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1、关于随机变量的分布和数字特征第一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月为为什么要引入随机什么要引入随机变变量的概念量的概念1.1.很多随机很多随机试验试验，其，其结结果可以直接用数果可以直接用数值值表示。表示。例如：例如：产产品抽品抽检检中出中出现现的次品数，的次品数，测测量物体量物体长长度度产产生生的的误误差等。差等。2.2.有些有些试验试验其其结结果看起来与数果看起来与数值值没有直接的关系，但是没有直接的关系，但是我我们们可以人可以人为为的的赋赋予他予他们们“关系关系”。例如：抛硬例如：抛硬币币的的试验试验第二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月这这这这个个个个试验试验试验试
2、验有有有有2 2 2 2个可能的个可能的个可能的个可能的结结结结果果果果:正面正面正面正面,反面。反面。反面。反面。为为为为了了了了讨论讨论讨论讨论的方的方的方的方便，引入便，引入便，引入便，引入变变变变量量量量X X，当正面出，当正面出，当正面出，当正面出现时现时现时现时，取，取，取，取X X=1=1=1=1，当反面出，当反面出，当反面出，当反面出现时现时现时现时，取取取取X X=0=0=0=0，这样这样这样这样，X X随随随随试验结试验结试验结试验结果的不同而取不同的果的不同而取不同的果的不同而取不同的果的不同而取不同的值值值值，即，即，即，即X X X X可以看成是定可以看成是定可以看成
3、是定可以看成是定义义义义在在在在样样样样本空本空本空本空间间间间上的函数上的函数上的函数上的函数第三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月一、随机变量一、随机变量（random variable）的概念的概念 2.1 2.1 随机变量随机变量 1 1、含义：用来表示随机现象结果的变量。、含义：用来表示随机现象结果的变量。样本点本身是用数量表示的；样本点本身是用数量表示的；样本点本身不是用数量表示的。样本点本身不是用数量表示的。总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，都可以总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值建建立一个样本空
4、间和实数空间的对应关系，使之与数值建立联系，用随机变量的取值来表示事件。立联系，用随机变量的取值来表示事件。2 2、定义：定义在样本空间、定义：定义在样本空间上的实值函数上的实值函数XX()称为随机变量，常用大写英文字母或小写希腊字称为随机变量，常用大写英文字母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英文字母表示其取值。母来表示，相应地，用小写英文字母表示其取值。H HT T第四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月随机变量的特点随机变量的特点:（1 1）X的全部可能取值是互斥且完备的。的全部可能取值是互斥且完备的。（2 2）X的部分可能取值描述随机事件。的部分可能取值描述随机事件。注：注：
5、随机变量是样本点的函数，其函数值是实数，随机变量是样本点的函数，其函数值是实数，但自变量（样本点）不一定是实数。但自变量（样本点）不一定是实数。与微积分中的变量不同，还存在其取值的概率的问与微积分中的变量不同，还存在其取值的概率的问题。（分布）题。（分布）第五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、随机变量的实例二、随机变量的实例解：样本点如图所示解：样本点如图所示解：样本点如图所示解：样本点如图所示共有共有共有共有10101010个不同的样本点个不同的样本点个不同的样本点个不同的样本点例例1 1 引入适当的随机变量描述下列事件：将引入适当的随机变量描述下列事件：将3 3个球随机地个球
6、随机地放入三个格子中，事件放入三个格子中，事件A=有有1 1个空格个空格，B=有有2 2个空格个空格，C=全有球全有球。第六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月记记记记X X表示表示表示表示“空格个数空格个数空格个数空格个数”，则有，则有，则有，则有第七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月三、关于随机变量的补充说明三、关于随机变量的补充说明 随机随机随机随机变变变变量随着量随着量随着量随着试验结试验结试验结试验结果的不同而取不同的果的不同而取不同的果的不同而取不同的果的不同而取不同的值值值值，在，在，在，在试验试验试验试验之前，只能知道它可能取之前，只能知道它可能取之前，只能知
7、道它可能取之前，只能知道它可能取值值值值的范的范的范的范围围围围，但不能，但不能，但不能，但不能预预预预先知道它取哪个先知道它取哪个先知道它取哪个先知道它取哪个（些）（些）（些）（些）值值值值；随机随机随机随机试验试验试验试验的各个的各个的各个的各个结结结结果的出果的出果的出果的出现现现现有一定的概率，因此随机有一定的概率，因此随机有一定的概率，因此随机有一定的概率，因此随机变变变变量取某个（些）量取某个（些）量取某个（些）量取某个（些）值值值值也有一定的概率。也有一定的概率。也有一定的概率。也有一定的概率。第八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月随机变量的分类：随机变量的分类：其他（
