椭圆)0(1:22221babyaxC的一条准线方程是,425x其左、右顶点分别是 A、B；双曲线1:22222byaxC的一条渐近线方程为 3x5y=0.（）求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率；（）在第一象限内取双曲线 C2上一点 P，连结 AP 交椭圆 C1于点 M，连结 PB 并延长交椭圆 C1于点 N，若MPAM.求证：.0 ABMN4.椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F（c,0）到相应准线的距离为 1，倾斜角为 45的直线交椭圆于 A，B 两点.设 AB 中点为 M，直线 A
3、B 与 OM 的夹角为a.（1）用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tan;（2）若 2tan0,b0）的右准线与2l一条渐近线l交于两点 P、Q，F 是双曲线的右焦点。（I）求证：PFl；（II）若PQF 为等边三角形，且直线 y=x+b 交双曲线于 A，B 两点，且30AB，求双曲线的方程；（III）延长 FP 交双曲线左准线1l和左支分别为点 M、N，若 M 为 PN 的中点，求双曲线的离心率 e。22.已知又曲线在左右顶点分别是 A，B，点 P 是其右准线上的一点，若点 A 关于点 P 的对称点是 M，点 P 关于点 B 的对称点是 N，且 M、N 都在此双曲线上。（I）求此双曲线的方程；
4、（II）求直线 MN 的倾斜角。23.如图，在直角坐标系中，点 A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（y 0）。设APOPBP、与 x 轴正方向的夹角分别为、，若。（I）求点 P 的轨迹 G 的方程；（II）设过点 C（0，-1）的直线l与轨迹 G 交于不同两点 M、N。问在 x 轴上是否存在一点E x00，使MNE 为正三角形。若存在求出x0值；若不存在说明理由。24.设椭圆2222xyC:1 ab0ab过点M2,1，且焦点为1F2,0。-第 9 页（1）求椭圆C的方程；（2）当过点P 4,1的动直线与椭圆C相交与两不同点 A、B 时，在线段AB上取点Q，满足AP QBAQ PB，证明
5、：点Q总在某定直线上。25.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点 A（1，0）、B（0，2），点 C 满足其中,OBOAOC、12,且R（1）求点 C 的轨迹方程；（2）设点 C 的轨迹与双曲线)0,0(12222babyax交于两点 M、N，且以 MN 为直径的圆过原点，求证：为定值2211ba.26.设)0,1(F，M、P分别为x轴、y轴上的点，且PM0PF，动点N满足：NPMN2.（1）求动点N的轨迹E的方程；（2）过定点)0)(0,(ccC任意作一条直线l与曲线E交与不同的两点A、B，问在x轴上是否存在一定点Q，使得直线AQ、BQ的倾斜角互补？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请
6、说明理由.27.如图，直角梯形 ABCD 中，90DAB，ADBC，AB=2，AD=23，BC=21椭圆 F 以 A、B 为焦点，且经过点 D，（）建立适当的直角坐标系，求椭圆 F 的方程；（）是否存在直线l与M、F交于椭圆N两点，且线段CMN的中点为点，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.28.如图所示，B（c，0），C（c，0），AHBC，垂足为 H，且HCBH3（1）若ACAB=0，求以 B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率；（2）D 分有向线段AB的比为，A、D 同在以 B、C 为焦点的椭圆上，CBDA-第 10 页当 527时，求椭圆的离心率 e 的取值范围29.在直
7、角坐标平面中，ABC的两个顶点BA,的坐标分别为)0,1(A，)0,1(B，平面内两点MG,同时满足下列条件：（1）求ABC的顶点C的轨迹方程；（2）过点)0,3(P的直线l与（1）中轨迹交于FE,两点，求PFPE 的取值范围答案：1.解：()以 A 点为坐标原点，l1 为 x 轴，建立如图所示的坐标系，则 D(1，0)，B(4，0)，设 M（x，y），则 N（x，0）.|BN|=2|DM|，|4x|=2(x1)2+y2,整理得 3x2+4y2=12,动点 M 的轨迹方程为x24+y23=1.A、D、G 三点共线，即点 G 在 x 轴上；又2,GEGFGHH 点为线段 EF 的中点；又0,GH
8、 EF点 G 是线段 EF 的垂直平分线 GH 与 x 轴的交点。设 l：y=k(x1)(k0)，代入 3x2+4y2=12 得(3+4k2)x28k2x+4k212=0，由于 l 过点 D(1，0)是椭圆的焦点，l 与椭圆必有两个交点，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF 的中点 H 的坐标为（x0，y0），x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2123+4k2，x0=x1+x22=4k23+4k2，y0=k(x01)=3k3+4k2，线段 EF 的垂直平分线为y y0=1k(xx0)，令 y=0 得，点 G 的横坐标 xG=ky0+x0=3k23+4k2+4k23+4k2=k
9、23+4k2=1434(3+4k2)，k0，k20，3+4k23，01(3+4k2)13，1434(3+4k2)0，xG=1434(3+4k2)(0，14）-第 11 页点 G 的横坐标的取值范围为(0，14）.2.解：23e，ac23由222cba得ba2设椭圆的方程为142222bybx（0b）即22244ybx（byb）设),(yxM是椭圆上任意一点，则若1b即bb1，则当1y时，124|22max bPM由已知有161242b，得1b；若10 b即b1，则当by时，96|22maxbbPM由已知有16962 bb，得7b（舍去）.综上所述，1b，2a.所以，椭圆的方程为1422 yx.
