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1、2020-2021学年广西壮族自治区河池市某校高一（上）期末考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A=x|2x1，B=x|1x0，则ff12=( ) A.2B.4C.12D.24. 与直线2x+y=0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程为( ) A.x2y+2=0B.x2y2=0C.2xy+2=0D.2xy2=05. 某化工原料厂原来月产量为100吨，一月份增产20%，二月份比一月份减产10%，则二月份产量为( ) A.106吨B.108吨C.110吨D.112吨6. 若函数fx=ax2aR在0,+上单调递增，则实数a的取值范围为( ) A.1,+B.,1C.0,+D.,07. 已知a，b，c是
2、三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列正确的是( ) A.若ab，bc，则acB.若a/b，b/，则a/C.若a，/，则aD.若a，则a/8. 函数fx=2x+lnx1的零点所在的区间为( ) A.1,32B.32,2C.0,12D.12,19. 已知实数x，y满足x2+y2=4，则z=x32+y421的取值范围为( ) A.3,7B.4,8C.2,6D.1,510. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且函数fx在区间0,+上单调递减，a=flog522，b=flog53log52， c=f12log53，则a，b，c的大小关系为( ) A.abcB.acbC.bacD.bca11. 如图，
3、在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( ) A.25B.55C.155D.10512. 已知函数fx=|2x1|+x2a1aR，若函数fx有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为( ) A.0,+B.1,+C.,1D.,0二、填空题 函数fx=lnx1x2的定义域为_. 已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8，则圆柱的高为_. 若函数fx=2xaa2x+xa0为R上的奇函数，则实数a的值为_. 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，A
4、B=2AD=4，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为_. 三、解答题 化简求值： (1)82723+212+12121+38； (2)lg2+lg53lg56+lg25+log34log29. 已知函数f(x)=logax(a0且a1）. (1)求关于x的不等式f1xfx+3的解集； (2)若函数gx=ax+fx在区间1,2上的最大值和最小值之和为a2+a1，求实数a的值 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACC1=BCC1，AC=BC. (1)若三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，求三棱锥C1ABC的体积； (2)证明：ABCC1. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点
5、，F为CC1的中点 (1)证明：EF/平面AC1D； (2)若AD=2,AB=3,AA1=4，求点E到平面AC1D的距离 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点（A，B两点均不在x轴上）. (1)若AMB=60，求直线l的方程； (2)求ABM面积的最大值 已知函数fx=ex+ex. (1)判断函数fx的奇偶性； (2)证明：函数fx在区间0,+）上单调递增； (3)令gx=f2x2afx（其中aR），求函数gx的值域参考答案与试题解析2020-2021学年广西壮族自治区河池市某校高一（上）期末考试数学试卷一、选择题1.【
6、答案】C【考点】并集及其运算【解析】直接利用并集定义求解即可.【解答】解： A=x2x1，B=x1x2， AB=x2x0, f(12)=log212=1， ff12=f(1)=21=12.故选C.4.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】由题意利用两条直线垂直的性质求得l的斜率，再用点斜式求出直线l的方程【解答】解：可知直线2x+y=0的斜率为2，因为所求直线与直线2x+y=0垂直，则所求直线的斜率为12.又所求直线在x轴上的截距为2，故所求直线的方程为y0=12(x+2)，即x2y+2=0.故选A.5.【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由题意列出关系式即可
7、求解.【解答】解：由题意可得，二月份产量为：1001+20%110%=1001.20.9=108（吨）.故选B.6.【答案】D【考点】函数单调性的性质幂函数的性质【解析】利用幂函数的性质得y=x2在0,+上单调递减，从而可求解.【解答】解：由幂函数性质可知，y=x2在0,+上单调递减，因为函数fx=ax2aR在0,+上单调递增，所以a0，f12=2ln2132ln21=12ln212lne=1212=0， 函数的零点所在的区间为12,1故选D9.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】无【解答】解：x32+y42表示圆x2+y2=4上任意一点到点3,4的距离，可得最短距离为52=3，所以zm