8、混合型）其他（混合型）连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量第九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2.2 2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量及概率分布一、离散型随机变量及概率分布XP第十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例1 1 掷掷两两颗颗骰子，骰子，观观察其点数，察其点数，记记记记X X为为为为点数之和，点数之和，点数之和，点数之和，Y Y为为为为6 6 6 6点点点点的个数，的个数，的个数，的个数，Z Z为为为为最大点数，求最大点数，求最大点数，求最大点数，求X X、Y Y、Z
9、 Z的概率分布。的概率分布。的概率分布。的概率分布。含有含有含有含有36363636个样本点个样本点个样本点个样本点.分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？第十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月X XP PY YP PZ ZP P第十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月求分布律的一般步骤求分布律的一般步骤确定样本空间。确定随机变量的可能取值。确定随机变量的每个取值所对应的事件。求出每个事件的概率。列出表格或写出一般的概率
10、表达式。求分布律中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应求分布律中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应求分布律中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应求分布律中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应到样本空间中的具体事件。到样本空间中的具体事件。到样本空间中的具体事件。到样本空间中的具体事件。第十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分布律的基本性质分布律的基本性质 非非负负性：性：正正则则性：性：这两条性质也是随机变量分布律的充要条件。这两条性质也是随机变量分布律的充要条件。第十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、常用离散分布二、常用离散分布1 1、0
11、 01 1分布分布 X 0 1 P 1-p p 随机变量只有两个取值的分布称为两点分布；特别地，随机变量只有两个取值的分布称为两点分布；特别地，若其取值为若其取值为0 0和和1 1，称之为，称之为0 01 1分布。分布。例例2 2 一批产品的废品率为一批产品的废品率为5%5%，从中任意取一个进行检验，从中任意取一个进行检验，用随机变量用随机变量X描述废品出现的情况，即描述废品出现的情况，即X的分布。的分布。第十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月用用X=1=1表示产品为废品，表示产品为废品，X=0=0表示表示产产品品为为合格品，合格品，则则 X 0 1 P 95%5%2 2、二项分布
12、、二项分布（Binominal distribution）定义：在定义：在定义：在定义：在 n n 重重重重BernoulliBernoulli试验中，试验中，试验中，试验中，若以若以若以若以X X记事件发生的次数，记事件发生的次数，记事件发生的次数，记事件发生的次数，则则则则X X为一随机变量，且其可能取值为为一随机变量，且其可能取值为为一随机变量，且其可能取值为为一随机变量，且其可能取值为X X=0,1,2,=0,1,2,=0,1,2,=0,1,2,，n n.其对应其对应其对应其对应的概率由二项概率给出：的概率由二项概率给出：的概率由二项概率给出：的概率由二项概率给出：第十六张，PPT共一
13、百零三页，创作于2022年6月例例3 某工厂每天用水量保持正常的概率某工厂每天用水量保持正常的概率为为3/4,求最近求最近6天内用天内用水量正常的天数的分布。水量正常的天数的分布。X 0 1 2 3 4 5 6 P0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780第十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3、泊松分布、泊松分布第十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月补充说明补充说明单位时间内电话总机接到用户的呼唤次数、电路受到的单位时间内电话总机接到用户的呼唤次数、电路受到的电磁波的冲击次数；一平方米内玻璃上的气泡数；一铸电磁波的
14、冲击次数；一平方米内玻璃上的气泡数；一铸件上的沙眼数等随机变量都服从泊松分布。件上的沙眼数等随机变量都服从泊松分布。二项分布和泊松分布都是非常重要常用的离散分布二项分布和泊松分布都是非常重要常用的离散分布.在在n重的贝努利试验中，某个事件在重的贝努利试验中，某个事件在n次试验中发生的次次试验中发生的次数服从的是二项分布数服从的是二项分布.其特点是只知次数，不知位置其特点是只知次数，不知位置.二项分布在某个取值处概率达到最大二项分布在某个取值处概率达到最大.第十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二项分布与泊松分布的关系：二项分布与泊松分布的关系：泊松定理泊松定理 二二项项概率可以用泊
