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1、南京航空航天大学博士学位论文基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究姓名：邵兵申请学位级别：博士专业：机械电子工程指导教师：吴洪涛2010-04南京航空航天大学博士学位论文 I摘 要 随着现代科学技术的发展，涌现了由大量物体组成的工程对象，如车辆、串并联机构、机械手、航空航天飞行器等多体系统对象，这些以各种各样方式相互联系所组成的工程对象需要与时俱进的新方法对其进行研究，以便缩短开发时间。多体系统动力学以上述大规模机械系统为研究对象，主要研究其正向、反向和混合运动学、动力学问题。作为一门学科分支，多体系统综合了刚体力学、分析力学、计算力学、材料力学、生物力学等多学科的成就，作为一个
2、经过多年实践应用逐步发展起来的一门古老而又高新的应用技术分支，多体系统动力学正是在不断适应航空、航天工程、机械工程、汽车工程、仿生假肢等等若干机械工程领域具体对象分析研究需要的过程中不断发展、不断进步。本文主要研究一种统一的开闭环机械递推多体系统动力学的理论、算法和应用问题。围绕多体系统快速高效的递推建模、基于动力学的优化设计与仿真控制，从建模方法的选择比较，链式系统到树形系统、无根树系统、含主被动关节系统的扩展，闭环系统的递推动力学研究，柔性多体系统的递推方法，到软件系统与控制仿真问题详细进行了阐述，旨在发展一种高效率、高精度以及面向实时动力学计算和控制的分析方法。首先比较了空间算子代数方法
3、、铰接体惯量方法和李群李代数方法这三种具有 O(N)计算效率的递推动力学方法，总结了三种反向动力学和正向动力学的核心算法的基本理论原理和递推实现的过程，由此得出旋量表示刚体运动是形成高效递推动力学的基础。这几种方法虽然各自的原理和出发点与形成过程不全一样，但它们最终得到了一致的高效递推的动力学算法。本文将这三种方法加以综合，博采众长，形成了一套高效递推的动力学算法，通过编程计算，并与动力学软件 SimMechanics 的结果相比较，验证了算法的正确性。从递推算法所需的加法和乘法次数上面考察了理论计算量，并且比较了 O(N3)方法与 O(N)方法的实际计算时间。然后在链式系统的基础上，采用低序
4、体阵列将李群李代数表示的递推动力学方法推广到树形系统；研究将无根树系统中加入了五个质量为零的虚拟体和六个虚拟关节，得到了完全递推的无根树系统的动力学算法；提出将递推牛顿欧拉方法进行改进，使其适应于含主被动关节的形式，推导得到了含主被动关节系统的混合递推动力学算法。针对闭环系统的约束问题，提出构造一系列的自然正交补矩阵，将闭环系统的动力学方程有关的广义惯量矩阵表示出来，再对广义惯量矩阵进行递推分解就可以得到递推的动力学方法，从而得到递推的闭环系统的反向动力学和正向动力学递推动力学算法。基于此种动力学方法对六连杆压力机进行了优化设计。其次针对含柔性的多体系统问题，提出将柔性离散为有限段模型和有限元
5、模型，结合前面的递推动力学算法，分别得到了有限段表达的多柔体系统递推动力学模型和有限元模型表示的基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究 II多柔体系统递推动力学模型。针对两类空间可展机构铰链类展开机构和立体展开机构进行了动力学分析。采用有限段方法分析了一三段展开的卫星天线模型，给出了柔性天线的快速仿真结果。研究了基于 Bennett 机构的立体展开机构，提出用动力学的方法研究立体展开机构，分析了立体展开机构的两个基本组成部分平面四杆机构和空间四杆机构的动力学，为立体展开机构的动力学分析打下了基础。最后提出用三个部分来解决多体系统的动力学程序设计与控制仿真问题。Mathematic
6、a 符号分析软件建立系统的符号表达模型，通过 VB.NET 的.NETLINK 实现了与 Mathematica 的无缝连接与用户交互界面。用 Matlab 实现数值软件计算与控制仿真，提出通过自动编程的 C 代码与S-Function 函数实现 Mathematica 与 Matlab 的无缝连接。讨论了基于动力学的控制算法，针对一空间漂浮 Stanford 机器人，比较了 PID 控制方法和力位移混合控制法的仿真结果。关键词：机械多体系统，动力学，递推，李群李代数，闭环，力控制 南京航空航天大学博士学位论文 IIIAbstract With the development of moder
7、n science and technology，engineering objects which composed a large number of objects have emerged.New methods are needed to study various complex mechanical systems,such as vehicles,serial and parallel mechanisms,robots,aviation and space flights.The aim of Multi-body system dynamics is to research
