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1、2020-2021学年上海市嘉定区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 若集合A1,2,3,4,5,6，集合B2,5,7,9，用列举法表示：AB_ 2. 若a0，化简：(a32)3a=_ 3. 已知lg3a，lg7b，试用a，b表示lg21_ 4. 陈述句“x1或y1”的否定形式是_ 5. 设A1,2,3,4，B1,2，请写出一个满足BCA的集合C_ 6. 若不等式x2+ax+b0的解集是(3,1)，则a2+b2_ 7. 不等式|x4|2x的解集为_ 8. 已知命题：方程x2ax+10无实数根，命题:a30，y0，且lo
2、g22x+log24y=2，则1x+1y的最小值是_ 12. 已知集合Ax|(m1)x2+(m1)x+20,xR，B=x|2x1x2+x+11,xR，且ABA，则实数m的取值范围是_ 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分） 已知ab2B.acbcC.1a1bD.cacb 若a0且a1，将指数式a2bN转化为对数式为（ ） A.logabN=12B.b=logaN2C.b=loga2ND.b=logaN2 已知全集Ux|0xb，则aba2+b2的最大值为（ ） A.1B.14C.12D.22三、解答题（本大题共有5题，满分0分） 解下列关于x的不等式或不等式组： （1）设a1，解不
3、等式：axa2+x1； （2）解不等式组：x+1x20 已知集合Ax|x2+x20,xR，集合Bx|x2+px+p0,xR （1）若AB1，求AB； （2）若x1x2B且x12+x223，求p的值 第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为625cm2，如图所示：其中上边，下边和左边各留宽为2cm的空白，右边留宽为7cm的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长为acm，宽为bcm，文字宣传区域面积为Scm2 （1）用a，b表示S； （2）当a，b各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？
4、 设在二维平面上有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，它们之间的距离有一个新的定义为D(A,B)|x1x2|+|y1y2|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离；在初中时我们学过的两点之间的距离公式是|AB|=(x1x2)2+(y1y2)2，这样的距离称为是欧几里得距离（简称欧式距离）或直线距离 （1）已知A，B两个点的坐标为A(2x,1)，B(3,2)，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点的坐标为A(x,a)，B(3,x)，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少？ （3）已知三个点A(x1,y1)，B(x2,y2
5、)，C(x3,y3)，在平面几何的知识中，很容易的能够证明A与B，A与C的欧氏距离之和不小于B和C的欧氏距离，那么这三个点之间的曼哈顿距离是否有类似的共同的结论？如果有，请给出证明；若果没有，请说明理由 已知集合Ax|x2+x20,xR，集合Bx|x2+2mx1+m21或y1”的否定形式为x1且y1，5.【答案】1,2,3【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据BCA，确定满足条件的集合C的元素即可得到结论【解答】 A1,2,3,4，若BCA， C1,2,3，或1,2,4或1,2或1.2.3.4，6.【答案】13【考点】一元二次不等式的应用【解析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达
6、定理求得a，b的值，即可求得结果【解答】由题设知关于x的一元二次方程x2+ax+b0的两根为3与1，由韦达定理可得：3+1=a3=b，解得：a2，b3， a2+b222+(3)213，7.【答案】(34,+)【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】分x0和x0两种情况讨论，再去绝对值解不等式即可【解答】当x0时，不等式|x4|0，不等式|x4|0，解得x34，综上，可得不等式|x4|2x的解集为(34,+)8.【答案】充分非必要【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】命题：方程x2ax+10无实数根，则0，解得a范围命题:a30，解得a范围进而判断出关系【解答】命题：方程x2ax+10无实
7、数根，则(a)240，解得2a2命题:a30，解得a3由，而由推不出那么是的充分非必要条件9.【答案】1,0,1【考点】交集及其运算【解析】解不等式求出集合A，和Z取交集即可【解答】 3xx21， 3xx+2x20，解得：1x0，y0，且log22x+log24y=2，所以2x22y4，整理得x+2y2，即x2+y=1，所以1x+1y=(1x+1y)(x2+y)=12+yx+x2y+132+212=3+222，当且仅当x222，y22时，等号成立，12.【答案】1,9)【考点】交集及其运算【解析】求出B是空集，从而求出A是空集，结合二次函数的性质，得到关于m的不等式，解出即可【解答】 2x1x