15、松分布的概率来近似概率可以用泊松分布的概率来近似 ，n n越大，近越大，近越大，近越大，近似程度越高，似程度越高，似程度越高，似程度越高，该该该该定理解决了二定理解决了二定理解决了二定理解决了二项项项项概率的近似概率的近似概率的近似概率的近似计计计计算算算算问题问题问题问题。第二十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例4 已知某种疾病的已知某种疾病的发发病率病率为为0.001，某，某单单位共有位共有5000人，人，问该单问该单位患有位患有这这种疾病的人数不超种疾病的人数不超过过5人的概率是人的概率是多少？多少？解：解：设设患病人数患病人数为为X，则则X服从二服从二项项分布分布B(50
16、00,0.001).n=5000,p=0.001.概率可利用泊松分布近似概率可利用泊松分布近似计计算。算。直接直接直接直接查查查查表可得，表可得，表可得，表可得，见见见见P294P294，5 5，k k=0=05.5.第二十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月4、几何分布（、几何分布（Geometric distribution）特殊性质特殊性质无记忆性无记忆性定定义义：在：在Bernoulli试验试验中，中，记记 p 为为事件事件A在一次在一次试验试验中出中出现现的的概率，概率，X为为首次出首次出现现A时时的的试验试验次数，次数，则则X的可能取的可能取值为值为1，2，称，称X的分布
17、的分布为为几何分布，几何分布，记为记为XGe(p).其分布律其分布律为为第二十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月5、超几何分布、超几何分布 设设N个元素分个元素分为为两两类类，有，有N1个属于第一个属于第一类类，N2属于第二属于第二类类（N1+N2=N)，从中任取，从中任取n个，令个，令X表示取到的第一（二）表示取到的第一（二）类类元素的个数，元素的个数，则则X的分布称的分布称为为超几何分布。超几何分布。当当N很大，很大，n相对于相对于N较小时，超几何分布可用二项分布较小时，超几何分布可用二项分布来近似计算，不放回抽样可近似看成有放回抽样，这一结来近似计算，不放回抽样可近似看成有放
18、回抽样，这一结论在实际工作中往往可使问题变得简单。论在实际工作中往往可使问题变得简单。第二十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我们引入了分为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我们引入了分布函数的概念。布函数的概念。一、分布函数（一、分布函数（distribution function）的定义）的定义2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第二十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 注注：（1 1 1 1）分布函数表示的是随机事件的概率。分布函数表示的是随机事件的概率。分布函数表示的是随机事件的概率。分布函数表示的是随机
19、事件的概率。（2 2 2 2）分布函数与微积分中的函数没有区别。分布函数与微积分中的函数没有区别。分布函数与微积分中的函数没有区别。分布函数与微积分中的函数没有区别。第二十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、分布函数的性质二、分布函数的性质 注：以上三条是分布函数的基本性注：以上三条是分布函数的基本性质质，也是分布函数的充要，也是分布函数的充要条件。条件。第二十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月三、举例三、举例例例1 1一袋中装有依次标着数字一袋中装有依次标着数字-1-1，2 2，2 2，2 2，3 3，3 3的的6 6个球，从个球，从袋中随机取出一个球。记袋中随机取
20、出一个球。记X为取出的球上的数字，求为取出的球上的数字，求X的分布的分布函数。函数。解：解：X的可能取值有的可能取值有-1-1，2 2，3.3.且有且有第二十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月该分布函数的图形如下该分布函数的图形如下:注：分布函数是概率的累加。注：分布函数是概率的累加。第二十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数由分布律可以写出其分布函数由分布律可以写出其分布函数由分布律可以写出其分布函数由分布律可以写出其分布函数 1 1 1 10 0 0 0它的它的它的它的图图图图形是有限（或无形是有限（或无形是有限
21、（或无形是有限（或无穷穷穷穷）级级级级数的数的数的数的阶阶阶阶梯函数梯函数梯函数梯函数右右右右连续连续连续连续 在在X的取正概率的点的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率处有跳跃，跃度为概率pk.第二十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月解：解：X的可能取值为的可能取值为1 1，2 2，3.3.且且例例2 2一个袋中有一个袋中有5 5个球，编号为个球，编号为1 1，2 2，3 3，4 4，5.5.从中任取从中任取3 3个，个，以以X表示取出球的最小号码，求表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。的分布律与分布函数。注：计算概率时，必须明确相应的具体事件是什么。注：计算概率时，必
22、须明确相应的具体事件是什么。第三十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月X的分布律为的分布律为 X 1 2 3 P0.6 0.3 0.1X的分布函数为的分布函数为思考：如何由分布函数求分布律？思考：如何由分布函数求分布律？思考：如何由分布函数求分布律？思考：如何由分布函数求分布律？第三十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分析：由分布律与分布函数的关系，考分析：由分布律与分布函数的关系，考分析：由分布律与分布函数的关系，考分析：由分布律与分布函数的关系，考虑虑虑虑X X的可能取的可能取的可能取的可能取值值值值有哪些有哪些有哪些有哪些？第三十二张，PPT共一百零三页，创作于202
