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1、5.1 5.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 例例1设设 a a1(1,0,0)，a a2(0,1,0)，a a3(0,0,1)，b b(2,1,1)，则则b b(2,1,1)是向量组是向量组a a1，a a2，a a3的线性组合的线性组合.即即 b b(2,1,1)是向量组是向量组a a1，a a2，a a3的线性组合，也就是说的线性组合，也就是说b b可由可由a a1，a a2，a a3线性表示线性表示.因为因为 2a a1 a a2 a a3 2(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(2,1,1)=b b，定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2，a am
2、，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.下页第1页/共27页 例例2任何一个任何一个n维向量维向量a a(a1,a2,an)都是都是n维向量组维向量组 e1(1,0,0)，e2(0,1,0)，en(0,0,1)的线性组合的线性组合.这是因为这是因为a a a1e1 a2e2 an en.注：注：向量组向量组 e1，e2，en称为称为 n 维单位（或维单位（或基
3、本基本）向量组）向量组.下页5.1 5.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.第2页/共27页 例例3零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合.这是因为这是因为o=0 a a1 0 a a2 0 a am.例例4向向量量组组a
4、a1，a a2，a am中中的的任任一一向向量量a ai(1 i m)都都是是此此向量组的线性组合向量组的线性组合.这是因为这是因为a ai 0 a a1 1 a ai 0 a am.下页5.1 5.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.第3页/共
5、27页例例5线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+下页a11a21am1x1a12a22am2x2+xna1na2namn+b1b2bm=或即其中,第4页/共27页 定义定义2 设有设有n维向量组维向量组a a1，a a2，a am，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 k1，k2，km，使使 k1a a1 k2a a2 kma am o 成立成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2，a am线性相关线性相关，否则否则，即只有即只有当当k1，k2，
6、km全为全为0时时 k1a a1 k2a a2 kma am o才成立才成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2，a am线性无关线性无关.下页5.2 5.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关线性相关性判定方法线性相关性判定方法 一般方法，用于m 个个n维向量的情形.一般可通过定义、判定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.特殊方法，用于n 个个n维向量的情形.可通过行列式判定.第5页/共27页例例6.6.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.解解:对于向量组，显然有对于向量组，显然有 即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数 练习：练习
7、：讨论下列向量组的线性讨论下列向量组的线性 相关性，其中：相关性，其中：下页整理得使得所以向量组所以向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,线性相关线性相关.一般方法（举例）一般方法（举例）第6页/共27页 对于对于n个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组a a1，a a2，a an，设有一组数设有一组数 k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a a2 kna an o 成立成立.由向量的运算性质可得由向量的运算性质可得 k1a a1 k2a a2 kn a an=o，即即从而得向量组从而得向量组a a1，a a2，a an，线性无关线性无关(相关相关)的充分必要条件是的充分必
8、要条件是:下页特殊方法（推导）特殊方法（推导）第7页/共27页 设有一组数设有一组数k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a a2 kna an o 成立成立.(1)通过向量的线性运算通过向量的线性运算,将将(1)式化为如下齐次方程组式化为如下齐次方程组(2)下页特殊方法（解题步骤）特殊方法（解题步骤）判断上面关于k1,k2,kn方程组(2)(2)有无非零解?若方程组(2)(2)有非零解，则a a1,a a2,a an线性相关；否则,线性无关.即行列式或核心问题核心问题！第8页/共27页例例7 7.证明下列单位向量组线性无关证明下列单位向量组线性无关.即即 从而得从而得 即只有当即只有当k
9、1 k2 k3 k400时，上时，上 式才成立，所以向量组式才成立，所以向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,线性无关线性无关.下页特殊方法（举例）特殊方法（举例）证:对于向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,设有一组数k1,k2,k3,k4,使得下式成立亦即亦即第9页/共27页例例8 8.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.即方程组即方程组 因该方程组的系数行列式因该方程组的系数行列式 所以，线性方程组有非零解所以，线性方程组有非零解，从而从而，向量组向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,线性线性 相关
10、相关.下页特殊方法（举例）特殊方法（举例）解:对于向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,设有一组数k1,k2,k3,k4,使得亦即方程组亦即方程组解题要点：找向量方程的非零解.第10页/共27页 例例9设向量组设向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，令令 b b1 a a1 a a2，b b2 a a2 a a3，b b3 a a3 a a1.试证向量组试证向量组b b1，b b2，b b3也线性无关也线性无关.证明证明：设有一组数设有一组数k1,k2,k3,使使 k1b b1 k2b b2 k3 b b3 o，即即 k1(a a1 a a2)k2(a a
