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1、1基于改进增量多目标进化算法的电力系统无功优化李智欢，段献忠(华中科技大学电气与电子工程学院，湖北 武汉 430074)摘要：在电力系统同时追求安全性和经济性的背景下，以多种性能指标为目标函数是当前无功优化研究发展的趋势，其技术关键之一是各目标之间的权衡问题，而传统解决方法必须在优化之前多次试探，工作量很大。针对此，本文引入了增量多目标进化算法应用于多目标无功优化问题，并在约束的处理、收敛性能的指标、动态种群技术使用阶段、模糊边界摄动规则和选择算子五个方面提出了相应的改进措施。在 IEEE 30 节点标准系统的仿真表明，改进措施使得算法在解决无功优化问题时的性能大大提高。与其他多目标进化算法的
2、比较发现，改进增量多目标进化算法具有较高的寻优效率，是解决多目标无功优化问题的一种有效方法。关键词：无功优化；增量进化算法；Pareto 最优；多目标0 引言对于高维离散非线性、多约束的复杂优化问题，进化算法是一种优秀的寻优方法，能方便地处理离散变量，不容易陷入局部最优，在单目标无功优化领域应用已颇为广泛和成熟12。但是在当前电力系统经济性和安全性缺一不可的情况下，考虑多个性能指标的多目标无功优化变得尤为重要。此时，进化算法必须结合如加权法、隶属度函数法34、目标规划法5、约束法6等措施，先转换模型再进行优化，但是一般情况下，优化之前很难凭空确定权值、隶属度函数、理想目标向量、主目标等与目标偏
3、好关系相关的参数，这使得优化过程需要多次试探，工作量很大。近年来新发展产生的多目标进化算法可以很好地解决这一不足。多目标进化算法基于 Pareto 最优的概念，同时对多目标进行优化，搜索到一组Pareto 解作为候选解集供决策者选择，可以方便的寻找到满足要求的最优解。但是到目前为止，该类方法在无功优化中的应用并不理想：（1）只有少量使用实数编码的遗传算法7和强度Pareto 进化算法(SPEA)89的无功优化方法出现，大量更加新颖优秀的多目标进化算法在无功优化领域并无应用。（2）多目标进化算法应用于无功优化问题以后，改进措施方面的研究并没有得到应有的重视。针对这种现状，本文引入了一种优秀的多目
4、标进化算法增量多目标进化算法，并在约束的处理、收敛性能的指标、动态种群技术与模糊边界摄动技术使用阶段、模糊边界摄动规则和选择算子五个方面进行了深入的分析，提出了相应的改进方法，加快了计算速度，改善了收敛性，大大提高了算法对无功优化问题的适应能力。1 无功优化多目标模型无功优化是多变量、多目标、多约束、不连续和非线性的优化问题，其模型分为目标函数、等式约束和不等式约束三个部分。1.1 目标函数传统意义下，无功优化只考虑全局线路损耗最小，其目标函数为：22min2cosij NLjijijijiLPVVVVG(1)其中，ijG为线路支路ij的电导，ijT是变压器支路ij的变比。NL表示线路支路集合
5、。为提高电网电压运行水平，使用节点电压偏移目标函数：2maxminmin=speciiiii NVVVVF(2)其中，N为电网节点总数，iV分别为节点i和j的节点电压；speciV为节点i的给定电压值。maxiV与miniV分别表示节点i电压上下限。1.2 等式约束等式约束即为潮流平衡约束，即各节点有功和无功的平衡。(cossin)0(sincos)0(,0,1)iijijijijijj iiijijijijijj iPVVGBQVVGBi jn(3)其中n为系统节点数，ji表示节点j为节点i的相邻节点，iV表示节点i电压幅值，ijG与ijB分别为节点i与节点j之间线路的电导和电纳，ij为节点