23、2年6月2.4 2.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布定义：定义：定义：定义：设设设设X X是随机是随机是随机是随机变变变变量，量，量，量，F F(x x)是它的分布函数，若存在是它的分布函数，若存在是它的分布函数，若存在是它的分布函数，若存在一个非一个非一个非一个非负负负负可可可可积积积积函数函数函数函数f f(x x)，使得对任意的使得对任意的使得对任意的使得对任意的x xR R ，有，有，有，有则则则则称称称称X X为连续为连续为连续为连续型随机型随机型随机型随机变变变变量，量，量，量，F F(x x)为为为为X X的分布密度函数。的分布密度函数。的分布密度函数。的分布
24、密度函数。注：分布函数表示在注：分布函数表示在注：分布函数表示在注：分布函数表示在 x x 处的累积概率，把其导数称为概率密处的累积概率，把其导数称为概率密处的累积概率，把其导数称为概率密处的累积概率，把其导数称为概率密度是非常合理的。度是非常合理的。度是非常合理的。度是非常合理的。一、连续型随机变量的定义及性质一、连续型随机变量的定义及性质称称称称f f(x x)为为为为X X的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数第三十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月概率密度的性质（充要条件）：概率密度的性质（充要条件）：非负性：非负性：非负性：非负性：正则性：正则性：正则性
25、：正则性：概率密度在概率计算中的应用：概率密度在概率计算中的应用：注：（注：（注：（注：（2 2 2 2）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。第三十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月几个重要结论几个重要结论几个重要结论几个重要结论(4 4)对于连续型对于连续型对于连续型对于连续型r.vr.v.,.,.,.,不必不必不必不必“点点计较点点计较点点计较点点计较”，而对离散型，而对离散型，而对离散型，而对离散型r.v.r.v.,则要则要则要则要“点点计较点点计较点点计较点点计
26、较”。第三十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月密度函数与分布函数的关系：密度函数与分布函数的关系：1 1由分布函数求密度函数比由分布函数求密度函数比由分布函数求密度函数比由分布函数求密度函数比较简单较简单较简单较简单，下面考，下面考，下面考，下面考虑虑虑虑如何由密度如何由密度如何由密度如何由密度函数来求分布函数函数来求分布函数函数来求分布函数函数来求分布函数.第三十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例1.1.设设随机随机变变量量X密度函数密度函数为为 求求求求常数常数常数常数c c 和分布函数和分布函数和分布函数和分布函数.第三十七张，PPT共一百零三页，创作于202
27、2年6月密度函数和分布函数的图形如下：密度函数和分布函数的图形如下：密度函数和分布函数的图形如下：密度函数和分布函数的图形如下：1-11-11第三十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月求：求：1.1.c的值；的值；2.2.P(-1(-1X1)1)；3.3.X的分布函数的分布函数.解：解：1.1.利用正则性利用正则性例例2 2设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为第三十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月注意随机变量的可能注意随机变量的可能取值，不能机械地套取值，不能机械地套公式，简单地在积分公式，简单地在积分上、下限上取上、下限上取.二、常用连续分布二、常用连续分布
28、1、均匀分布（、均匀分布（Uniform distribution）第四十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月均匀分布的密度函数和分布函数的图形：均匀分布的密度函数和分布函数的图形：均匀分布的密度函数和分布函数的图形：均匀分布的密度函数和分布函数的图形：ab1ab均匀分布的概率均匀分布的概率均匀分布的概率均匀分布的概率计计计计算：算：算：算：第四十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例3设设X服从服从(0,10)上的均匀分布，现对上的均匀分布，现对X进行进行4次独立观察，次独立观察，求至少求至少3次观测值大于次观测值大于5的概率。的概率。分析：除了分析：除了X之外，本题还有
29、一个随机变量之外，本题还有一个随机变量观测值大于观测值大于5的次数，记为的次数，记为Y.二项分布，二项分布，第四十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 某公共汽车站从早晨某公共汽车站从早晨某公共汽车站从早晨某公共汽车站从早晨7 7：0000起，每隔起，每隔起，每隔起，每隔1515minmin来一趟车来一趟车来一趟车来一趟车,一乘一乘一乘一乘客在客在客在客在7 7：0000到到到到7 7：3030之间随机到达，求之间随机到达，求之间随机到达，求之间随机到达，求（1 1）该乘客等候不到）该乘客等候不到）该乘客等候不到）该乘客等候不到5 5minmin乘上车的概率；乘上车的概率；乘上车的概
