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1、2020-2021学年河北省张家口市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A=x|x3x+20，B=x|3x2,xZ，则AB中元素的个数为() A.4B.5C.6D.无数个2. 命题“xR，使得x23x+30”的否定是( ) A.xR，x23x+30B.xR，x23x+30C.xR，x23x+30D.xR，x23x+303. 下列各组函数表示函数相同的是( ) A.fx=x，gx=x2B.fx=x21x+1，gx=x1C.fx=3x3+2x+1，gt=3t3+t+1D.ft=|t|，gx=x,x0x,x04. 若fx1=x+x+1，则fx的解析式为( ) A.fx=x21x1B
2、.fx=x2+3x+3x1C.fx=x2+x+1D.fx=x12x15. 函数fx=1axax2ax+1的定义域为R，则实数a的范围是( ) A.0a4B.0a4C.a0或a4D.0afgx的值是( )A.1B.2C.3D.1或28. 若正数a，b满足3a+2b=1，则2a3+3b2的最小值为( ) A.1B.2C.2D.4二、多选题 已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x)=4x1，则f(x)的解析式可能是( ) A.f(x)=2x13B.f(x)=2x1C.f(x)=2x+23D.f(x)=2x+1 若关于x的不等式ax2+bx10的解集是x|2x0的解集是x|1x23C.a=2D.b
3、x2+ax10的解集是x|23xx22x+n成立，则满足条件的正整数n可能是( ) A.4B.1C.2D.3三、填空题 已知函数y=x21，x0，3x，x0.若fx=24，则x的值是_. 不等式1x22x12的解集是_. 已知函数fx=|x+2|1,x0，x+1,x0，若函数gx=fxk有三个零点，则k的取值范围是_. 已知集合M=mZ|关于x的方程x2+mx42=0有整数解，集合A满足条件：A是非空集合且AM；若aA，则aA则所有这样的集合A的个数为_. 四、解答题 设集合A=x|x27x+12=0，B=x|ax+1=0. (1)若a=13，判断集合A与B的关系； (2)若AB=B，求实数a
4、组成的集合C 已知函数fx=x115x的定义域为集合A，B=xZ|1x7，C=x|2ax2+a (1)求A，RAB； (2)若AC=A，求实数a的范围 (1)解不等式3xx2x20； (2)函数fx=x2+5x2+4的函数值是否能取到2，请给出理由 设fx=2|x1|+|x+1|的最小值为m (1)求m的值； (2)设a，bR，a2+b2=m，求4a2+1+1b2+1的最小值 如图，OAB是边长为2的正三角形，记OAB位于直线x=t(t(0,+)左侧的图形的面积为f(t)试求函数y=f(t)的解析式，并画出函数y=f(t)的图象 已知一条长度为1的铁丝，首尾相连形成一个直角三角形，求： (1)
5、斜边最短是多少； (2)该直角三角形内切圆半径r最大值是多少参考答案与试题解析2020-2021学年河北省张家口市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算集合中元素的个数【解析】此题暂无解析【解答】解：集合A=x|x3x+20=x|20”的否定是x0R，x023x0+30.故选B.3.【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】此题暂无解析【解答】解：如果两个函数的定义域、值域和对应关系都相同，这两个函数才表示同一函数，有一个不相同，这两个函数就不是同一函数.A，f(x)的定义域为R，值域为R；gx的定义域为R，gx的值域为gx0，故A选项错误;B，f
6、(x)的定义域为xx1，gx的定义域为R，故B选项错误;C，f(x)=3x3+2x+1和gt=3t3+t+1两个函数对应关系不同，故不是同一函数，故C选项错误;D，f(t)=t的定义域为R，值域为ft0；gx=x，x0对任意的xR恒成立.若a=0，显然符合题意；若a0，则a0，=a24a0，解得0afgx的x值是2.故选B.8.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解： 正数a，b满足3a+2b=1， b=2aa3.由b=2aa30，可得a30， 2a3+3b2=2a3+32aa32=2a3+3(a3)2a2(a3)=2a3+a3222a3a32=2，当且仅