11、2 a a3)k3(a a3 a a1)o，整理得整理得 (k1 k3)a a1(k1 k2)a a2(k2 k3)a a3 o.因为向量组因为向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+1 1 0 0 1 1 1 0 1由于=20，从而b b1，b b2，b b3线性无关.所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0，下页即代数方程组只有零解：k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零解：k1=k2=k3=0.第11页/共27页讨论：讨论：3.3.仅有两个向量构成的向量组，线性相关的条件仅有两个向量构成的向量组，线性相关的条件
12、.1.1.含有零向量的向量组是否线性相关含有零向量的向量组是否线性相关.2.2.仅有一个向量构成的向量组，线性相关的条件仅有一个向量构成的向量组，线性相关的条件.结论：1.1.含有零向量的向量组一定线性相关.2.2.仅有一个向量构成的向量组，线性相关当且仅当该向量为零向量.3.3.仅有两个向量构成的向量组，线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例.4.4.单位向量组单位向量组e e1 1，e e2 2，e en n是否线性相关？是否线性相关？4.4.单位向量组单位向量组e e1 1，e e2 2，e en n线性无关线性无关.下页第12页/共27页 定理1 1 向量组a a1，a a2，a
13、am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.定理3 3 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关,则整个向量组线性相关.定理2 2 设向量组 a a1，a a2，a am，b b 线性相关，而a a1，a a2，a am线性无关，则b b 可可由a a1，a a2，a am线性表示，且表示式是唯一的.定理5 5 若向量组 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)(i=1,2,m)线性无关，则向量组 b b i=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in,a ai in+1)(i=1,2,m)也线性无关.下页5.3 5.3 线性
14、相关性判定定理线性相关性判定定理 定理4 4 由n个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an,)可逆.第13页/共27页 证明：证明：必要性必要性.因为因为a a1，a a2，a am线性相关线性相关,故存在故存在不全为零的数不全为零的数l l1，l l2，l lm，使使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o.不妨设不妨设l l1 0，于是于是即即a a1为为a a2，a a3，a am的线性组合的线性组合.充分性充分性.不妨设不妨设a a1可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示,即即 a a1 l l2a a
15、2 l l3a a3 l lma am，则存在不全为零的数则存在不全为零的数 1，l l2，l l3，l lm，使使 (1)a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am o，即即a a1，a a2，a am线性相关线性相关.下页 定理1 1 向量组a a1，a a2，a am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.第14页/共27页 先证明先证明b b可由向量组可由向量组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.因为向量组因为向量组a a1，a a2，a am，b b线性相关，因而存在一线性相关，因而存在一组不全为零的数组不全为零的数l l1，
16、l l2，l lm及及l l，使使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am lblb o，这里必有这里必有l l 0，否则，上式成为否则，上式成为 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o，且且l l1，l l2，l lm不全为零，这与线性无关矛盾不全为零，这与线性无关矛盾.因此因此l l 0.即即b b可由向量组可由向量组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.证明：下页 定理2 2 设向量组 a a1，a a2，a am，b b 线性相关，而a a1，a a2，a am线性无关，则b b 可可由a a1，a a2，a am线性表示，且表示式是唯一的.第1
17、5页/共27页再证表示法唯一再证表示法唯一.设设b b可表示成以下两种形式，可表示成以下两种形式，b b l l1a a1 l l2a a2 l lma am，及及 b b m m1a a1 m m2a a2 m mma am，两式相减得两式相减得 (l l1 m m1)a a1(l l2 m m2)a a2 (l lm m mm)a am o，由由a a1，a a2，a am线性无关可知线性无关可知 l l1 m m1 l l2 m m2 l lm m mm 0，从而从而 l l1 m m1，l l2 m m2，l lm m mm，所以表示法是唯一的所以表示法是唯一的.下页 定理2 2 设向
18、量组 a a1，a a2，a am，b b 线性相关，而a a1，a a2，a am线性无关，则b b 可可由a a1，a a2，a am线性表示，且表示式是唯一的.证明：第16页/共27页 设向量组设向量组a a1，a a2，a am中有中有r个向量的部分组个向量的部分组 线性相关线性相关，不妨设不妨设a a1，a a2，a ar线性相关，则存在一组线性相关，则存在一组 不全为零的数不全为零的数l l1，l l2，l lr使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar o，因而存在一组不全为零的数因而存在一组不全为零的数 l l1，l l2，l lr，0，0，0使使 l l1a
19、a1 l l2a a2 l lra ar 0 a ar 1 0 a am o，即即a a1，a a2，a am线性相关线性相关.证明：下页 定理3 3 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关,则整个向量组线性相关.定理4 4 由n个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an,)可逆.证明：略.第17页/共27页证明：（反证）若向量组若向量组 b b1,b b2,b bm线性相关线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数k1,k2,km,使得使得 k1 b b1+k2 b b2+km b bm=o （1 1）即即（2