6、ij之间的相角差。1.3 不等式约束本文中控制变量包括有载调压变压器分接头档位kT、无功补偿容量cQ和发电机端电压GU。所以控制变量约束为：2kkkcccGGGTTTQQQUUU(4)其中kT、kT、kT分别为可调变压器分接头的位置及其上、下限值，cQ、Qc、cQ分别为无功补偿容量及其上、下限值；GU、GU、GU分别为发电机节点的端电压及其上、下限值。状态变量约束包括：nnnpqpqpqGGGVVVQQQ(5)其中，GQ、GQ、GQ的分量分别为发电机的无功出力及其上、下限值，n、n、n分别为所有节点电压相角及其上下限值，pqV、pqV、pqV分别为PQ节点的电压幅值及其上下限值。2 增量多目标
7、进化算法的分析2.1 多目标进化算法(MOEA)对多目标进化算法的研究，开始于 80 年代中期。学者们先后提出了包括 MOGA10、HLGA11、NPGA12、NSGA1314、SPEA15与 IMOEA16等在内的多种多目标进化算法。这些进化算法不需要与应用背景相关的启发性知识，而且能够很好地处理目标空间函数的凹部，克服了权值法、约束法等传统方法的缺点。它们基于 Pareto 关系确定个体优劣，目标是在目标空间让个体尽量逼近Pareto前沿，搜索到分散的 Pareto 解集。2.2 增量多目标进化算法(IMOEA)增量多目标进化算法(IMOEA)是K.C.Tan等提出的一种高效率的多目标进化
8、算法，在解决多目标优化问题时有较好的表现16。与其它多目标进化算法相比，算法提出了多种新的搜索和控制策略：（1）衡量收敛性能的指标为了给迭代终止条件和参数的动态调整提供依据，定义迭代前进比率为：,1()()n nnnnDrprnDom(6)n表示迭代第n代，()nnDom表示第n代的Pareto 个体个数，,1n nnDr表示在第n代中，支配任何一个或多个第1n 代的 Pareto 个体的个体数目。迭代前进比率可以用来衡量搜索的程度，一般情况下，在迭代初期，搜索很不充分，每轮都可以找到大量比当前代更好的解，()npr趋近于 1，而到了迭代末期，经过几代才能搜索到少量新的 Pareto 解，()
9、npr趋近于 0。（2）动态种群规模在迭代过程中根据搜索到的Pareto解集所覆盖的范围动态调整种群规模，不仅由于去除了不必要的个体而减少了计算复杂度，而且可以很好的避免迭代早熟现象。定义种群规模为：()()nnpopdpsppv V(7)其中()npopV表示第n代中 Pareto 解所覆盖的超球面的超体积，其详细计算方法参见文17。ppv为参数，表示每单位体积需要分布的个体数量，越高最后得到的Pareto解集将越密集，但是迭代速度减慢。（3）模糊边界局部摄动(FBLP)Pareto 解集将在某些区域分布稀疏，使得目标信息不够全面，此时，采用适应度共享技术18搜索到稀疏区域，依据邻近解优先的
10、原则，利用变异，使这些区域内的个体产生摄动，搜索邻近的可行解以填补空隙。每一轮由 FBLP 产生的摄动解数量将根据()npr自适应调整，随着迭代的进行，局部摄动将逐步加强，而每轮选择复制的数量()knSel也将和摄动解一起变化，详细操作过程可参见文16。增量多目标进化算法的流程见图 1。随机产生初始群体dpsset个，构成pop(0)k=1,dom(0)=仅根据小生境，采用锦标赛选择法从pop(k)中选择nSel(k)个个体，构成Selpop(k)利用FBLP算法对Selpop(k)进行局部调整得到evolpop(k)，其种群规模为dps(k)合并evolpop(k)与dom(k)后，依据带约
