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1、2020-2021学年甘肃省白银市某校高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 设A=x|x10，B=x|log2x0，则AB等于( ) A.x|x1B.x|x0C.x|x1D.x|x12. 设P是ABC所在平面外一点，H是P在内的射影，且PA，PB，PC与所成的角相等，则H是ABC的( ) A.内心B.外心C.垂心D.重心3. 下列函数中，满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) A.f(x)=x3B.f(x)=3xC.f(x)=x12D.f(x)=(12)x4. 已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为( ) A.32a2B.34a2C.
2、62a2D.6a25. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：EFAA1；EF/AC；EF与AC异面；EF/平面ABCD其中一定正确的有( ) A.B.C.D.6. 函数y=1x1+1的图象是下列图象中的( ) A.B.C.D.7. 菱形ABCD在平面内，PC，则PA与对角线BD的位置关系是( ) A.平行B.相交但不垂直C.相交垂直D.异面垂直8. 在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为( ) A.30B.45C.60D.909. 函数f(x)=loga(ax3)在1,3上单
3、调递增，则a的取值范围是( ) A.(1,+)B.(0,1)C.(0,13)D.(3,+)10. 已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角是( ) A.30B.60C.90D.12011. 如图，四边形ABCD中，AD/BC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( ) A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC12. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直
4、径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( ) A.32，1B.23，23C.32，32D.23，32二、填空题 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角为60；其中正确结论是_.（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与A1B1C1都为正三角形，且AA1平面ABC，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证： (1)平面AB1F1/平面C1BF
5、； (2)平面AB1F1平面ACC1A1 已知函数f(x)=bax（其中a，b为常数且a0，a1）的图象经过点A(1,6)，B(3,24) (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式(ab)x2m+1在x(,1上恒成立，求实数m的取值范围 已知某四棱锥PABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点 (1)求四棱锥PABCD的体积； (2)是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论 如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=12AD=a，G是EF的中点. (1)求证：AG平面BGC； (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值 已知函数f(x)=ax+b1+
6、x2是定义在(1,1)上的奇函数，且f(12)=25 (1)求函数f(x)的解析式； (2)用单调性定义证明f(x)在(1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t1)+f(t)1，即A=x|x1；由B中不等式变形得：log2x0=log21，得到x1，即B=x|x1，则AB=x|x1故选A2.【答案】B【考点】直线与平面所成的角三角形五心棱锥的结构特征【解析】根据PA，PB，PC与所成的角相等，H是P在内的射影，可得HA=HB=HC，从而可得结论【解答】解： PA，PB，PC与所成的角相等，H是P在内的射影， HA=HB=HC， H为三角形的外心故选B.3.【答案】B【考点】函数单调性的判断与
7、证明抽象函数及其应用【解析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f(x+y)f(x)f(y)，然后考虑函数的单调性，即可得到答案【解答】解：A，f(x)=x3，f(y)=y3，f(x+y)=(x+y)3，不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故A错误；B，f(x)=3x，f(y)=3y，f(x+y)=3x+y，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(x)在R上是单调增函数，故B正确；C，f(x)=x12，f(y)=y12，f(x+y)=(x+y)12，不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故C错误；D，f(x)=(12)x，f(y)=(12)y，f(x+y)=(12)x+y，满足f(x+y)=