7、当2a3=a32，即a=b=5时取等号.故选C.二、多选题【答案】A,D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】设一次函数f(x)=ax+b，由待定系数法可得【解答】解：设一次函数f(x)=ax+b， f(f(x)=4x1， a(ax+b)+b=4x1， a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=2,b=1, f(x)=2x13或2x+1.故选AD.【答案】A,B【考点】其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，1和2是关于x的方程ax2+bx1=0的两实根由韦达定理可得1+(2)=ba，1(2)=1a，解得a=12，b=32，所以ab=12(32)=1.不等式bx2
8、+ax+10为32x212x+10，解得1x23.不等式bx2+ax10为32x212x10，解得xR.故选AB【答案】A,D【考点】高斯函数x函数新定义问题【解析】此题暂无解析【解答】解：A，设xm,m+1)(mZ)，则x=m.又x+1m+1,m+2)(mZ)，则x+1=m+1=x+1，故A正确；B，取x=2.6，y=3.6，则2.6=2，3.6=3，x+y=6.2，6.2=6，而2.6+3.6=5，x+yx+y，故B错误；C，取x=12，y=2，则12=1，2=2，xy=1，xyxy，故C错误；D，设n为任意整数，有两种情况：当xn,n+12)时，则x+12n+12,n+1)，2x2n,2
9、n+1)，此时x=n，x+12=n，2x=2n，即x+x+12=2n=2x，当xn+12,n+1)时，则x+12n+1,n+32)，2x2n+1,2n+2)，此时x=n，x+12=n+1，2x=2n+1，即x+x+12=2n+1=2x，综上，x+x+12=2x，故D正确.故选AD.【答案】B,C【考点】二次函数的性质函数最值的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】先求出m=2，将问题转化为nx2+2x+2在x0,+)上有解，求出y=x2+2x+2=(x1)2+3的范围，即可得到n的范围.【解答】解：函数fx=4xx2+1，当x=0时，f(x)=0；当x0时，f(x)0时，f(x)=4x+1x
10、42x1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立， 函数fx=4xx2+1的最大值为2， m=2. x0,+)，使得mx22x+n成立， nx2+2x+2在x0,+)上有解，设y=x2+2x+2=(x1)2+3，当x0,+)时，y(,3， n0，3x=24，解得：x=5或x=8.故答案为：5或8.【答案】(1,02,3)【考点】一元二次不等式的解法【解析】将原不等式,转化为一元二次不等式组为x22x12x22x11，解一元二次不等式组可得x22x30x22x0，再由集合的交集运算可得原不等式的解集为（1,02,3).【解答】解：将原不等式转化为一元二次不等式组为x22x12，x22x11，
11、即x22x30，x22x0，解得1x3，x0或x2，所以原不等式的解集为(1,02,3).故答案为：(1,02,3).【答案】(1,1)【考点】分段函数的应用由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，函数gx=fxk有三个零点，也就是函数y=k与函数y=f(x)有三个交点.函数f(x)的图象如图所示，由图可知，若满足有三个交点，则1k0，解得1x5，所以A=x|1x5，所以RA=x|x1或x5，由题易得B=0,1,2,3,4,5,6，所以RAB=0,5,6.(2)由AC=A，可得CA.分以下两种情况讨论：C=时，2a2+a，解得a2；C时，2a2+a，2a1，2+a