11、束的支配关系与小生境数对和并后集合进行排序，并选择出dps(k)个个体构成pop(k+1)检查pr(k)是否满足结束条件?NY得到近似Pareto解集k=k+1计算群体规模dps(k)、选择个体数目nSel(k)与迭代前进速度pr(k)计算交叉概率，并以此概率对Selpop(k)进行交叉操作pop(k+1)中的Pareto个体构成dom(k+1)图 1 增量多目标进化算法流程图环节中对整个群体排序，即为每个个体分配一个排序值Rank：1iiRankp(8)其中iRank表示第i个个体的排序值，ip表示群3体中支配个体i的个体数目。分配好排序值后，选出排序值最小的()kdps个个体，当个体排序值
12、相同时，选择拥挤距离较小的个体。环节中采用的锦标赛选择法19，即不断地随机从群体中取出两个个体，复制其中小生境较小的个体，直到复制完()knSel个个体。3 算法分析与改进方法研究文16的仿真验证了增量多目标进化算法相对于其它多目标进化算法的优越性。但是，根据“NoFree Lunch”理论，若一种算法没有根据问题特点进行设计，不能保证它有通用的高效率。所以，本文在将分析 IMOEA 运用于解决无功优化时的有待改进之处，然后提出相应的改进措施。3.1 不等式约束的处理无功优化是一个强约束的优化问题，包括安全方面和经济方面的多种不等式约束，种类和数量都很庞大。但是，增量进化算法中并没有涉及不等式
13、约束的处理，这使得算法面对无功优化中大量不等式约束时无计可施。针对此，可以定义基于约束的支配关系。首先，为了衡量个体越界的程度，定义越界个体相对于某一个目标的相对越界度：0qiqiqiqiqiqiqiqiqiqiqiqiqiuuuuuuuuVltnuuuu当当其它(9)其中，qiu表示第q个个体所代表的第i个受约束变量，qiu和qiu表示qiu的约束上下界，qiVltn表示qiu的相对越界度。对于每个个体，其整体越界度可表示成为：iiqiSumVwVltnq(10)其中，SumVq表示第q个个体整体越界度，iw表示第i个约束条件的权重，体现对第i个越界条件重视程度。对于两个个体i与j，定义i按
14、约束支配j当以下任意一个条件满足：个体i满足所有约束而个体j不满足。个体i和j都满足所有约束，且个体i支配j。个体i和j都不满足约束，且个体i的整体越界度小于j。利用考虑约束的支配关系，可以很方便的在多目标情况下处理约束。3.2 域内搜索与域外搜索无功优化问题的搜索初始阶段大部分个体甚至于全部个体都处于不可行域，此时 Pareto 个体很少甚至不存在，使得由（7）式计算的初始阶段种群急剧缩减，搜索很难进入可行域内，算法出现停滞现象。对于这种情况，可以人为地将搜索过程分为两个阶段：域内与域外搜索。前一阶段主要任务是引导大部分个体进入可行域内，而第二阶段的主要任务则是在可行域内逼近 Pareto
15、前沿。在第一阶段搜索时，可行域内个体数量除了很小的波动外是逐渐增加的，当可行域内个体连续多次波动后，可以认为进入第二阶段，即当下式满足时：vrasetnn（11）其中vran为相邻代之间出现可行域内个体数量减少这一现象的次数，而setn为预设值，控制第一阶段波动阈值，波动数超过则进入第二阶段。在将搜索过程分为两个部分后，可以控制在域外搜索阶段使用常数种群，而到了域内搜索阶段再采用动态种群技术，这样就能够很好地避免上述不足。3.3 衡量收敛性能的指标虽然如前所分析，迭代过程中式（6）计算的Pr 值将从 1 逐渐变化到趋紧于 0，从而反应收敛性能，但是仍有不足：（1）使用迭代前进比率没有计及个体对
16、未知区域的新搜索行为，如图 2 中，若个体为本代新搜索到的 Pareto 个体，除此之外的由折线连接的个体为上一代 Pareto 个体。由于个体 4 没有支配上一代的任何 Pareto 个体，使得 Pr 值为。但是实际上来说，个体 4 新搜索到了一片新的稀疏区域，可以说寻优过程有很大进展，迭代并没有停滞，与pr值不符。（2）对于无功优化这样的复杂问题，每一代的搜索有一定的随机性，仅仅将相邻代 Pareto 个体相比较计算的pr将具有很大的波动性。为了弥补这些不足，可以经过如下两步获得改进迭代前进比率pr：（1）修订pr的定义如下：,1()()n nnnnUDomprnDom（12）其中，分母与
