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1、幂级数的收敛域现在学习的是第1页，共11页 定理定理 7（逐项求积分）（逐项求积分）若函数项级数若函数项级数un(x)在在a,b 上一上一致收敛，且每一项都连续，则致收敛，且每一项都连续，则其和函数在其和函数在a,b 可积，且可积，且 定理定理 8（逐项求导）（逐项求导）若若 un(x)在在I收敛，收敛，un(x)在在 a,b 上有连续的导数，上有连续的导数，un(x)在在a,b 上一致收敛，上一致收敛，则其和函数在则其和函数在I连续可导，且连续可导，且现在学习的是第2页，共11页幂级数的一般形式为幂级数的一般形式为现在学习的是第3页，共11页定理定理1 1 (阿阿贝贝尔尔第一定理第一定理)一
2、、幂级数的收敛域都发散都发散.现在学习的是第4页，共11页注注 由定理由定理1知道知道:幂级数幂级数(1)(1)的收敛域是以原点为中的收敛域是以原点为中心的对称区间心的对称区间.若以若以2r表示区间的长度，则表示区间的长度，则r称为幂级数的收敛半径称为幂级数的收敛半径.现在学习的是第5页，共11页定理定理2则则现在学习的是第6页，共11页证证 根据根据级级数的根式判数的根式判别别法法,当当时时,级级数数 收收敛敛.当当时时,级级数数发发散散.于是于是(i)当当时时,由由得得幂级幂级数收数收敛敛半半 径径(ii)所以所以现在学习的是第7页，共11页(iii)现在学习的是第8页，共11页现在学习的是第9页，共11页现在学习的是第10页，共11页收敛收敛.收敛收敛.现在学习的是第11页，共11页