8、f(x)f(y)，但f(x)在R上是单调减函数，故D错误故选B.4.【答案】C【考点】平面图形的直观图斜二测画法画直观图【解析】由原图和直观图面积之间的关系SS=24，求出直观图三角形的面积，再求原图的面积即可【解答】解：直观图ABC是边长为a的正三角形，故面积为34a2，而原图和直观图面积之间的关系S直S原=24，那么原ABC的面积为62a2.故选C.5.【答案】D【考点】直线与平面垂直的判定平面与平面平行的性质异面直线的判定【解析】作出正方体ABCDA1B1C1D1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断【解答】解：如图所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF平面A1B1C1
9、D1，则EFAA1，所以正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以不正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF/A1C1，又AC/A1C1，则EF/AC，所以不正确；由于平面A1B1C1D1/平面ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF/平面ABCD，所以正确故选D6.【答案】A【考点】函数的图象【解析】先找出函数的对称中心，再判断函数的单调性，结合图形，选出正确的答案【解答】解：函数y=1x向右平移一个单位得到函数y=1x1，函数y=1x1向上平移一个单位得到函数y=1x1+1，故y=1x1+1对称中心是(1,1)，且在(1,+)上是单调增函
10、数.故选A.7.【答案】D【考点】异面直线的判定两条直线垂直的判定【解析】首先根据题意，做出图示，根据异面直线的判定定理，易得PA与BD异面，连接AC、PA，由线面垂直的性质可得PCBD，又由菱形的性质，可得PABD，即可得BD平面PAC，即可得PABD，综合可得答案【解答】解：根据题意，如图，因为PA不在平面内，并且过BD之外的一点，故PA与BD异面；连接AC，PA，PC，且BD在内，则PCBD，由菱形的性质，可得ACBD，ACPC=C，可得BD平面PAC，即可得PABD，综合可得，PA与BD异面垂直.故选D8.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】求异面直线所成角，应平移两条异面直
11、线中的一条或两条，使其成为相交直线，而相交直线所成角，就为异面直线所成角，再放入三角形中，利用解三角形，解出此角即可【解答】解：可在原正方体的基础上，再向下加一个正方体ABB1A1MNPQ再连接B1Q，DQ，如图所示：则DB1Q为所求异面直线所成角或其补角设正方体A1B1C1D1ABCD的棱长为1，易得B1D=3，B1Q=2，QD=5，所以，DB1Q=90，即AC与B1D所成的角的大小为90故选D.9.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点复合函数的单调性【解析】由题意可得可得a1，且a30，由此求得a的范围【解答】解： 函数f(x)=loga(ax3)在1,3上单调递增，而函数t=ax3
12、在1,3上单调递增，根据复合函数的单调性可得a1，且a30，求得a3.故选D10.【答案】B【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系【解答】解：由题可知，因为有m，n，所以m，n所成的角与二面角l所成的角相等或者互补，因为二面角l的大小为60，所以异面直线m，n所成的角为60.故选B.11.【
13、答案】D【考点】平面与平面垂直的判定空间中平面与平面之间的位置关系【解析】由题意推出CDAB，ADAB，从而得到AB平面ADC，又AB平面ABC，可得平面ABC平面ADC【解答】解： 在四边形ABCD中，AD/BC，AD=AB，BCD=45，BAD=90， BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB， AB平面ADC，又AB平面ABC， 平面ABC平面ADC故选D12.【答案】C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）球的表面积和体积圆柱的特征【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果【解答】解：设球的半径为R
14、，则圆柱的底面半径为R，高为2R， V圆柱=R22R=2R3，V球=43R3 V圆柱V球=2R343R3=32，S圆柱=2R2R+2R2=6R2，S球=4R2 S圆柱S球=6R24R2=32故选C.二、填空题【答案】【考点】二面角的平面角及求法【解析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论【解答】解：如图所示，其中ABDC=90，E是BD的中点，可以证明出AED=90，即为此直二面角的平面角.对于命题，由于BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题，A