30、率；乘上车的概率；（2 2）该乘客等候时间超过）该乘客等候时间超过）该乘客等候时间超过）该乘客等候时间超过1010minmin才乘上车的概率。才乘上车的概率。才乘上车的概率。才乘上车的概率。注：均匀分布与几何概型关系注：均匀分布与几何概型关系注：均匀分布与几何概型关系注：均匀分布与几何概型关系“密切密切密切密切”。练习练习练习练习第四十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2、指数分布、指数分布(Exponontial distribution)密度函数的密度函数的密度函数的密度函数的图图图图形形形形为为为为：其分布函数其分布函数其分布函数其分布函数为为为为：注：与几何分布类似，指数分
31、布注：与几何分布类似，指数分布也具有无记忆性。也具有无记忆性。第四十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例4设打一次电话所需要的时间设打一次电话所需要的时间(单位：分钟单位：分钟)服从参数为服从参数为0.2的指数分布。如果刚好有人在你前面走进电话亭，并立的指数分布。如果刚好有人在你前面走进电话亭，并立即开始打电话，求你将等待：即开始打电话，求你将等待：1、超过、超过5分钟的概率；分钟的概率；2、5分钟至分钟至10分钟的概率分钟的概率.指数分布在实际中有着重要的指数分布在实际中有着重要的应用。如一些应用。如一些“东西东西”的寿命服的寿命服从指数分布、随机服务系统中从指数分布、随机服务
32、系统中的服务时间也服从指数分布等。的服务时间也服从指数分布等。第四十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3、正态分布（、正态分布（Normal/Gaussian distribution）密度函数图形如下密度函数图形如下密度函数图形如下密度函数图形如下密度函数关于密度函数关于x=对称对称.分布函数分布函数分布函数分布函数为为为为：第四十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月标准正态分布标准正态分布其密度函数其密度函数其密度函数其密度函数为为为为：0.51第四十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月正正正正态态态态分布概率的分布概率的分布概率的分布概率的计计计计算：算：
33、算：算：第四十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第四十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月正态分布的标准化正态分布的标准化 问题：对于非标准的正态分布，如何通过查表求相关概率？问题：对于非标准的正态分布，如何通过查表求相关概率？通过等价事件转化为服从标准正态分布的随机变量。通过等价事件转化为服从标准正态分布的随机变量。第五十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例7某地区抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地区抽样调查结果表明，考生的外语成绩X，且，且96分以上的考生占总人数的分以上的考生占总人数的2.3。求。求考
34、生成绩在考生成绩在60分至分至84分之间的概率。分之间的概率。第五十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 定义定义 设设f(x)是定义在随机变量是定义在随机变量X的一切可能值的一切可能值x集合集合上的函数上的函数,对对X的每一可能取值的每一可能取值x,有唯一的有唯一的y=f(x)与之与之对应对应,Y是是y的集合的集合,则则Y是一个随机变量是一个随机变量,称称Y为为X的函数的函数,记作记作Y=f(X).问题问题:若若X的分布已知的分布已知,如何求如何求Y的分布？的分布？2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第五十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月设设随机随机变
35、变量量X的分布律的分布律为为一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布第五十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例1 1 已知已知X的分布律如下：的分布律如下：解：解：第五十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月整理，得整理，得第五十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布1 1、公式法、公式法注意该定理的适用条件。注意该定理的适用条件。注意该定理的适用条件。注意该定理的适用条件。g(x)严严格格单调单调第五十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月定理的证明定理的证明:第五十八张，PPT共一
36、百零三页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第六十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月补充说明补充说明:第六十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2 2、分布函数法、分布函数法g(x)为任意形式为任意形式（1 1 1 1）先确定）先确定）先确定）先确定Y Y的可能取值范围，的可能取值范围，的可能取值范围，的可能取值范围，（2 2 2 2）在）在）在）在Y Y的可能取值范围内，求出其分布函数。的可能取值范围内，求出其分布函数。的可能取值范围内，求出其分布函数。的可能取值范围内，求出其分布函数。（3 3 3 3）在）在）在）在Y Y的可能取值