10、3.解：（I）由已知435:534252222cbabacabca解之得椭圆的方程为192522yx，双曲线的方程192522yx.又34925C双曲线的离心率5342e（）由（）A（5，0），B（5，0）设 MMPAMyx则由),(00得 M 为 AP 的中点-第 12 页P 点坐标为)2,52(00yx 将 M、p 坐标代入 c1、c2 方程得1925)52(19252002020yxyx消去 y0 得02552020 xx解之得)(52500舍或xx由此可得 P（10，)33当 P 为（10，)33时PB：)5(51033xy即)5(533xy代入)(525025152:1925222舍
11、或得xxxyxMNNxxx25MNx 轴即0 ABMN4.解：（1）由题意可知,1222222ccabccacca则所以椭圆方程为分41222cyccx设),(),(2211yxByxA，将其代入椭圆方程相减，将212121211xxyykxxyyOM与代入 可化得cccctgckOM2|111111|,11（2）若 2tan|CA|=2，于是点 Q 的轨迹是以点 C，A 为焦点，半焦距 c=1，长半轴 a=2的椭圆，短半轴,122cab点 Q 的轨迹 E 方程是：1222 yx.（2）设（x1，y1）H（x2，y2），则由112222kkxyyx，-第 22 页消去 y 得)0(08,021
12、4)12(22222kkkxkkxk又点 O 到直线 FH 的距离 d=1，18.解：（1）以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A（c，0），B（c，0）依题意：caPBPAPBaPA22|,|2|点 P 的轨迹为以 A、B 为焦点，实半轴为 a，虚半轴为22ac 的双曲线右支轨迹方程为：)(122222axacyax。（2）法一：设 M（1x，1y），N（2x，2y）依题意知曲线 E 的方程为)1(1322xyx，l 的方程为xy3设直线 m 的方程为)2(xky由方程组)2(1322xkyyx，消去 y 得直线)2(:xkym与双曲线右支交于不同
13、的两点021 xx及021xx，从而32k由得)2(34433222xxxxk解得45x且2x当 x2 时，直线 m 垂直于 x 轴，符合条件，),45(1x又设 M 到 l 的距离为 d，则2|3|11yxd设1123)(2xxxd，),45x-第 23 页由于函数xy 与12xy均为区间),45的增函数)(xd在),45单调递减)(xd的最大值43)45(d又01123)(2limlimxxxdxx而 M 的横坐标),45(1x，)43,0(d法二：xgl3:为一条渐近线m 位于1l时，m 在无穷远，此时0dm 位于2l时，)433,45(M，d 较大由4513)2(322xyxxy点 M
14、)433,45(故430 d19.解：(1)曲线016222yxyx表示以)3,1(为圆心,以 3 为半径的圆,圆上两点 P、Q 满足关于直线04 myx对称,则圆心)3,1(在直线04 myx上,代入解得.1m(2)直线 PQ 与直线4 xy垂直,所以设 PQ 方程为将直线bxy与圆的方程联立得016)4(2222bbxbx由,0解得232232b.-第 24 页又以 PQ 为直径的圆过 O 点OQOP 02121yyxx解得1b).232,232(故所求直线方程为.01 yx20.解：（1）(3,),(3,)axy bxy，且4ab，动点(,)Q x y到两个定点12(3,0),(3,0)
15、FF的距离的和为 4，轨迹C是以12(3,0),(3,0)FF为焦点的椭圆，方程为2214xy（2）设1122(,),(,)A x yB xy，直线AB的方程为yxt，代入2214xy，消去y得2258440 xtxt，由0 得25t，且21212844,55ttxxx x，设点(,)M x y，由cossinOMOAOB可得1212cossincossinxxxyyy点(,)M x y在C上，又因为0,2 的任意性，121240 x xy y，2445t 24(4)05t，又0t，得t 102，代入t 102检验，满足条件，故t的值是102。21.解：(1)不妨设22,:bacxabyl.)