15、B与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE=45，故AB与平面BCD成60的角不正确，此命题错误；对于命题，可取AD的中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知是正确的.故答案为：.三、解答题【答案】证明：(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中， F，F1分别是AC，A1C1的中点， B1F1/BF，AF1/C1F根据线面平行的判定定理，可得B1F1/平面C1BF ，AF1/平面C1BF.又 B1F1AF1=F
16、1， 平面AB1F1/平面C1BF(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1， B1F1AA1又B1F1A1C1，A1C1AA1=A1， B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1， 平面AB1F1平面ACC1A1【考点】平面与平面垂直的判定平面与平面平行的判定【解析】（1）利用面面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明【解答】证明：(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中， F，F1分别是AC，A1C1的中点， B1F1/BF，AF1/C1F根据线面平行的判定定理，可得B1F1/平面C1BF，AF1/平面C1BF.又 B1F1AF1=F1， 平
17、面AB1F1/平面C1BF(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1， B1F1AA1又B1F1A1C1，A1C1AA1=A1， B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1， 平面AB1F1平面ACC1A1【答案】解：(1)由题意得ab=6，ba3=24， a=2，b=3， f(x)=32x.(2)设g(x)=(ab)x=(23)x，则y=g(x)在R上为减函数， 当x1时，gmin(x)=g(1)=23， (ab)x2m+1在x(,1上恒成立， g(x)min2m+1， 2m+123， m16， m的取值范围为：m16【考点】函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题【
18、解析】（1）将点的坐标，代入函数解析式，即可求得f(x)的解析式；（2）求出g(x)=(ab)x=(23)x在x(,1上的最小值，不等式(ab)x2m+1在x(,1上恒成立，转化为g(x)min2m+1，从而可求实数m的取值范围【解答】解：(1)由题意得ab=6，ba3=24， a=2，b=3， f(x)=32x.(2)设g(x)=(ab)x=(23)x，则y=g(x)在R上为减函数， 当x1时，gmin(x)=g(1)=23， (ab)x2m+1在x(,1上恒成立， g(x)min2m+1， 2m+123， m16， m的取值范围为：m16【答案】解：(1)由三视图，可知四棱锥PABCD的底
19、面是一个正方形，正方形的边长为1，故SABCD=1，又PC底面ABCD， 四棱锥PABCD的体积V=13SABCDh=1312=23.(2)结论：总有BDAE，证明：由三视图，可知PC平面ABCD， BD平面ABCD， BDPC，又 在正方形中BDAC，且AC、PC是平面PAC内的两条相交直线， BD平面PAC， AE平面PAC， BDAE.【考点】由三视图求体积两条直线垂直的判定【解析】（1）根据三视图，可得四棱锥PABCD的底面为边长等于1的正方形，侧棱PC平面ABCD，PC=2，由此利用锥体的体积公式，即可算出四棱锥PABCD的体积；（2）由PC平面ABCD证出BDPC，结合正方形ABC
20、D的对角线BDAC，利用线面垂直判定定理证出BD平面PAC，从而证出BDAE因此当E在线段PC上任意移动时，总有BDAE【解答】解：(1)由三视图，可知四棱锥PABCD的底面是一个正方形，正方形的边长为1，故SABCD=1，又PC底面ABCD， 四棱锥PABCD的体积V=13SABCDh=1312=23.(2)结论：总有BDAE，证明：由三视图，可知PC平面ABCD， BD平面ABCD， BDPC，又 在正方形中BDAC，且AC、PC是平面PAC内的两条相交直线， BD平面PAC， AE平面PAC， BDAE.【答案】(1)证明：正方形ABCDCBAB， 平面ABCD平面ABEF且交于AB，
21、CB平面ABEF， AG，GB平面ABEF， CBAG，CBBG，又AD=2a，AF=a，四边形ABEF是矩形，G是EF的中点， AG=BG=2a，AB=2a，AB2=AG2+BG2， AGBG， BCBG=B， AG平面CBG.(2)解：由(1)知平面AGC平面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BHGC，垂足为H，则BH平面AGC， BGH是GB与平面AGC所成的角， 在RtCBG中，BH=BCBGCG=BCBGBC2+BG2=23a3，又BG=2a， sinBGH=BHBG=63.【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面所成的角【解析】（1）先证明AGBG，又由平面ABCD平面ABEF，A