37、范围内，求其密度函数。的可能取值范围内，求其密度函数。的可能取值范围内，求其密度函数。的可能取值范围内，求其密度函数。（4 4 4 4）在实数区间内，表示出）在实数区间内，表示出）在实数区间内，表示出）在实数区间内，表示出Y Y的密度函数。的密度函数。的密度函数。的密度函数。万能法万能法第六十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例4 4 设设X服从区间服从区间(0,1)(0,1)上的均匀分布上的均匀分布,求求Y=X2的密函数的密函数.第六十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月练习：设练习：设X的密度函数是的密度函数是fX(x),Y=4X-1,求求Y的密度函数的密度函数.第
38、六十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2.6 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、为什么要引入随机变量的数字特征一、为什么要引入随机变量的数字特征1.1.实际中，有些随机变量的分布不易求。实际中，有些随机变量的分布不易求。二、几个常用的特征指标二、几个常用的特征指标数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩2.2.有些实际问题往往对随机变量的分布不感兴趣，只对有些实际问题往往对随机变量的分布不感兴趣，只对随机变量的几个特征指标感兴趣。随机变量的几个特征指标感兴趣。第六十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月一、数学期
39、望一、数学期望例例1 1分赌本问题分赌本问题甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注5050元，每局无平局，元，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本且约定：先赢三局者得到全部赌本100100元。当甲赢了两元。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这100100元的赌元的赌本应如何分配才合理？本应如何分配才合理？乙胜甲输乙胜甲输甲胜乙输甲胜乙输乙胜甲输乙胜甲输甲胜乙输甲胜乙输甲胜的概率为：甲胜的概率为：.分析：假设赌博继续下去，其可能结果如下：分析：假设赌博继续下去，其可能结果如下：1、数学期望的引入、数学期望的引入第六
40、十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月设甲得到的赌本为设甲得到的赌本为X，则，则X的分布律为的分布律为 甲胜的概率为：甲胜的概率为：.说明：该问题涉及随机变量的分布，且含有均值的意义说明：该问题涉及随机变量的分布，且含有均值的意义.甲应该获得赌本的甲应该获得赌本的3/4.3/4.第六十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月算术平均与加权平均算术平均与加权平均问题：如果已知离散型随机变量问题：如果已知离散型随机变量X的分布律的分布律如何求如何求X的平均值？的平均值？第六十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月加权平均数的计算：加权平均数的计算：随机变量的平均值：随机变量
41、的平均值：概率替换频率概率替换频率第六十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2 2、数学期望的定义、数学期望的定义 为为随机随机变变量量X的数学期望的数学期望.第七十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月补充说明：补充说明：加权平均数：加权平均数：离散型随机变量期望：离散型随机变量期望：连续型随机变量期望：连续型随机变量期望：频率频率概率概率概率概率注：期望是均值的推广或更一般的形式注：期望是均值的推广或更一般的形式.第七十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例2 2 一批产品中有一、二、三等品、次品及废品一批产品中有一、二、三等品、次品及废品5 5种，相应的种，相
42、应的概率分别为概率分别为0.7,0.1,0.1,0.060.7,0.1,0.1,0.06，0.040.04，若其价格分别为，若其价格分别为6 6元，元，5.45.4元，元，5 5元，元，4 4元及元及0 0元。求产品的平均价格。元。求产品的平均价格。XP第七十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3、数学期望的运算性质、数学期望的运算性质4、一维随机变量的函数的数学期望一维随机变量的函数的数学期望 线性性质线性性质第七十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十六张，PPT
43、共一百零三页，创作于2022年6月例例4 设随机变量设随机变量X的分布为的分布为解：解：第七十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月练习：设随机变量练习：设随机变量X的分布律为的分布律为XP第七十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第八十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用，见下面数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用，见下面的例子的例子.第八十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例6 购买福利彩票购买福利彩票,为简化假定只有一种奖为简化假定只有一种奖,即百万