8、 the forward,reverse,and hybrid problems of large-scale systems.It contains the dynamical problems of rigid body mechanics,analytical mechanics,computa-tional mechanics,material mechanics and bio-mechanics.Multi-body system dynamics is oriented to the areas of aerospace engineering,mechanical engine
9、ering and automobile,bionic artificial limbs.It is a high-technology discipline after many years of practical application.A unified recursive multi-body dynamics theory,algorithms and applications of open and closed loop mechanical systems are studied in this paper.It aims at fast and efficient recu
10、rsive modeling,optimization-based design and simulation of dynamic control problems of multi-body systems.It contains the problems of comparing and selecting of modeling method,serial systems expanding to tree topology systems,free flying systems and the systems with active and passive joints,the re
11、cur-sive closed-loop system dynamics and the efficient flexible multi-body dynamics.The software sys-tems and control simulation of such problems are described.First,a detailed comparison between three classic O(N)recursive dynamics methods of spatial op-erator algebra method,articulated body inerti
12、a method and Lie Groups and Lie algebraic method is investigated.From the core algorithm of the basic theory and recursive process of inverse and forward dynamics,it can be concluded that these methods use different principles reaching the formations of efficient recursive dynamics algorithms.Screw
13、theory is the fundamental to form a highly efficient recursive dynamics.Comparing with the results of dynamical software SimMechanics,it can be veri-fied the correctness of the algorithm.The theoretical calculation is studied from the addition and mul-tiplication times required for the recursive alg
14、orithm.The actual computation time are compared be-tween the O(N3)methods and O(N)method.Then on the basis of chain systems,recursive dynamics described of Lie groups and Lie algebras are extended to tree topology systems,free flying systems and the systems with active and passive joints.Based on na