17、式（6）一致，分子,1n nnUDom表示在第n代中，未被任何一个第1n 代的 Pareto 个4体支配的个体数目（不包括与1n 相同的个体）。如此修订后，pr将计及当前代搜索到新区域的个体。（2）为了减弱pr的大波动性，采取多代取平均值的方法，即采用如下公式：()/1()()/1ijprki kj i kiprijprii kj （13）式中上标表示迭代的代数，pr表示本文改进后的pr，pr意义如修订定义（12）式。式（13）是将pr用最近k代的pr的平均值代替，可以避免随机搜索的波动，从总体上衡量当前的迭代数据。3.4 FBLP 的不足与改进如前所分析，模糊边界局部摄动技术可以在解附近实施
18、很好的局部搜索，但是有三点不足：（1）在 IMOEA 中，对交叉算子产生的新个体使用技术，可以优化调整新产生的个体。但是对于高维非线性、可行域复杂且庞大的无功优化问题，由交叉产生的新个体在很大程度上会离较优解距离较远，甚至解本身就不可行，在这些解附近局部摄动寻优是没有意义的。所以，在交叉后再使用该技术，局部寻优效率较低。f1f21234父个体FBLP产生的子个体连接Pareto个体的折线图 2 基于小生境选择的 FBLP（2）IMOEA 中是完全基于共享函数选择个体参加 FBLP 的，这使得较稀疏区域更大可能的参与局部搜索，填补目标空间空白。但是，当可行域面积较大时，仅仅使用小生境为指标进行
19、FBLP 不够妥当，如图所示，在最小化目标的两目标平面，若仅以小生境作为标准，编号、的个体将最优先的参与 FBLP，这样的局部搜索意义不大，对寻优进程的贡献很小。事实上，最应该优先参与 FBLP的个体应该是个体，它既是当前 Pareto 个体，而且处在较稀疏区域。（3）参与 FBLP 的个体均产生相同数量的后代，并没有优先考虑位于稀疏区域的个体，这是另一不足。为了克服上述缺点，本文中采取措施：（1）FBLP 与交叉平行，直接作用在上一代个体上，与交叉算子共同产生下一代个体。（2）控制致力于局部搜索的 FBLP 在 Pareto 个体中进行，这样 FBLP 可以更好地调整当前 Pareto 个体
20、，搜索效率更高。（3）在 Pareto 个体中选择参与 FBLP 时，采用锦标赛选择法，以小生境数为选择依据，即引入了不平衡机制，Pareto 个体中位于稀疏区域的个体将以更大可能参与 FBLP 调整。另外值得注意的是，IMOEA 中将随着迭代的进行，控制每个个体由 FBLP 产生的个体数逐渐加强 FBLP 的作用。本文中则通过控制由 FBLP 产生的个体数目来达到这一目的，每代中由 FBLP 产生个体数目为：()()()(1)kkknFBLPprdps（14）每代剩下的()()kkprdps个个体由交叉产生。随着pr的逐渐减小，FBLP 作用将增强。3.5 选择算子基于 IMOEA 中选择、
21、交叉与 FBLP 依次实施的步骤，选择算子有两处需要改进：（1）IMOEA 中选择算子仅仅选择出很小一部分个体参与交叉，这不仅使得交叉的父个体局限于很小范围内，不利于吸取有用基因片段，而且弱化了交叉算子的作用，使得本来就无变异算子的IMOEA的全局搜索能力更加减弱。（2）当选择算子仅以小生境为依据而不考虑约束和目标值时，不仅会使得在目标空间的搜索盲目，而且容易产生大量不可行解，浪费寻优时间。针对这些特点，本文中的采取的选择算子如下：（1）使用常规的交叉池，采用等规模选取，即直接选择dps个个体作为交叉池，交叉父个体从中产生。（2）选择时使用锦标赛选择法，以排序数为第一选择依据，小生境数为第二选