22、BCD是正方形，结合面面垂直的性质，我们易得到BC平面ABEF，进而由线面垂直的定义得到BCAG，由线面垂直的判定定理，即可得到结论；（2）作GMAB于M，则M为AB中点，M为G的射影，作GHAC于H，连接MH，从而可知所求角GHM，进而可求【解答】(1)证明：正方形ABCDCBAB， 平面ABCD平面ABEF且交于AB， CB平面ABEF， AG，GB平面ABEF， CBAG，CBBG，又AD=2a，AF=a，四边形ABEF是矩形，G是EF的中点， AG=BG=2a，AB=2a，AB2=AG2+BG2， AGBG， BCBG=B， AG平面CBG.(2)解：由(1)知平面AGC平面BGC，且
23、交于GC，在平面BGC内作BHGC，垂足为H，则BH平面AGC， BGH是GB与平面AGC所成的角， 在RtCBG中，BH=BCBGCG=BCBGBC2+BG2=23a3，又BG=2a， sinBGH=BHBG=63.【答案】(1)解： f(x)是(1,1)上的奇函数， f(0)=0， b=0又f(12)=25， 12a1+(12)2=25， a=1， f(x)=x1+x2.(2)证明：设任意x1，x2(1,1)，且x1x2则f(x1)f(x2)=x11+x12x21+x22=(x1x2)(1x1x2)(1+x12)(1+x22)， 1x1x21， 1x1x21， x1x20，又1+x120，
24、1+x220， f(x1)f(x2)0， f(x)在(1,1)上是增函数(3)解： f(x)是奇函数， 不等式可化为f(t1)f(t)=f(t)即f(t1)f(t)，又f(x)在(1,1)上是增函数， 有1t11，1t1，t1t，解得0t12， 不等式的解集为t|0t12【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f(x)的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f(x)在(1,1)上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式f(t1)+f(2t)0进行转化，利用函数的单调性即可得到结论【解答】(1)
25、解： f(x)是(1,1)上的奇函数， f(0)=0， b=0又f(12)=25， 12a1+(12)2=25， a=1， f(x)=x1+x2.(2)证明：设任意x1，x2(1,1)，且x1x2则f(x1)f(x2)=x11+x12x21+x22=(x1x2)(1x1x2)(1+x12)(1+x22)， 1x1x21， 1x1x21， x1x20，又1+x120，1+x220， f(x1)f(x2)0， f(x)在(1,1)上是增函数(3)解： f(x)是奇函数， 不等式可化为f(t1)f(t)=f(t)即f(t1)f(t)，又f(x)在(1,1)上是增函数， 有1t11，1t1，t1t，解
26、得0t12， 不等式的解集为t|0t12【答案】(1)证明：如图，连接AC，AC交BD于O，连接EO， 底面ABCD是正方形， 点O是AC的中点.在PAC中，EO是中位线， PA/EO，而EO平面EDB且PA平面EDB， PA/平面EDB.(2)证明 PD底面ABCD且DC底面ABCD， PDDC.由PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， DEPC，同样由PD底面ABCD，得PDBC. 底面ABCD是正方形，有DCBC， BC平面PDC，而DE平面PDC， BCDE，由和推得DE平面PBC，而PB平面PBC， DEPB.又EFPB且DEEF=E， PB平面EFD.(3
27、)解：由(2)知PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角，由(2)知DEEF，PDDB，设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=2a，DE=12PC=22a，在RtPDB中，DF=PDBDPB=a2a3a=63a，在RtDEF中，sinEFD=DEDF=2a263a=32，所以EFD=3，即二面角CPBD的大小为3.【考点】直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA/EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DEPC，BC平面PDC，DE平面PBC，可得DEPB，利用线面
28、垂直的判定定理，可得PB平面EFD；【解答】(1)证明：如图，连接AC，AC交BD于O，连接EO， 底面ABCD是正方形， 点O是AC的中点.在PAC中，EO是中位线， PA/EO，而EO平面EDB且PA平面EDB， PA/平面EDB.(2)证明 PD底面ABCD且DC底面ABCD， PDDC.由PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， DEPC，同样由PD底面ABCD，得PDBC. 底面ABCD是正方形，有DCBC， BC平面PDC，而DE平面PDC， BCDE，由和推得DE平面PBC，而PB平面PBC， DEPB.又EFPB且DEEF=E， PB平面EFD.(3)解：由(2)知PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角，由(2)知DEEF，PDDB，设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=2a，DE=12PC=22a，在RtPDB中，DF=PDBDPB=a2a3a=63a，在RtDEF中，sinEFD=DEDF=2a263a=32，所以EFD=3，即二面角CPBD的大小为3.第21页 共22页 第22页 共22页