15、tural orthogonal complement and decoupling of natural orthogonal complement,the recursive dynamics for the closed loop systems are discussed.Gaussian elimination method is used to solve the inverse and forward dynamical problems.Dynamics method based on six-bar presses were optimized.基于李群李代数的统一开闭环机械
16、多体系统递推动力学研究 IVThe finite segment and the finite element model are investigated to solve the flexible multi-body system.Combined with recursive dynamics algorithm presented earlier,a recursive finite segment method for flexible multi-body system dynamics is studied.Two types of space deployable mecha
17、-nisms the hinged deployable mechanism and three-dimensional deployable mechanism are analyzed.The deploying process of one satellite antenna model is given.The three-dimensional deployable mechanisms based on Bennett are discussed.Dynamical simulation results of plane four-bar linkage and spatial f
18、our-bar linkage are given.At last,three parts is proposed to solve multi-body system dynamics simulation program design and control problems.Mathematica symbolic analysis software is used to establish the system of sym-bolical model.By NETLINK of VB.NET,the user interface achieves a seamless connect
19、ion with Mathematica.With Matlab,the program to achieve numerical calculation,simulation and control is developed.By automatically programming C code and S-Function,Mathematica and Matlab are con-nected together.Discusses are made to the dynamics-based control algorithm.The simulation results are gi
20、ven comparing the PID control method and force/displacement hybrid control law for a space-floating Stanford robot.Keywords:Mechanical Multi-body Systems,Dynamics,Recursive,Lie Groups and Lie Algebras,Closed Loop,Force Control 基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究 VIII图表目录 图 1.1 多体系统：重型卡车.2 图 1.2 多体系统：人体.2 图 1
21、.3 多体系统：工业机器人.2 图 1.4 多体系统：航天器.3 图 2.1 单个体受力示意.18 图 2.2 李群的基本结构.21 图 2.3 反向动力学方法.25 图 2.4 正向动力学递推方法.27 图 2.5 正向动力学的李群李代数方法与 SIMMECHANICS结果比较.31 图 2.6 O(N3)方法与 O(N)方法的实际计算时间比较.35 图 3.1 树形系统的正向动力学递推示意图.38 图 3.2 树形三连杆系统.39 图 3.3 树形三连杆系统的连杆位置随时间变化图.39 图 3.4 自由漂浮基座空间系统转化为固定基座系统示意图.40 图 3.5 无根树系统的连杆位置随时间变