16、,.(,:222cabcapcaxl,F.(c,0)设.,21kPFkl的斜率为的斜率为-第 25 页k2=,22bababccacabk1k2=1.即 PFl.（2）由题.33,3baab131,2222bybxbxy.x2bxb2=0,22121bxxbxxa=1,双曲线方程为.1322yx（3）PFl:y=)(cxbaM(bccaaca)(,222,2MNPxxxN（bccaaca)3(,3222）.又 N 在双曲线上。,1)3(922222222acebcacacae=.522.解：（I）点 A、B 的坐标为 A（-3，0），B（3，0），设点 P、M、N 的坐标依次为则有 4-得，解
17、得 c=5故所求方程是-第 26 页（II）由得，所以，M、N 的坐标为所以 MN 的倾斜角是23.解：（I）由已知x 0，当x 1时，当x 1时，P 12，也满足方程所求轨迹 G 方程为310022xyyx()，（II）假设存在点E x00，使MNE为正设直线l方程：ykx1代入310022xyxy()，得：322022kxkxMN 中点Fkkk33322，在正EMN 中，32MNEFk23与36k矛盾不存在这样的点E x00，使MNE 为正24.解：（1）由题意：222222c2211abcab，解得22a4,b2，所求椭圆方程为22xy142（2）解：设过 P 的直线方程为：y 1k x
18、4，设00Q x,y，11A x,y，22B x,yPABQOxy4,111x,y22x,y00 x,y-第 27 页则22xy142ykx4k1APQBAQPB，APPBAQQB，即1210024x4xxxxx，化简得：0012128x4xxx2x x0，去分母展开得：化简得：002x4kkx10，解得：0012xkx4又Q 在直线y 1k x4 上，即002xy20，Q 恒在直线2xy20上。25.解：（1）解：设)2,0()0,1(),(,),(yxOBOAOCyxC则因为即点 C 的轨迹方程为 x+y=126.解：（1）设),(yxN，则)2,0(yP、)0,(xM，），（、21)2,
19、(yPFyxPM又0PFPM，042yx，即xy42.（2）设直线l的方程为：)(cxky，),(11yxA、),(22yxB假设存在点)0,(tQ满足题意，则0BQAQkk，)(42cxkyxy，即0)2(222222ckxckxk，2221)2(2kckxx，221cxx，又)()()(02112212211txtxtxytxytxytxykkBQAQ由于0k，则0)2(2)(222)(22222121kcktcctcctxxtcxx对不同的k值恒成立，即02)()2)(222ktckckctc对不同的k值恒成立，-第 28 页则0tc，即ct，故存在点)0,(cQ符合题意.27.解：（）
20、以 AB 中点为原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图则 A（-1,0）B(1,0)D(-1,23)设椭圆 F 的方程为)0(12222babyax得1123)1(222222baba得3410417422224baaaa所求椭圆 F 方程13422yx（）解：若存在这样的直线 l，依题意，l 不垂直 x 轴设 l 方程)1(21xky代入012)21(4)21(8)43(13422222kxkkxkyx得设),(11yxM、),(22yxN有1221 xx得23243)21(82kkkk得又134)21,1(22yxC在椭圆点内部故所求直线 l 方程223xy（）解法 2：
21、若存在这样的直线 l，设),(),(2211yx、NyxM，有13413421222121yxyx-第 29 页两式相减得0)(31)(4122212221yyxx21xx 有2121212143yyxxxxyy得232121xxyy即 l 斜率为23又内部在椭圆点13422yxC，故所求直线 l 方程223xy28.解：（1）因为HCBH3，所以 H0 2，c，又因为 AHBC，所以设 A02yc，由0 ACAB得02200 yccycc，即22043cy3 分所以|AB|=ccc3432322，|AC|=ccc43222椭圆长轴 2a=|AB|+|AC|=(3+1)c，所以，13 ace（
22、2）设 D(x1，y1)，因为 D 分有向线段AB的比为，所以121ccx，101yy，设椭圆方程为2222byax=1(a b 0)，将 A、D 点坐标代入椭圆方程得142202bye.由得1220by42e，代入并整理得113122e，因为 527，所以21312，e，又 0 e 1，所以33e2229.解：（1）设).,(,),(,),(00MMyxMyxGyxCMBMA，M点在线段AB的中垂线上由已知(1,0),(1,0),0MABx；又GMAB，0yyM又0GCGBGA1322yx0y，顶点C的轨迹方程为1322yx0y.(2)设直线l方程为：)3(xky，),(11yxE，),(22yxF-第 30 页由13)3(22yxxky消去y得：039632222kxkxk而PFPEPFPEPFPE0cos2212313 1xkxk由方程知393462222kkk02k83