20、 2）显然显然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1+k2a a2+kma am=o，从而得从而得，a a1，a a2，a am线性相关，矛盾线性相关，矛盾.证毕证毕.下页 定理5 5 若向量组 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)(i=1,2,m)线性无关，则向量组 b b i=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in,a ai in+1)(i=1,2,m)也线性无关.第18页/共27页例例10.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性(要求用要求用“观察法观察法”).(1)下页(2)解：解：对于对于(1)组，显然有组，显
21、然有,由定理由定理1知知(1)组相关组相关.(2)组中每一个向量的前组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理个分量构成无关组，由定理5知知(2)组无关组无关.第19页/共27页练习题练习题 一一、填填空空题题：在在向向量量组组a a1,a a2,a ar中中，如如果果有有部部分分向向量量线线性相关，则向量组必（性相关，则向量组必（）二、多选题：二、多选题：下列命题中正确的有（下列命题中正确的有（）非零向量组成的向量组一定线性无关非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关由一个零向量组成的向量组一定线性无关
22、 由零向量组成的向量组一定线性相关由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量线性相关的向量组一定含有零向量三、分析判断题三、分析判断题：若若a a1不能被不能被a a2,a a3,a ar 线性表示，线性表示，则向量则向量a a1,a a2,a a3,a ar线性无关（线性无关（）四、证明题：四、证明题：设设b b可由设可由设a a1,a a2,a ar线性表示，但不能线性表示，但不能由由a a1,a a2,a ar-1线性表示，证明线性表示，证明a ar可由可由a a1,a a2,a ar-1,b b线性表示线性表示下页第20页/共27页等价向量组等价向量组定义定义3
23、3 设有两个向量组设有两个向量组(I)(II)如果如果(I)(I)中每一个向量都可由向量组中每一个向量都可由向量组(II)(II)线性表示，则称线性表示，则称(I)(I)可由可由(II)(II)线性表示；如果向量线性表示；如果向量(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)可以相互线性表示，则称可以相互线性表示，则称向量组向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价.例例11.11.(I)a a=(1,0),a a 2=(0,1)(II)b b=(1,),b b 2=(,-1),b b 3=(,5)两组两组等价等价.因为因为,b b=a aa a所以所以(I)(I)和和(II)(
24、II)可以相互线性表示，可以相互线性表示，,b b 2=a aa a,b b 3=a aa a,即向量组即向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价.下页5.4 5.4 极大线性无关组极大线性无关组第21页/共27页等价向量组的性质等价向量组的性质（1 1）自反性：向量组与其自身等价；）自反性：向量组与其自身等价；（2 2）对称性：若向量组）对称性：若向量组(I)(I)等价于等价于(II)(II)，则向量组，则向量组(II)(II)等价于等价于(I)(I)；（3 3）传递性：若向量组）传递性：若向量组(I)(I)等价于等价于(II)(II)，向量组，向量组(II)(II)等价于
25、等价于(III)(III)，则向量组则向量组(I)(I)等价于等价于(III).(III).引例引例.向量组向量组a a=(1,1,1),a a2=(0,2,5),a a3=(1,3,6),等价于其部分向等价于其部分向量组量组a a a a2.事实上，事实上，a a，a a，a a3中的每一个向量可由中的每一个向量可由a a，a a线性表示线性表示,即即而而 a a，a a中的每一个向量可由中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即线性表示，即下页向量组的极大无关组向量组的极大无关组第22页/共27页 例例12在向量组在向量组a a1(0,1)，a a2(1,0)，a a3(1,1)，a a4
26、(0,2)中中，向量组向量组a a1(0,1)，a a2(1,0)线性无关线性无关，且有且有 同样a a2，a a4也是一个极大无关组.所以a a1，a a2是向量组a a1，a a2，a a3，a a4的一个极大无关组.a a4(0,2)2(0,1)2a a1 100a a2，a a3(1,1)(0,1)(1,0)a a1 a a2，定义定义4 如果向量组如果向量组a a1，a a2,am的一个部分向量向量组的一个部分向量向量组 a aj1，a aj2,ajr(rm)满足：满足：(1)aj1，aj2,ajr线性无关；线性无关；(2)向量组向量组a a1，a a2,am中的任一向量可由中的任一
27、向量可由aj1，aj2,ajr线性表示，线性表示，则称则称aj1，aj2,ajr为向量组为向量组a a1，a a2，,am的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.显见：显见：一个向量组的极大无关组不一定唯一；一个向量组的极大无关组不一定唯一；一个向量组与它的极大无关组等价一个向量组与它的极大无关组等价.下页第23页/共27页线性表示线性表示，则则rs.定理6 设向量组线性无关，并且可由向量组线性无关，并且可由向量组 推论推论2 2 一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等身
28、等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等.推论推论1 1 任意任意n+1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关.下页向量组的秩向量组的秩 定义定义5 向量组向量组a a1，a a2，a am的极大无关组所含向量的个的极大无关组所含向量的个 数称数称为向量组的秩为向量组的秩.记作记作r(a a1，a a2，a am).规定，只含零向量的向量组的秩为规定，只含零向量的向量组的秩为0.推论推论3 3 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.若若r(a a1，a a2，a am)m，则向量组，则向量组a a1，a a2，a am必线性相关必线性相关.(线性相关性新的判定方法！线性相关性新的判定方法！)重要结论重要结论第24页/共27页作业：77页 12 77页 11*79页 30 结束第25页/共27页3030判断下列向量组的线性相关性：（2）（3）（1）结束第26页/共27页感谢您的欣赏第27页/共27页