22、化图.42 图 3.6 无根树系统的连杆速度随时间变化图.43 图 3.7 卫星本体的六维加速度随时间变化图(G=0).43 图 3.8 卫星本体的六维加速度随时间变化图(G=1 M/S2).44 图 3.9 递推牛顿欧拉反向动力学.46 图 3.10 主被动混合递推动力学方法示意图.47 图 3.11 含主被动关节的三连杆.48 图 3.12 含主被动关节的三连杆系统位置仿真图.49 图 3.13 含主被动关节的三连杆系统速度仿真图.49 图 3.14 含主被动关节的三连杆系统杆 1 和杆 3 的加速度仿真图.50 图 3.15 含主被动关节的三连杆系统杆 2 力矩仿真图.50 图 4.1
23、四连杆机构.52 图 4.2 STEWART并联平台的胡克铰.60 图 4.3 曲柄滑块机构与六连杆机构压力机滑块速度曲线的比较.69 图 4.4 六连杆压力机结构简图.70 南京航空航天大学博士学位论文 IX图 4.5 滑块的位置曲线图.70 图 4.6 滑块的速度曲线图.71 图 4.7 滑块的加速度曲线图.71 图 4.8 连杆 2、3 和连杆 3、5 之间的关节受力曲线图.72 图 4.9 连杆 2、3 和连杆 3、5 之间的关节力矩曲线图.72 图 5.1 将梁离散化为焊接、体和铰链的结合.76 图 5.2 梁单元.76 图 5.3 惯性参考系与体参考系中的矢量变形.79 图 5.4
24、 有限段模型作用阶跃载荷响应图.82 图 5.5 有限元模型作用阶跃载荷响应图.83 图 5.6 刚柔耦合四杆机构中连杆 2 和 3 的角度.84 图 5.7 刚柔耦合四杆机构中连杆 2 和 3 的角速度.84 图 5.8 刚柔耦合四杆机构中连杆 2 和 3 的角加速度.85 图 6.1 立体空间可展机构.86 图 6.2 带三段天线的卫星模型.87 图 6.3 天线的位置随时间变化图.87 图 6.4 天线的速度随时间变化图.88 图 6.5 天线的力矩位置随时间变化图.88 图 6.6 BENNETT机构示意图.89 图 6.7 两个相似 BENNETT机构的连接.90 图 6.8 BEN
25、NETT机构的展开过程.90 图 6.9 平面四杆机构的关节 2 和关节 3 的位置仿真图.91 图 6.10 平面四杆机构的关节 2 和关节 3 的角速度仿真图.92 图 6.11 平面四杆机构的关节 2 和关节 3 的角加速度仿真图.92 图 6.12 空间 RSSR 四连杆机构.93 图 6.13 空间 RSSR 四连杆机构的关节 2 和关节 3 的位置仿真图.93 图 6.14 空间 RSSR 四连杆机构的关节 2 和关节 3 的角速度仿真图.94 图 6.15 空间 RSSR 四连杆机构的关节 2 和关节 3 的角加速度仿真图.94 图 7.1 系统动力学分析软件三阶段总体思路流程图
26、.96 图 7.2 VB.NET 与MATHEMATICA的连接机制.97 图 7.3 NAAMBSSYM 符号分析软件系统总体界面.98 图 7.4 NAAMBSSYM 符号分析软件系统程序菜单.98 基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究 X图 7.5 NAAMBSSYM 符号分析软件系统输入界面.99 图 7.6 NAAMBSSYM 符号分析软件系统输出界面.99 图 7.7 MATLAB与 MATHEMATICA的连接总体设计框图.100 图 7.8 S-FUNCTION模块的模型定义.101 图 7.9 S-FUNCTION模块的模型设置.101 图 7.10 S-FU
27、NCTION模块的输入输出设置.102 图 7.11 卫星太阳帆板可视化模型仿真.107 图 7.12 力/位混合控制原理图.110 图 7.13 智能递阶力/位并环控制.110 图 7.14 计算力矩法原理框图.111 图 7.15 PID 控制方法的关节位置变化曲线与期望曲线.112 图 7.16 PID 控制方法的关节速度变化曲线与期望曲线.112 图 7.17 计算力矩方法控制的关节位置变化曲线与期望曲线.113 图 7.18 计算力矩方法控制的关节速度变化曲线与期望曲线.113 图 7.19 多体系统的硬件实现框图.114 表 2.1 三种 O(N)递推算法的符号表示比较表.29 表
28、 2.2 三种 O(N)递推算法的特点比较.30 表 2.3 反向动力学速度、加速度的计算量.31 表 2.4 反向动力学空间力、关节力的计算量.32 表 2.5 正向动力学铰接体惯量的计算量.32 表 2.6 正向动力学零加速度力的计算量.33 表 2.7 正向动力学加速度的计算量.33 表 2.8 正向动力学的总计算量.34 表 2.9 反向动力学计算复杂度比较.34 表 2.10 正向动力学计算复杂度比较.34 表 4.1 六连杆压力机参数.69 表 5.1 刚柔耦合四杆机构参数.83 表 6.1 平面四杆机构参数.91 表 7.1 STANFORD机器人的 DH 参数.111 南京航空
