《高数第一章-映射与函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第一章-映射与函数.ppt（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1 1-第一节第一节 映射与函数映射与函数一一集合与映射集合与映射二二函数的概念函数的概念三三函数的几种特性函数的几种特性四四反函数与复合函数反函数与复合函数五五初等函数初等函数六六建立函数关系举例建立函数关系举例第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2 2-一、一、集合与映射集合与映射1.1.集合集合集合集合：具有某种特定性质的事物的
2、总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集如如且且中有不在中有不在的元素，的元素，的真子集，记为的真子集，记为则称则称是是若若则必则必就说就说是是的子集，的子集，记作记作第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3 3-数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如
3、,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.-正整数集正整数集如果如果且且则称集合则称集合和和相等，相等，第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4 4-2.2.实数集实数集定义定义1 1设设如果存在数如果存在数使得对一切使得对一切都有都有则称则称有上有上(下下)界界,定义定义2 2 设设是一个非空数集是一个非空数集,若存在一个上若存在一个上(下下)界界使得对使得对的一切上的一切上(下下)界界都有都有则称则称是是的的上上(下下)确界确界,定理定理1 1 任何一个非空的实数集任何
4、一个非空的实数集如果有上如果有上(下下)界界,则必有上则必有上(下下)确界确界.如果数集如果数集既有上界又有下界既有上界又有下界,则称则称是是有界有界的的,为为的的一个一个上上(下下)界界.称称是是无界无界的的.否则称否则称记为记为第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5 5-区间区间是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个这两个实数叫做区间的实数叫做区间的端点端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与
5、函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -6 6-称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -7 7-第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限
6、连连连连续续续续 -8 8-3.3.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母通常用字母等表示常量等表示常量,用字母用字母等表示等表示变变量量.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -9 9-4.4.映射映射定义定义3 3设设是两个非空集合是两个非空集合,若对每个若对每个按
7、照某个确定的法则按照某个确定的法则有唯一确定的有唯一确定的与它对应与它对应,则称则称是是到到的一个的一个映射映射,记作记作或或其中其中称为称为在映射在映射下的下的像像，称为称为在映射在映射下下的一个的一个原像原像(或或逆像逆像),),称为映射称为映射的的定义域定义域,记为记为或或所有元素所有元素的像的像的全体所构成的集的全体所构成的集合称为合称为的的值域值域,记为记为或或即即第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1010-映射的两个基本要素：定义域与对应法则映射的两个基本要素：定义域
8、与对应法则设设如果如果则称则称是一个是一个满映射满映射，如果对如果对中的任意两个不同元素中的任意两个不同元素有有则称则称是一个是一个单射单射，如果一个映射既是满射，又是单射如果一个映射既是满射，又是单射则称则称是个是个一一映射一一映射.如果如果是个一一映射，则对每个是个一一映射，则对每个有唯一的一有唯一的一个个适合适合规定规定则则就是就是到到上的一个映射，称为上的一个映射，称为的的逆映射逆映射，记为，记为第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1111-其定义域其定义域值域值域此时也此
9、时也称称是是可逆映射可逆映射.设设则对每个则对每个对应唯一对应唯一的一个的一个从而对应唯一的一个从而对应唯一的一个这样就确定了一个从集合这样就确定了一个从集合到集合到集合的映射的映射,这个映这个映射称为射称为和和所确定的所确定的复合映射复合映射,记为记为即即任意两个映射任意两个映射则则当且仅当当且仅当第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1212-5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第
10、第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1313-二、函数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n n 边形边形O Or r)1 1 函数的定义函数的定义第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1414-因变量因变量自变量自变量定义定义4 4数集数集叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域 。记作记作则称映射则称映射为定义在为定义在上的一个上的一个函数函数，是一个给定的数集，是一个给定的数集，设设函数的函数的
11、值域值域.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1515-自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f f函数的两要素函数的两要素:定义域与对应法则定义域与对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1616-如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应如果自变量在定义域内
12、任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数又称为的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数单值函数.如果给定一个法则如果给定一个法则,按照这个法则按照这个法则,对每个对每个有多个确定的有多个确定的与之对应与之对应,这样的一个法则称为这样的一个法则称为多值多值函数函数一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论例例1 1求函数求函数的定义域的定义域.解解函数的的定义域为满足不等式函数的的定义域为满足不等式例如例如第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续
13、续 -1717-既满足既满足因此因此函数的定义域为函数的定义域为2 2 函数的图形函数的图形定义定义5 5第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -1818-(1)(1)符号函数符号函数3 3 函数的表示法函数的表示法1-1x xy yo o函数常用的表示法有公式法函数常用的表示法有公式法,图示法图示法,表格法表格法.几种常用的函数几种常用的函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续
14、续 -1919-1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3x xy yo o阶梯曲线阶梯曲线(2)(2)取整函数取整函数表示不超过表示不超过的最大整数的最大整数(3)(3)绝对值函数绝对值函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2020-(4)(4)取最值函数取最值函数y yx xo oy yx xo o第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2
