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1、第三篇三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1rad1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r
2、23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号口诀全正，正弦，正切，余弦续表三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线辨 析 感 悟1对角的概念的认识(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()2任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角的终边经过点P(1,2)，则sin .()(6)(
3、2013济南模拟改编)点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第二象限()(7)(2011新课标全国卷改编)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos .()感悟提升1一个区别“小于90的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90的角的范围：，锐角的范围：，第一象限角的范围：(kZ)所以说小于90的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立如(1)、(2)2三个防范一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一象限角与三
4、角函数值的符号判断【例1】 (1)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)C(2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的
5、符号，再判断角所在象限【训练1】 设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，知为第二象限角答案B考点二三角函数定义的应用【例2】 已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意得，r，sin m.m0，m.故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角cos ，tan .综上可知，cos ，tan 或cos ，tan .规律方法 利用三角函数的
6、定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练2】 已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值解设角终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C
7、0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？审题路线(1)角度化为弧度求扇形的弧长S弓S扇S分别求S扇lr，Sr2sin 计算得S弓(2)由周长C与半径R的关系确定R与的关系式代入扇形面积公式确定S扇与的关系式求解最值解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60，R10，l10(cm)，S弓S扇S10102sin 50(cm2)(2)法一扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R22.当且仅当24，即2 rad时，扇形面积有最大值.法二由已知，得l2RC，S扇lR(C2R)R(2R2RC)2.故当R，l2R，2 rad时，这个扇形的面积最大，最大值为.规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
8、制下更方便、简捷(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第50页【训练3】 (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长是2rr.依题意：2rrr，(2)rad.扇形的面积Sr2(2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r20，即l202r(0r10)扇形的面积Slr(202r)rr210r(r5)225.当r5 c
9、m时，S有最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.因此，当2 rad时，扇形的面积取最大值 1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧创新突破4以任意角为背景的应用问题【典例】 (2012山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_突破1：理解点P转动的
10、弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长突破3：由几何图形建立P点坐标与边长的关系解析如图，作CQx轴，PQCQ, Q为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cos sin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2,1cos 2)，故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)反思感悟 (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决(2)常见实际应用问题有：表针的旋
11、转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等【自主体验】已知圆O：x2y24与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为，则tan ()A1 B1 C2 D2解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan 1.答案B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角解析sin 0，则的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限答案C2(2014汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
12、()A. B. C. D.解析设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，圆弧长为R.该圆弧所对圆心角的弧度数为.答案C3点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为()A. B. C. D.解析由弧长公式得，P点逆时针转过的角度，所以Q点的坐标为，即.答案A4已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为()A. B. C. D.解析由sin 0，cos 0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.答案D5有下列命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不等；若sin 0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且
13、P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析正确，不正确，sin sin ，而与角的终边不相同不正确sin 0，的终边也可能在y轴的正半轴上不正确在三角函数的定义中，cos ，不论角在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立答案A二、填空题6已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案87.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _.解析因为A点纵坐标yA，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以
14、A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .答案8函数y的定义域为_解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)三、解答题9(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来：60；21.(2)试写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式180180的元素写出来解(1)S|60k360，kZ，其中适合不等式360720的元素为300，60，420；S|21k360，kZ，其中适合不等式360720的元素为21，339，699.(2)终边在yx上的角的集合是S|k360120，kZ|k
15、360300，kZ|k180120，kZ，其中适合不等式180180的元素为60，120.10(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解(1)设圆心角是，半径是r，则解得或(舍去)扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1弧度AH1sin 1sin 1 (cm)，AB2sin 1 (cm)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014杭州模拟)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取
16、值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.答案A2给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析由于第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当，cos 10时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解2三个防范一是函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如ycos x的对称轴为xk，而不是x2k(kZ)二是对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(kZ)内为增函数，如(6)三是函数ysin x与ycos x的最大值为1，最