29、航天大学博士学位论文 XI注释表 V 速度旋量 F 力旋量 Ad Lie 群伴随映射 ad Lie 代数伴随映射()O 3S Lie 群的特殊正交群()3so Lie 代数的特殊正交群()3SE Lie 群的特殊欧氏群()3se Lie 代数的特殊欧氏群 iS 连杆i的六维转动关节 iq 连杆i的广义坐标 ia 哥氏力引起的加速度 iq?连杆i的速度 iJ 连杆i的广义惯量矩阵 iM 连杆i关于其质心iC的广义质量 iJ 连杆i的铰接体惯量矩阵 i 关节i的力矩 iB 连杆i的偏置力()u k k连杆的形变空间()k k 柔体模态形变变量 m 与模态有关的量 承诺书 本人声明所呈交的博士学位论
30、文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学博士学位论文 1第一章 绪论 1.1 引言 随着现代科学技术的发展，出现了由大量物体组成的工程对象，如车辆、串并联机构、机械手、航空航天飞行器等，这些以各种各样方式相互联系所组成的复杂机械系
31、统需要新的方法对其进行研究。特别是我国航空航天事业迅速发展，航天器多体系统规模越来越大，自由度越来越多，对应的系统组成结构也变得更加复杂。大规模的、复杂的航天器多体系统建模、分析、仿真与地面实验技术必须向高效率、高精度、自动化和自适应的方向发展。数字计算机的计算能力飞速增长，从而使对复杂系统的大规模计算成为可能。而基于静力学的机械设计方法和基于位置控制的控制策略也需要用动力学方法对其进行进一步研究。因此，从经典力学发展起来的多体系统动力学受到越来越多的关注。多体系统动力学以大规模系统为研究对象，研究其正向、反向和混合问题，综合了刚体力学、分析力学、计算力学、材料力学、生物力学等多学科的成就，因
32、此从理论的层面上讲，多体系统动力学是一般力学学科大体系下的一个重要学科分支。从实践的层面上讲，多体系统动力学又是面向航天工程、机械工程、汽车、仿生假肢等机械工程领域具体对象的需要，经过多年实践应用逐步发展起来的一门古老而又高新的技术学科i。1.2 多体系统动力学研究概况 1.2.1 多体系统 只要机械系统中所包含的部件超过一个，就可以认为其是一个多体系统(multibody system，简称为 MBS)ii,根据北大西洋公约组织在 1993 年召开的高级技术研讨会所作的定义，把多体系统界定为刚性和柔性的多体系统。现在较为公认的定义是：以一定的联接方式互相关联起来的多个物体构成的系统称为多体系
33、统iii。汽车、人体、工业机器人和航天器是最为常见的多体系统，如图 1.2图 1.4 所示。多体系统的主要由下面四个部分组成：1)物体，多体系统中的构件定义为物体。物体区分为刚性体（刚体)和柔性体（柔体)。刚体和柔体是对机构零件的模型化，刚体定义为质点间距离保持不变的质点系，柔体定义为考虑质点间距离变化的质点系。2)铰，也称为运动副，在多体系统中将物体间的运动学约束定义为铰。铰约束是运动学约束的一种物理形式，常用的铰有转动、移动、圆柱、球面和万向节。基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究 2 图 1.1 多体系统：重型卡车 图 1.2 多体系统：人体 图 1.3 多体系统：工业机
34、器人 南京航空航天大学博士学位论文 3 图 1.4 多体系统：航天器 3)力元，在多体系统中物体间的相互作用定义为力元，也称为内力。力元是对系统中弹簧、阻尼器、作动器的抽象。4)拓扑结构，多体系统中各物体的联系方式称为系统的拓扑结构，可以分为链式系统、树形系统和闭环系统。除此之外，对多体系统的研究主要涉及到下面几个问题。物理模型，也称力学模型，由物体、铰、力元和外力等要素组成并具有一定拓扑构型的系统。数学模型，分为静力学数学模型、运动学数学模型和动力学数学模型，是指在相应条件下对系统物理模型(力学模型)的数学描述。自由度，确定一个物体或系统的位置所需要的最少的广义坐标数，称为该物体或系统的自由
35、度。约束，对系统中某构件的运动或构件之间的相对运动所施加的限制称为约束，约束分为运动学约束和驱动约束，运动学约束一般是系统中运动副约束的代数形式，而驱动约束则是施加于构件上或构件之间的附加驱动运动条件。广义坐标，唯一地确定机构所有构件位置和方位即机构构形的任意一组变量，广义坐标可以是独立的（即自由任意地变化)或不独立的（即需要满足约束方程)，对于运动系统来说，广义坐标是时变量。连体坐标系，固定在刚体上并随其运动的坐标系，用以确定刚体的运动，刚体上每一个质点的位置都可由其在连体坐标系中的不变矢量来确定iv。对多体系统的研究主要是研究其运动学和动力学v。运动学是研究组成机构的相互联接的构件系统的位
36、置、速度和加速度，其与产生运动的力无关，运动学数学模型是非线性和线性的代数方程。动力学分为反向动力学、正向动力学和混合问题。正向动力学是研究外力(偶)作用下机构的动力学响应，包括构件系统的加速度、速度和位置，以及运动过程中的约束反力,正向动力学问题是已知系统构型、外力和初始条件求运动,其数学模型是微分方程或微分方程和代基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究 4数方程的混合；与正向动力学相对应，反向动力学问题是已知系统构型和运动求反力，也称为动力学逆问题，反向动力学分析是运动学分析与动力学分析的混合，是寻求运动学上确定系统的反力问题；混合问题是对正反向动力学问题的综合，可以用来求解