8、2+x+11， x2x+21,xR=，而ABA，则A，m1时，20不成立，此时A，m1时，m11即m10时，函数y(m1)x2+(m1)x+2，开口向上，若不等式(m1)x2+(m1)x+20无解，只需(m1)28(m1)0，解得：1m9，综上：m的取值范围是1,9)，二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质以及特值法逐一判断即可【解答】因为ab，取a2，b3，则a2b2，故A错误；因为ab且cR，取c0，则acbc0，故B错误；若a0b，则1a1b，故C错误；因为ab，所以cacb，故D正确【答案】C【考点】指数式与对
9、数式的互化【解析】由题意利用指数式和对数式的转化法则，计算求得结果【解答】若a0且a1，将指数式a2b(a2)bN转化为对数式为b=loga2N，【答案】B【考点】元素与集合关系的判断交、并、补集的混合运算【解析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案【解答】因为：U1,2,3,4,5，A，B为U的子集，若AB3，AB=4，AB=1,5，对应的韦恩图为：故只有答案B符合【答案】B【考点】一元二次不等式的应用【解析】先由题设条件ab2且a0，再将式子a2+b2ab变形为：(ab)+4ab，然后利用基本不等式求得其最小值，即可求得aba2+b2的最大值【解答】由题设可得：a0=02a(
10、1a)24a+b=0，即a0168ba=0b=2a， ba20，又aba2， aba2+b2=ab(ab)2+2ab=ab(ab)2+4，又 ab0， a2+b2ab=(ab)2+4ab=(ab)+4ab24=4，当且仅当ab=2ab=2时取“， aba2+b214，当且仅当b=31a=3+1时取“，三、解答题（本大题共有5题，满分0分）【答案】 axa2+x1， (a1)x1时，xa+1，故不等式的解集为(,a+1)当aa+1，故不等式的解集为(a+1,+)；由x+1x20，等价于(x+1)(x2)0，解得1x0，可得(x3)(4x3)0，解得34x3，故不等式组的解集为(34,2)【考点】
11、其他不等式的解法【解析】（1）原不等式化为(a1)x(a21)，分类解得即可，（2）分别求出不等式的解集，再求出交集即可【解答】 axa2+x1， (a1)x1时，xa+1，故不等式的解集为(,a+1)当aa+1，故不等式的解集为(a+1,+)；由x+1x20，等价于(x+1)(x2)0，解得1x0，可得(x3)(4x3)0，解得34x2，解得a5或a2，解得即可；（3）有类似的结论，A与B，A与C，曼哈顿距离之和不小于B与C曼哈顿距离，利用绝对值三角不等式即可证明【解答】 A(2x,1)，B(3,2)， D(A,B)|2x3|+|12|2x3|+1，由它们之间的曼哈顿距离不大于3， |2x3
12、|+13，解得12x52；故x的取值范围为12,52； A(x,a)，B(3,x)， D(A,B)|x3|+|ax|x3+ax|a3|，当且仅当(x3)(ax)0时取等号， 它们之间的曼哈顿距离要恒大于2， |a3|2，解得a5或a1，故a的范围为(,1)(5,+)；有类似的结论，A与B，A与C，曼哈顿距离之和不小于B与C曼哈顿距离，证明：A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则D(A,B)|x1x2|+|y1y2|，D(A,C)|x1x3|+|y1y3|，D(B,C)|x2x3|+|y2y3|，由绝对值不等式可得|x1x2|+|x1x3|(x1x2)(x1x3)|x2x3|，
13、|y1y2|+|y1y3|(y1y2)(y1y3)|y2y3|， D(A,B)+D(A,C)D(B,C)，故A与B，A与C，曼哈顿距离之和不小于B与C曼哈顿距离【答案】当m2时，集合Bx|x2+2mx1+m20x|x2+4x+30x|3x1，则B=x|x1或x3，又 集合Ax|x2+x20x|2x1， BAx|1x1；Bx|1mx1m，A=x|x1或x2，因为AB=，则1m21m1，解得0m1，故实数m的取值范围为0,1；由题意可知AB中只有唯一一个整数，因为A中有1，0两个整数，所以：当AB1时，只需11m0，即1m2，此时ABx|m1x1，当AB0时，只需11m0，即1m0，此时ABx|2
14、x1m，综上，当1m2时，ABx|m1x1，当1m0时，ABx|2x1m【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】（1）把m的值代入集合B，并解出集合B，求其补集和A取交集即可；（2）先求出集合A的补集，并解出集合B，利用数轴求出交集是空集的条件，建立不等式即可求解；（3）先分析出集合A中有两个整数，然后对AB的交集里只有一个整数分两种情况讨论，即可求解【解答】当m2时，集合Bx|x2+2mx1+m20x|x2+4x+30x|3x1，则B=x|x1或x3，又 集合Ax|x2+x20x|2x1， BAx|1x1；Bx|1mx1m，A=x|x1或x2，因为AB=，则1m21m1，解得0m1，故实数m的取值范围为0,1；由题意可知AB中只有唯一一个整数，因为A中有1，0两个整数，所以：当AB1时，只需11m0，即1m2，此时ABx|m1x1，当AB0时，只需11m0，即1m0，此时ABx|2x1m，综上，当1m2时，ABx|m1x1，当1m0时，ABx|2x1m第13页 共16页 第14页 共16页