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1、关于向量的线性相关性现在学习的是第1页，共10页6.3.1 6.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示定义定义1 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量，个向量，是数域是数域F中任意中任意r个数个数.我们把和我们把和叫做向量叫做向量 的一个向量组合的一个向量组合.如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的的线性组合，我们也说线性组合，我们也说 可以由可以由 线性表示线性表示.零向量显然可以由任意一组向量零向量显然可以由任意一组向量 线性线性表示，因为表示，因为现在学习的是第2页，共10页6.3.2 6.3.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义定义2 设设
2、 是向量空间是向量空间V的的r个向量。如果存在个向量。如果存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得使得（1）那么就说那么就说 线性相关线性相关.如果不存在如果不存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得等式使得等式（1）成立，换句话说，等式（）成立，换句话说，等式（1）仅当）仅当 时才成立，那么就说，向量时才成立，那么就说，向量 线性无关线性无关.现在学习的是第3页，共10页例例1 令令F是任意一个数域。是任意一个数域。中向量中向量 1=（1,2,3），），2=（2,4,6），），3=（3,5,-4）线性相关。）线性相关。例例2 判断判断 的向量的向量 1=（1,-2,3），），2=（2,1,0
3、），），3=（1,-7,9）是否线性）是否线性相关。相关。例例3 在向量空间在向量空间F x里，对于任意非负整数里，对于任意非负整数 n,线性无关。线性无关。现在学习的是第4页，共10页命题命题6.3.1 向量组向量组 中每一个向量中每一个向量 都可以由这一都可以由这一组向量线性表示组向量线性表示.命题命题6.3.2 如果向量如果向量 可以由可以由 线性表示，而每一个线性表示，而每一个又都可以由又都可以由 线性表示，那么线性表示，那么 可以由可以由 线性表示线性表示.命题命题6.3.3 如果向量组如果向量组 线性无关线性无关,那么它的任意那么它的任意一部分也线性无关一部分也线性无关.一个等价的
4、提法是一个等价的提法是:如果向量组如果向量组 有一部分向量线性相关有一部分向量线性相关,那么整个向那么整个向量组量组 也线性相关也线性相关.现在学习的是第5页，共10页命题命题6.3.4 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而 线性相关线性相关.那么那么一定可以由一定可以由 线性表示线性表示.定理定理 6.3.5 向量向量 线性相关线性相关,必要且只要其中必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合某一个向量是其余向量的线性组合.现在学习的是第6页，共10页6.3.3 向量组等价向量组等价定义定义3 设设 和和 是向量空间是向量空间V的两个的两个向量组向量组,如果每一个如果每一个 都可以由都
5、可以由 线性表示线性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 线性表示线性表示,那么就说那么就说这两个向量组等价这两个向量组等价.例例4 向量组向量组 1=(1,2,3),2=(1,0,2)与向量组与向量组 1=(3,4,8),2=(2,2,5),3=(0,2,1)等价等价.现在学习的是第7页，共10页等价的概念显然具有传递性等价的概念显然具有传递性:如果如果 与与 等价等价,而后者又与而后者又与 等价等价,那那么么 与与 等价等价.定理定理6.3.6(替换定理）替换定理）设向量组设向量组 线性无关线性无关,并且每一并且每一 都都 可以由向量组可以由向量组线性表示线性表示,那么那么rs,并且必要时
6、可以对并且必要时可以对 中中向量重新编号向量重新编号,使得用使得用 替换替换后所得的向量后所得的向量 与与 等价等价.推论推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。现在学习的是第8页，共10页6.3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组(1)线性无关；线性无关；定义定义4 向量组向量组 的一部分向量组的一部分向量组 叫叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果果(2)每一每一 ，j=1,n,都可以由都可以由 线性表示。线性表示。现在学习的是第9页，共10页感谢大家观看现在学习的是第10页，共10页