22、择依据，即排序数较小者取胜或者排序者相同时小生境数较小者取胜。3.6 改进后算法流程经过上述一系列改进措施，可得改进后的5IMOEA 流程如图 3。随机产生初始群体dpsset个，构成pop(0)k=1,dom(0)=,Nvra=0,nIn(0)=0,设置Nset以排序数为第一选择依据，小生境数为第二选择依据，采用锦标赛选择法从pop(k)中选择dps(k)个个体，构成MatePool(k)以小生境数为依据，用锦标赛选择法从dom(k)中选择个体参加FBLP，产生群体evolpop(k)，规模为为dps(k)与(1-pr(k)的积合并evolpop(k)、dom(k)与Crosspop(k)，
23、依据带约束的支配关系与小生境数对和并后集合进行排序，并选择出dps(k)个个体构成pop(k+1)检查pr(k)是否满足结束条件?NY得到近似Pareto解集k=k+1计算动态种群规模dps(k)与迭代前进速度pr(k)以MatePool(k)为交叉池，交叉产生群体Crosspop(k)，规模为dps(k)与pr(k)的积pop(k+1)中的Pareto个体构成dom(k+1)记录pop(k+1)中在可行域内个体数nIn(k+1)可行域内个体：nIn(k)Nset？常数种群dps(k)=dpsset，并计算迭代前进速度pr(k)YNYN图 3 改进增量多目标进化算法流程图4 算例分析4.1 仿
24、真系统与参数本文采用 Matlab 在 P4 3.0 计算机上对 IEEE30节点标准系统进行了仿真。该系统包括 41 条支路，22 个负荷节点和 6 个发电机节点。1 号发电机节点作为平衡节点，2、5、8、11 和 13 号发电机节点均为 PV 节点，其余均为 PQ 节点，4 调变压器支路为69，610，412 和 2728，10、24 号为并联电容器节点，其详细系统参数见文献20。无功优化多目标模型中，采用网损最小和整体电压偏移最小两个目标函数，控制变量包括 2 台并联电容档位，5 个发电机节点电压幅值和 4 台有载调压变压变压器分接头档位。发电机节点电压，变压器分接头和并联电容器调节上下
25、限如表 1 所示，其中变压器与并联电容均为 10 档。仿真时，式（7）中采用80ppv，式（10）中i均取 1，式（11）中2setn，式（13）中9k，初始种群 200。表 1 控制变量上下限maxgVmingVmaxTminTmaxcQmincQ1.050.951.10.90.3604.2 搜索分段的分析图 4 中反映迭代过程中可行解数量变化的曲线可以看到将优化分为域内和域外搜索是十分合理的。由于在改进方法中，迭代后半段将采用动态种群规模，所以曲线使用的是可行解占群体数量的比例值/nIn dps。在迭代的前一小部分（前 15 代）中，可行解的比例单调上升，此时，搜索主要目的是将群体引导到可
26、行域内，在此之后，将经过一小段的大波动阶段（15 代到 20 代），这是因为开始使用动态种群技术后，群体规模的突然变化影响到可行解比例。之后的搜索中（20 代到 100 代）以很小的波动维持了可行解比例，搜索主要在可行域内逼近Pareto 前沿。02040608010000.20.40.60.81迭代代数n I n/d p s图 4可行域内个体比例02040608010001020304050607080迭代代数P a r e t o解数量图 5Pareto 个体数量图 5 显示了迭代过程中的 Pareto 个体数量的变化，体现了通过搜索分段来控制动态种群技术的必要性。对比图 4，在域内搜索阶