44、大奖即百万大奖,中中奖率为百万分之一奖率为百万分之一.每张彩票每张彩票2 2元元,张某买了一张彩票张某买了一张彩票,问他可问他可以获益多少元以获益多少元?第八十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月练习练习:保险公司设立汽车盗窃险保险公司设立汽车盗窃险,参保者交保险费参保者交保险费a a元元,若汽车若汽车被盗被盗,公司赔偿公司赔偿b元元,问问b应如何定值才能使公司期望获益应如何定值才能使公司期望获益?(经统计经统计,一年内汽车的失窃率为一年内汽车的失窃率为p p)第八十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月保险公司按以上策略经营保险公司按以上策略经营,很可能破产！很可能破产！原
45、因有二：原因有二：(1)(1)投保者是相对不安全地区的车主投保者是相对不安全地区的车主.信息不对称信息不对称(2)(2)投保者会放松对车的看管投保者会放松对车的看管.道德风险道德风险它们使投保者中车辆的失窃率它们使投保者中车辆的失窃率p大大提高大大提高.第八十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例例7 7 某公司生产的机器无故障工作时间某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数有密度函数公司每售出一台机器可获利公司每售出一台机器可获利16001600元，若机器在售出元，若机器在售出1.21.2万小时之万小时之内出现故障，则予以更换，这时每台亏损内出现故障，则予以更换，这时每台亏损12
46、001200元；若在元；若在1.21.2到到2 2万万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400400元；元；若在使用若在使用2 2万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。售出每台机器的平均获利。第八十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月解决方法：解决方法：求随机变量函数的数学期望求随机变量函数的数学期望.关键：关键：第八十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月则用户自己负责。则用户自己负责。公司每售出一台机器可获利公司每售出一台机器可获利16001
47、600元，若机器在售出元，若机器在售出1.21.2万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损12001200元；元；若在若在1.21.2到到2 2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费负担维修费400400元；若在使用元；若在使用2 2万小时以上出现故障，万小时以上出现故障，第八十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第八十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、方差与标准差二、方差与标准差引例引例1 比较甲、乙两班学生成绩的差异比较甲、乙两班学生成绩的差异百百百百分分分分比比比比若把两班成
48、绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。第八十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月引例引例2 2 比较两种型号手表的质量比较两种型号手表的质量哪种手表质量较好？哪种手表质量较好？对产品质量的稳定性，市场的波动性，投资的风险度量对产品质量的稳定性，市
49、场的波动性，投资的风险度量对产品质量的稳定性，市场的波动性，投资的风险度量对产品质量的稳定性，市场的波动性，投资的风险度量与风险管理等问题的研究，都涉及到对随机变量分布的与风险管理等问题的研究，都涉及到对随机变量分布的与风险管理等问题的研究，都涉及到对随机变量分布的与风险管理等问题的研究，都涉及到对随机变量分布的分散程度的研究，从而引入方差的概念。分散程度的研究，从而引入方差的概念。分散程度的研究，从而引入方差的概念。分散程度的研究，从而引入方差的概念。设甲、乙两种型号的手表的日走时误差分别为设甲、乙两种型号的手表的日走时误差分别为设甲、乙两种型号的手表的日走时误差分别为设甲、乙两种型号的手表
50、的日走时误差分别为X X、Y Y，其分布，其分布，其分布，其分布如下如下如下如下注：注：注：注：X X、Y Y的期望相同，但误差取值的波动性不同。的期望相同，但误差取值的波动性不同。的期望相同，但误差取值的波动性不同。的期望相同，但误差取值的波动性不同。第九十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月1、方差与标准差的定义、方差与标准差的定义第九十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月离散型和连续型随机变量的方差计算公式离散型和连续型随机变量的方差计算公式定义定义第九十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月方差的常用计算公式：方差的常用计算公式：方差的定义式：方差的定义式：怎