8、in=31=2，最大距离为5+2=7，zmax=71=6，可得z的取范围为2,6故选C10.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合对数函数的图象与性质【解析】根据题意，由偶函数的性质以及对数的运算性质可得a=flog522=flog52=flog52，b=flog53log52=flog532，c=f12log53=flog53结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，函数y=fx为定义在R上的偶函数，a=flog522=flog52=flog52，b=flog53log52=flog532，c=f12log53=flog53, 函数fx在区间(0,+）上单调递减，且0log52log
9、532bc.故选A11.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】无【解答】解：连接AC，BD相交于点O，连接OE，BE，因为E为AP的中点，O为AC的中点，所以PC/OE，所以OED为异面直线PC与DE所成的角，设AB=2，可得BE=DE=1+4=5，OD=12BD=1222=2，因为BE=DE，O为BD的中点，所以EOD=90，sinOED=ODDE=25=105故选D12.【答案】B【考点】函数的零点【解析】无【解答】解：fx=2x+x2a,x0，2x+x2a2,x0，由函数y=2x和y=x2的图象可知函数fx的增区间为0,+，减区间为(,0.又由f0=a1，若函数fx有且仅有两个零
10、点，必有a10，求解即可.【解答】解：要使函数有意义，则x20，x10，解得1x2，即函数的定义域为1,22,+.故答案为：1,22,+.【答案】4【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】利用圆柱侧面积公式列式求解即可.【解答】解：设圆柱的高为h，则由题意可得8=2h,解得h=4.故答案为：4.【答案】1或1【考点】函数奇偶性的性质【解析】利用f0=0求解，并验证即可.【解答】解：由函数为R上的奇函数，可得f0=0，即1aa=0，解得a=1或a=1，验证可得均满足条件，所以a=1或a=1.故答案为：1或1.【答案】643【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解
11、析】无【解答】解：如图，取AD的中点E，BC的中点F，连接EF，PE，在PE上取点G，使得PG=2GE，取EF的中点H，分别过点G，H作平面PAD、平面ABCD的垂线，两垂线相交于点O，显然点O为四棱锥PABCD外接球的球心，由AD=2，AB=4，可得PE=3，GE=OH=33，AH=12+22=5，OA=332+52=433，故四棱锥PABCD外接球的表面积为44332=643故答案为：643三、解答题【答案】解：(1)原式=233(23)+212212+323=232+21+2=94+12=54.(2)原式=lg2535625+lg4lg3lg9lg2=lg2536525+2lg2lg32
12、lg3lg2=lg1010+4=lg10+lg10+4=1+12+4=112【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算对数及其运算【解析】无无【解答】解：(1)原式=233(23)+212212+323=232+21+2=94+12=54.(2)原式=lg2535625+lg4lg3lg9lg2=lg2536525+2lg2lg32lg3lg2=lg1010+4=lg10+lg10+4=1+12+4=112【答案】解：(1)不等式f1xfx+3可化为loga1xlogax+3，当a1时，不等式可化为1xx+30，解得3xfx+3的解集为3,1；当0a1x0，解得1xfx+
13、3的解集为1,1.(2)可知gx=ax+logax所以函数gx是单调函数，又由g1=a，g2=a2+loga2，有a+a2+loga2=a2+a1，解得a=12【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法指数函数单调性的应用【解析】无无【解答】解：(1)不等式f1xfx+3可化为loga1xlogax+3，当a1时，不等式可化为1xx+30，解得3xfx+3的解集为3,1；当0a1x0，解得1xfx+3的解集为1,1.(2)可知gx=ax+logax所以函数gx是单调函数，又由g1=a，g2=a2+loga2，有a+a2+loga2=a2+a1，解得a=12【答案】(1)解：设三棱柱A
14、BCA1B1C1的高为h，ABC的面积为S，由三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，可得VABCA1B1C1=Sh=1，可得三棱锥C1ABC的体积为VC1ABC=13Sh=13.(2)证明：取AB的中点D，连接CD，C1D， AC=BC，ACC1=BCC1，CC1=CC1， ACC1BCC1(SAS)， AC1=BC1， AD=DB，AC1=BC1， ABC1D， AD=DB，AC=BC， ABCD， CD，C1D平面CDC1，CDC1D=D， AB平面CDC1， AB平面CDC1，CC1平面CC1D， ABCC1.【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质【解析