37、含主动和被动关节的冗余自由度系统问题。1.2.2 多体系统动力学 十八世纪 50 年代 Euler 提出三个欧拉角，并导出了著名的运动学和动力学方程，奠定了单刚体定点转动的理论基础vi。此后的一段时间，动力学的研究主要围绕着单刚体。二十世纪 60年代开始的航天器、70 年代开始的机构、80 年代开始的机器人以及 90 年代开始的柔体系统的研究，使得科学工作者不得不面对古典刚体力学的理论无法解决的系统分析计算问题。1965 年Hooker 与 Margulies 发表了“The Dynamical Attitude Equation for a n-Body Satellite”vii，1967
38、 年Roberson 与 Wittenburg 发表了“A Dynamical Formalism for an Arbitrary Number of Interconnected Rigid Bodies,with reference to the Satellite Attitude Control”viii这两篇文章，从此以后多体系统动力学的研究工作得到越来越多的关注ix。著名学者 Huston 认为x：“多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。最活跃的一些子领域是：模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实
39、际应用。这些领域里的每一个都充满着研究机遇”。经历三十多年的发展，多体系统动力学形成了多种分析和建模的方法，开始是采用经典的力学方法，即以牛顿-欧拉方法为代表的矢量力学方法xixiixiiixivxv和以拉格朗日方程为代表的分析力学方法xvixviixviii。这种方法对于单刚体或者少数几个刚体组成的系统是方便可行的，但随着刚体数目的增加，方程的复杂度呈指数方式增长，寻求其解析解几乎成为了不可能。后来由于计算机数值计算方法的出现，使得面向具体问题的程序数值方法成为求解复杂问题的一条可行道路，即针对具体的多刚体问题列出其数学方程，再编制数值计算程序进行求解。对于每一个具体的问题都要编制相应的程序
40、进行求解，虽然可以得到合理的结果，但是这个过程长期的重复是让人不可接受的，于是寻求一种适合计算机操作的程式化的建模和求解方法变得迫切需要了。在这个时候，也就是 20 世纪 60 年代初期，在航天领域和机械领域，分别展开了对于多刚体系统动力学的研究，并且形成了不同派别的研究方法。最具代表性的几种方法是罗伯森-维滕堡（Roberson-Wittenburg）方法、凯恩（Kane）方法、旋量方法和变分方法等。罗伯森与维滕堡提出一种分析多刚体系统的普遍性方法，简称为 R/W 方法，是多体系统的第一个通用分析方法，1977 年罗伯森与维滕堡的著作多刚体系统动力学xix的出版，是多体系统动力学的第一本专著
41、。R/W 方法是一种通用的方法，可以处理一般形式的多刚体问题。南京航空航天大学博士学位论文 5这种方法的主要特点是引入了图论的概念及数学工具描述多刚体系统的拓扑结构，以邻接刚体之间的相对位移作为广义坐标，导出适合于任意多刚体系统的普遍形式动力学方程，并利用增广体概念对方程的系数矩阵作出物理解释。凯恩方法xx是在 1965 年左右形成的分析复杂系统的一种方法，其利用广义速率代替广义坐标描述系统的运动，直接利用达朗伯原理建立动力学方程，并将矢量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定的基矢量方向投影以消除理想约束力，兼有矢量力学和分析力学的特点，既适用完整系统，也适用于非完整系统。旋量方法xxixxii是
42、一种特殊的矢量力学方法（或牛顿-欧拉方法，简称为 N/E 方法），其特点是将矢量与矢量矩合为一体，采用旋量的概念，利用对偶数作为数学工具，使 N/E 方程具有极其简明的表达形式，在开链和闭链空间机构的运动学和动力学分析得到广泛运用xxiii。变分方法xxiv是不同于矢量力学或分析力学的另一类分析方法，高斯最小约束原理是变分方法的基本原理，这种方法的优点是可以避免求解微分方程组，同时有利于结合控制系统的优化进行综合分析。而且由于其不受铰约束的数目的影响，适用于带多个闭环的复杂系统。以上述方法为代表的那些多体系统动力学的研究方法可以归纳为两大类流派：1）基于直观几何描述的的矢量力学；2）基于变分原
43、理的分析力学。实际上，不同流派并非简单的非此即彼，而是两者兼顾，左右逢源的，例如凯恩方程兼有矢量力学和分析力学的优点。1.2.3 递推多体系统动力学 对于多体系统，牛顿-欧拉方法，拉格朗日方程，罗伯森-维滕堡（Roberson-Wittenburg）方法、凯恩（Kane）方法、旋量方法和变分方法等等研究方法，在物理上当然是完全等价的，这些方法是多年来，一代又一代的科学家和大量研究人员通过艰苦努力，不断总结和提炼，根据他们不同角度、不同层次的各自的认识理解，针对力学系统和多体系统这类复杂对象所获得的若干不同形式的表达方式，经过长期考验表明它们全都是正确的，然而依据各种建模方法所设计的算法的计算效
