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1、幂级数收敛域绝好课件2022/9/291现在学习的是第1页，共36页什麽叫幂级数？什麽叫幂级数？一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性每一项都是幂函数的函数项级数每一项都是幂函数的函数项级数作变换：作变换：2022/9/292现在学习的是第2页，共36页解解问题：幂级数的收敛域是怎样的？问题：幂级数的收敛域是怎样的？2022/9/293现在学习的是第3页，共36页解解2022/9/294现在学习的是第4页，共36页解解2022/9/295现在学习的是第5页，共36页 问题：问题：由以上三个例题由以上三个例题 可以看出，幂级数的收敛域可以看出，幂级数的收敛域 是怎样的？是怎样的？小结小结 由以
2、上三个例子可见由以上三个例子可见,幂级数幂级数 的收敛域有以下三种情形的收敛域有以下三种情形:(1)收敛域为收敛域为整个实数集整个实数集;(2)收敛域为一个收敛域为一个单点集单点集;(3)收敛域为一个收敛域为一个有穷区间有穷区间.2022/9/296现在学习的是第6页，共36页定理定理1 (阿贝尔定理阿贝尔定理)绝对收敛绝对收敛发散发散2022/9/297现在学习的是第7页，共36页在在 x x1 1 收敛收敛在在 X2 发散发散2022/9/298现在学习的是第8页，共36页怎样证明怎样证明?2022/9/299现在学习的是第9页，共36页2022/9/2910现在学习的是第10页，共36页
3、2022/9/2911现在学习的是第11页，共36页 问题：问题：由阿贝尔定理看，由阿贝尔定理看，幂级数的收敛域有何特点？幂级数的收敛域有何特点？2022/9/2912现在学习的是第12页，共36页2022/9/2913现在学习的是第13页，共36页定义定义 (幂级数的收敛半径、收敛区间幂级数的收敛半径、收敛区间)2022/9/2914现在学习的是第14页，共36页2022/9/2915现在学习的是第15页，共36页2022/9/2916现在学习的是第16页，共36页问题：问题：怎样求幂级数的收敛半径怎样求幂级数的收敛半径?2022/9/2917现在学习的是第17页，共36页2022/9/29
4、18现在学习的是第18页，共36页2022/9/2919现在学习的是第19页，共36页2022/9/2920现在学习的是第20页，共36页2022/9/2921现在学习的是第21页，共36页缺项缺项!2022/9/2922现在学习的是第22页，共36页22022/9/2923现在学习的是第23页，共36页 一致收敛一致收敛定理定理1 1：（内闭一致收敛性）（内闭一致收敛性）二二、幂级数的解析性质幂级数的解析性质2022/9/2924现在学习的是第24页，共36页2022/9/2925现在学习的是第25页，共36页定理定理2 2：（和函数的连续性）（和函数的连续性）2022/9/2926现在学习
5、的是第26页，共36页2022/9/2927现在学习的是第27页，共36页2022/9/2928现在学习的是第28页，共36页定理定理3 3：（逐项积分）（逐项积分）2022/9/2929现在学习的是第29页，共36页证证2022/9/2930现在学习的是第30页，共36页定理定理4 4：（逐项微分）（逐项微分）2022/9/2931现在学习的是第31页，共36页2022/9/2932现在学习的是第32页，共36页2022/9/2933现在学习的是第33页，共36页2022/9/2934现在学习的是第34页，共36页用反证法用反证法2022/9/2935现在学习的是第35页，共36页2022/9/2936现在学习的是第36页，共36页