15、121-在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2222-例例2 2脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系的函数关系式式.解解第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限
16、连连连连续续续续 -2323-单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2424-例例3 3解解故故第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2525-三三 函数的几种特性函数的几种特性1 1 函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数y yx xox-x第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章
17、函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2626-奇函数奇函数y yx xo ox-x第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2727-2 2 函数的单调性函数的单调性x xy yo o第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -2828-xyo第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限
18、限限限 连连连连续续续续 -2929-3 3 函数的函数的周期性周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.设函数设函数的定义域为的定义域为且且则称则称为为周期函数周期函数,称为函数称为函数的的周期周期.如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数使得对于任一使得对于任一第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3030-M-Myxo oy=f(x)X有界有界无界无界M-Myxo oX4 4函数的有界性函数的有界性第一节第一节第一节第一节 映射与
19、函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3131-四四 反函数与复合函数反函数与复合函数1 1 反函数反函数定义定义6 6设函数设函数是一一映射是一一映射,则其逆映射则其逆映射称为函数称为函数的的反函数反函数,记为记为称函数称函数为为直接函数直接函数.由定义可知由定义可知,若函数若函数存在反函数存在反函数则则(1)(1)对于对于的任意两个数的任意两个数定有定有第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3232-
20、(2)(2)与与互为反函数互为反函数,且且(3)(3)DD第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3333-习惯上用字母习惯上用字母表示自变量表示自变量,表示因变量表示因变量,函数函数的反函数经常表示成的反函数经常表示成例例4 4 讨论函数讨论函数的反函数的反函数.解解函数的定义域函数的定义域值域值域由于对于由于对于有两个自变量值有两个自变量值都满足关系式都满足关系式因此此函数不存在反函数因此此函数不存在反函数.但如果将函数的定义域限制在但如果将函数的定义域限制在则函数则函数的反函数为
21、的反函数为的反函数为的反函数为第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3434-例例5 5求函数求函数的反函数的反函数.解解当当时时,得得当当时时,得得当当时时,得得第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3535-2 2 反函数的图形反函数的图形 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映
22、射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3636-3 3 复合函数复合函数定义定义7 7同复合映射一样，同复合映射一样，函数函数可以构成复合函数可以构成复合函数当且仅当当且仅当如果如果时时,我们可以我们可以通过改变通过改变的定义域来构造复合函数的定义域来构造复合函数.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3737-注意注意:1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;2.2.复合函数
23、可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3838-例例6 6解解第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -3939-综上所述综上所述第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4040-五五 初等函数初
24、等函数(2)(2)幂函数幂函数1 1 基本初等函数基本初等函数(1)(1)常数函数常数函数(其中其中为已知常数为已知常数).).第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4141-(3)(3)指数函数指数函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4242-(4)(4)对数函数对数函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函
25、函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4343-(5)(5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4444-余弦函数余弦函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4545-正切函数正切函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续
26、续续续 -4646-余切函数余切函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4747-正割函数正割函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4848-余割函数余割函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -4949-(6)(6)反三角函数反三角函数第一节第一节第一节第
27、一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5050-第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5151-第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5252-常数函数常数函数,幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等
28、函数.第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5353-2 2 初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.多项式函数多项式函数其中其中有理函数有理函数其中其中第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续
29、-5454-奇函数奇函数.偶函数偶函数.3 3 双曲函数双曲函数第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5555-奇函数奇函数,有界函数有界函数,第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5656-双曲函数常用公式双曲函数常用公式第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5757-反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5858-第一节第一节第一节第一节 映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数 第第第第一一一一章章章章 函函函函数数数数 极极极极限限限限 连连连连续续续续 -5959-奇函数奇函数,