44、率并不相同。目前在许多机器人著作中，采用拉格朗日力学得到的动力学方程是相当复杂的，因为要建立动能函数，并进一步对该函数关于坐标、坐标导数和时间求导，这种过程效率低下，容易出错，采用拉格朗日力学的动力学方程的算法的复杂度为 O(N4)xxv，N 代表系统的自由度，即算法的计算量与系统的自由度的四次方成正比，从计算的角度看，效率较低。因此，许多商业化多体系统软件大多采用矢量力学方法建模，但是基于矢量力学的算法计算效率也不高，相应的算法为 O(N3)量级，这对于大型、复杂、多自由度的机械多体系统十分不利。凯恩力学兼有矢量力学和分析力学的优点，Huston 方法是凯恩方法一种的一种具体计算机程序实现，
45、由于基于凯恩力学的多体系统 Huston 方法实现了偏（角）速度对于低序体的递推运算，其动力学算法大基于李群李代数的统一开闭环机械多体系统递推动力学研究 6约为 O(N2)量级。尽管在建模过程中，研究人员不懈的追求高效率算法，但实际尚未达到预期的目的，目前市场上的商业软件由于算法颇为复杂，初期投入很大，价格昂贵，进一步加剧了多体系统“曲高和寡”的状态，对研究和应用造成了不应有的限制。大规模系统的迅速发展和基于动力学的实时控制需要动力学的计算效率大幅提高，而递推动力学的发展，正是基于这一需要而研究得到的高效率算法，基于递推算法的动力学计算量为O(N)xxvi。对于反向动力学问题，首先研究出的 O
46、(N)算法是 Newton-Eulerxxvii(简称为 NE)公式。Stepanenko 与 Vukobratovicxxviii针对人体结构的动力学，研究了递推的 NE 方法，Orinxxix等人针对行走机器人的一条腿的实时控制，通过在局部链参考系中研究力和动量，使得递推的方法更加高效。Luh,Walker 与 Paulxxx通过在体参考系中考虑大部分量，研究出一种非常高效的递推 NE 算法(Recursive Newton-Euler Algorithm，简称为 RNEA)，这个方法的应用最多。Hollerbachxxxi研究了一种 O(N)递推的 Lagrange 公式，但是这个方法比
47、 RNEA 方法的效率低。近几年在算法的效率方面有了进一步的发展，Balafoutisxxxii等人的结果与 He、Goldenbergxxxiii的结果是其中比较具有代表性的，对于 6 个自由度的机器人，他们将早期 RNEA 方法的执行速度提高了 1.7 倍。Walker 与 Orin 的反向动力学 RNEAxxxiv是正向动力学算法的基础，其方法 3复合刚体算法(Composite Rigid Body Algorithm)，计算机械手末端的外部的复合刚体的惯量。惯量矩阵的列是通过将反向动力学中的关节速度和关节加速度设置为零或单位矢量，从而高效计算得到。这就意味着在运动的某一时刻只有一个关
48、节是动的，反向动力学问题简化为对一组基于基座的系统静平衡的分析与系统末端的外部的复合刚体的运动分析。由于需要求解线性系统的方程的数目随着 N 增长，该算法的计算量是 O(N3)。对于 N 较小的情况，计算主要是由一阶项决定，其结果的效率也是很高的。最早的已知的正向动力学 O(N)算法是由 Vereshchaginxxxv提出的，这个算法用一个递推公式对 Gibbs-Appel 形式的运动学方程求解，可以应用于转动或移动关节的非分支链式系统，其递 推 算 法 是 通 过 动 态 的 编 程 方 法 得 到。Featherstone 研 究 出 了 铰 接 体 惯 量 算 法xxxvixxxvii
49、xxxviii(Articulated Body Algorithm，简称为 ABA)，当 N9 时，ABA 比 CRBA 的计算效率高。Brandl 等人xxxix也用与 Featherstone 相似的高效转换和体坐标系的方法，使 ABA 算法更进一步，在 N=6 的时候 ABA 算法与 CRBA 的效率几乎相等。Featherstone 还进一步提出了一种计算量仅为 O(log(n)的动力学算法xlxli，利用并行计算提高了计算效率。CRBA 的计算效率与关节空间惯量矩阵的计算效率有关，Featherstone 用高效的坐标变换和体坐标系使得惯量矩阵的计算量减少了 30。Lilly 与
50、Orinxlii研究了四种计算惯量矩阵的方法，其修正的复合刚体方法计算雅可比矩阵，这个方法在计算操作空间惯量矩阵的效率很高。Khatibxliii得到了一个机器人动力学的操作空间公式，方程是坐标系表示的，所用的坐标系南京航空航天大学博士学位论文 7与机器人命令中用的一样，即 Cartesian 坐标系与末端执行器的方向，这个公式在力/位移控制相关的应用场合特别成功。Bayo与Jalonxlivxlvxlvi提出用完全笛卡尔坐标方法(或称为自然坐标方法)标描述多体系统的运动学和动力学，这是另一种形式的最大数目坐标方法，由于在提高计算效率方面的突出优点而受到注意。这种方法的特点是利用与刚体固结的若