12、5，解得12a0，解得1x5，所以A=x|1x5，所以RA=x|x1或x5，由题易得B=0,1,2,3,4,5,6，所以RAB=0,5,6.(2)由AC=A，可得CA.分以下两种情况讨论：C=时，2a2+a，解得a2；C时，2a2+a，2a1，2+a5，解得12a2.综上，a12.【答案】解：(1)3xx2x20等价于3x0，x2x20，解得1x2或者x3(2)y=x2+5x2+4，令t=x2+4，因为xR，所以t2，x2+5=t2+1，所以y=t2+1t(t2)当y=2时，原式可化为t22t+1=0，但t=1不在所提供的t2范围内，所以函数值取不到2.【考点】分式不等式的解法函数的值域及其求
13、法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)3xx2x20等价于3x0，x2x20，解得1x2或者x3(2)y=x2+5x2+4，令t=x2+4，因为xR，所以t2，x2+5=t2+1，所以y=t2+1t(t2)当y=2时，原式可化为t22t+1=0，但t=1不在所提供的t2范围内，所以函数值取不到2.【答案】解：(1)当x1时，fx=13x4，当1x2，当x1时，fx=3x12，所以当x=1时，fx最小值为m=2.(2)由题意知a2+b2=2，所以a2+1+b2+1=4，所以14a2+1+b2+14a2+1+1b2+1=145+4b2+1a2+1+a2+1b2+194，当且仅当4(b2+1)a2
14、+1=a2+1b2+1，即a2=53，b2=13时等号成立，所以4a2+1+1b2+1的最小值为94.【考点】绝对值不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x1时，fx=13x4，当1x2，当x1时，fx=3x12，所以当x=1时，fx最小值为m=2.(2)由题意知a2+b2=2，所以a2+1+b2+1=4，所以14a2+1+b2+14a2+1+1b2+1=145+4b2+1a2+1+a2+1b2+194，当且仅当4(b2+1)a2+1=a2+1b2+1，即a2=53，b2=13时等号成立，所以4a2+1+1b2+1的最小值为94.【答案】解：作BEx轴于点E
15、，当0t1时，如图，设直线x=t与OAB分别交于C，D两点，则|OC|=t，又CDOC=BEOE=3， |CD|=3t， f(t)=12|OC|CD|=12t3t=32t2；当12时，f(t)=3.综上所述，f(t)=32t2，0t1，32t2+23t3，12，图像如图所示.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】在求f(t)的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象【解答】解：作BEx轴于点E，当0t1时，如图，设直线x=t与OAB分别交于C，D两点，则|OC|=t，又CDOC=BEOE=3， |CD|=
16、3t， f(t)=12|OC|CD|=12t3t=32t2；当12时，f(t)=3.综上所述，f(t)=32t2，0t1，32t2+23t3，12，图像如图所示.【答案】解：(1)假设直角三角形两条直角边为x，y(0x1，0y1)，斜边长为x2+y2.由题可得x+y+x2+y2=1，(x+y)22(x2+y2)，x+y+x2+y2(2+1)x2+y2， x2+y212+1=21，当且仅当x=y=222时等号成立(2)由直角三角形的内切圆半径r=x+yx2+y22，又x+y+x2+y2=1， r=2x+y12=x+y12. 2x2+y2x+y2，x2+y22x+y2， x+y+x2+y2x+y+
17、22x+y=1+22x+y即11+22x+y，x+y11+22=22当且仅当x=y=222时等号成立r=x+y12322.该直角三角形内切圆半径r最大值是322.【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)假设直角三角形两条直角边为x，y(0x1，0y1)，斜边长为x2+y2.由题可得x+y+x2+y2=1，(x+y)22(x2+y2)，x+y+x2+y2(2+1)x2+y2， x2+y212+1=21，当且仅当x=y=222时等号成立(2)由直角三角形的内切圆半径r=x+yx2+y22，又x+y+x2+y2=1， r=2x+y12=x+y12. 2x2+y2x+y2，x2+y22x+y2， x+y+x2+y2x+y+22x+y=1+22x+y即11+22x+y，x+y11+22=22当且仅当x=y=222时等号成立r=x+y12322.该直角三角形内切圆半径r最大值是322.第17页 共20页 第18页 共20页