15、】此题暂无解析【解答】(1)解：设三棱柱ABCA1B1C1的高为h，ABC的面积为S，由三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，可得VABCA1B1C1=Sh=1，可得三棱锥C1ABC的体积为VC1ABC=13Sh=13.(2)证明：取AB的中点D，连接CD，C1D， AC=BC，ACC1=BCC1，CC1=CC1， ACC1BCC1(SAS)， AC1=BC1， AD=DB，AC1=BC1， ABC1D， AD=DB，AC=BC， ABCD， CD，C1D平面CDC1，CDC1D=D， AB平面CDC1， AB平面CDC1，CC1平面CC1D， ABCC1.【答案】(1)证明：如图，取C1D的中
16、点G，连接GF，AG， G为C1D的中点，F为CC1的中点， GF/CD，且CD=2GF， E为AB的中点，AB=CD，AB/CD， AE/GF，且AE=GF， 四边形AEFG为平行四边形， AG/EF， AG/EF，AG平面AC1D，EF平面AC1D， EF/平面AC1D.(2)解：连接AB1，易证AD平面ABB1A1，过B作BKAB1，则BK平面AB1C1D，在RtABB1中，BKAB1=ABBB1，所以BK=345=125，因为点E是AB的中点，则点E到平面AC1D的距离为65【考点】直线与平面平行的判定点、线、面间的距离计算【解析】无无【解答】(1)证明：如图，取C1D的中点G，连接G
17、F，AG， G为C1D的中点，F为CC1的中点， GF/CD，且CD=2GF， E为AB的中点，AB=CD，AB/CD， AE/GF，且AE=GF， 四边形AEFG为平行四边形， AG/EF， AG/EF，AG平面AC1D，EF平面AC1D， EF/平面AC1D.(2)解：连接AB1，易证AD平面ABB1A1，过B作BKAB1，则BK平面AB1C1D，在RtABB1中，BKAB1=ABBB1，所以BK=345=125，因为点E是AB的中点，则点E到平面AC1D的距离为65【答案】解：(1)可知圆C的圆心为M2,0，半径为1，因为直线l与圆C相交于两点，所以直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为
18、y=kx，当AMB=60时，因为MA=MB，所以ABM为等边三角形，所以AB=MA=MB=1.圆心M2,0到直线l的距离为d=|2k|k2+1，有|2k|k2+12+122=12，解得k=3913，故直线l的方程为y=3913x .(2)设圆心M到直线l的距离为d（0d1），可得|AB|=21d2，设ABM的面积为S，则S=12|AB|d=1221d2d=(d212)2+14，所以当d2=12时，S有最大值，Smax=14=12，所以ABM面积的最大值为12.【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)可知圆C的圆
19、心为M2,0，半径为1，因为直线l与圆C相交于两点，所以直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为y=kx，当AMB=60时，因为MA=MB，所以ABM为等边三角形，所以AB=MA=MB=1.圆心M2,0到直线l的距离为d=|2k|k2+1，有|2k|k2+12+122=12，解得k=3913，故直线l的方程为y=3913x .(2)设圆心M到直线l的距离为d（0dx10，fx2fx1=ex2+ex2ex1+ex1=ex2ex1+1ex21ex1=(ex2ex1)+ex1ex2ex1+x2=(ex2ex1)11ex1+x2=(ex2ex1)(ex1+x21)ex1+x2， x2x10， ex2ex
20、1，ex1+x210，ex1+x20， fx2fx1，故函数fx在区间0,+)上单调递增(3)解：由f2x=e2x+e2x=ex+ex22=fx22，有gx=fx22afx2,由(2)和f0=2可知，函数fx在区间0,+)上的值域为2,+),又由函数fx为偶函数，可知函数fx在R上的值域为2,+),令fx=t，可得t2,+)，有gx=t22at2，令h(t)=t22at2(t2,+)，有ht=ta2a22,当a2时，h(t)min=h(2)=24a，此时函数h(t)的值域为24a,+);当a2时，htmin=ha=a22，此时函数ht的值域为a22,+)，因为函数gx和函数h(t)的值域相同，
21、故可得，当a2时，函数gx的值域为24a,+)；当a2时，函数gx的值域为a22,+)【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的值域及其求法【解析】无无无【解答】(1)解：函数fx的定义域为R,由fx=ex+ex=fx，可知函数fx为偶函数.(2)证明：设x2x10，fx2fx1=ex2+ex2ex1+ex1=ex2ex1+1ex21ex1=(ex2ex1)+ex1ex2ex1+x2=(ex2ex1)11ex1+x2=(ex2ex1)(ex1+x21)ex1+x2， x2x10， ex2ex1，ex1+x210，ex1+x20， fx2fx1，故函数fx在区间0,+)上单调递增(3)
22、解：由f2x=e2x+e2x=ex+ex22=fx22，有gx=fx22afx2,由(2)和f0=2可知，函数fx在区间0,+)上的值域为2,+),又由函数fx为偶函数，可知函数fx在R上的值域为2,+),令fx=t，可得t2,+)，有gx=t22at2，令h(t)=t22at2(t2,+)，有ht=ta2a22,当a2时，h(t)min=h(2)=24a，此时函数h(t)的值域为24a,+);当a2时，htmin=ha=a22，此时函数ht的值域为a22,+)，因为函数gx和函数h(t)的值域相同，故可得，当a2时，函数gx的值域为24a,+)；当a2时，函数gx的值域为a22,+)第21页 共22页 第22页 共22页