27、段，Pareto 个体数目很少（不到 20），特别是刚开始迭代的时候，只有 2个 Pareto 个体，若此时使用动态种群技术，种群规模将很小，这与初始阶段需大量全局搜索，获得尽量多的优秀基因片段是矛盾的，而且也不利于引导群体进入可行域内。所以，到域内搜索阶段再使用动态种群技术是很有必要的。602040608010000.20.40.60.81迭代代数P r值原Pr值改进后的Pr值图 6迭代前进比率 Pr 值4.3 收敛性能指标在迭代 100 代之后，图 6 为迭代过程中的原 Pr值和改进后的pr值变化图，很明显可以看到，改进前pr值虽然整体上逐渐减小，但是其局部波动较大，而改进后使得pr值随着
28、迭代的进行慢慢减小，消除了波动，可以更好地衡量收敛性能。4.4 改进 IMOEA 性能使用常规 IMOEA、改进 IMOEA 与文8中使用的 SPEA 算法迭代 100 次后，结果比较如图 7，比较数据见表 2 和表 3。可以看出，改进方法对IMOEA 算法性能的提升是很明显的。常规 IMOEA仅仅搜索到 8 个 Pareto 解，而且全部被改进 IMOEA搜索到的 Pareto 解支配。不仅如此，改进后的IMOEA性能超过了效率较高的SPEA算法。如表2，SPEA 算法绝大部分（89.55%）均被改进 IMOEA的 Pareto 解支配，却只支配很少量改进 IMOEA 的解（9.59%）。另
29、外如表 3 所示，SPEA 解的数量上较少，而且改进 IMOEA 在两个单目标上都搜索到了更优的解，说明它的全局搜索能力更强，解的分布更广阔。6.977.17.27.37.40.511.52网损（WM）电压偏移（p.u.改进IMOEA迭代100代SPEA迭代100代常规IMOEA迭代100代图 7优化结果比较为了给决策者提供更加清晰的结果，可以采用聚类法21，将上述搜索到的 Pareto 解集缩减，如图8 用聚类法选取 20 个 Pareto 解作为候选解，改进IMOEA 可以提供比 SPEA 目标值更优、范围更广的 20 个候选解，供决策者选择决策。表 2 各算法的支配关系比较算法 1算法
30、2支配比例比较常规 IMOEA100%改进IMOEASPEA89.55%改进 IMOEA0%常规IMOEASPEA0%常规 IMOEA100%SPEA改进 IMOEA9.59%表 3各算法的 Pareto 解个数与单目标最优值比较Pareto 解个数最小网损最小电压偏移改进 IMOEA736.89920.4781常规 IMOEA86.98010.6364SPEA676.92480.50246.977.17.27.37.40.511.52网损（WM）电压偏移（p.u.SPEA改进IMOEA图 8聚类后结果比较5 结论本文引入增量多目标进化算法应用于无功优化问题。算法基于支配关系，可以同时对多目标
31、进行优化，决策者只需从最终的 Pareto 解集中选择出较优解，比传统的确定权值或者隶属度函数的方法更加简单直接。在此基础上，在约束条件的处理、动态种群技术的使用阶段、衡量收敛性能的指标、模糊边界摄动、选择算子五个方面提出了改进措施。系统仿真证明了改进措施的有效性，改进增量多目标进化算法显示出了很高的寻优效率，可以为决策者提供较优的候选调控方案。另外，如果采取辅助方法帮助甚至替代决策者的选择工作将使得算法的实用性提高，这也是进一步的研究方向。参考文献1马晋弢，L.L.Lai，杨以涵。遗传算法在电力系统无功优化中的应用。中国电机工程学报，1995，15(5)：347-3532Q.H.Wu,J.T
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