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1、第十三章 轴对称,13.1.2 线段的垂直平分线的性质,【学习目标】,1、掌握线段的垂直平分线的概念及性质。2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。3、能用尺规作已知线段的垂直平分线,【课前预习】,1已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等A1个B2个C3个D4个2下列说法错误的是（）A三角形的三条高的交点一定在三角形内部B三角形的三条中线的交点一定在三角形内部C三
2、角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部D三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部3直线l是线段AB的垂直平分线，点M，N是直线l上的两个点，若NBA=15，MBA=45，则MAN等于（ ）A15B30C60D30或604下列结论正确的个数有（ ）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；三角形三边的垂直平分线相交于一点；有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；三角形三个内角的角平分线有可能相交于三角形的外部A0个B1个C2个D3个5已知ABC，找一个点P使PA=PB=PC，则这个点应该是这个三角形（ ）A三边中线的交点B三内角平分线的交点C三条高线的交点D三边中垂线的交
3、点,【课前预习】答案,1A 2A 3D 4C 5D,如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形.,折痕所在的这条直线叫做_.,对称轴,折叠,互相重合,复习回顾,把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够 ,那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 .,A,A,B,C,B,C,折叠,与另一个图形重合,对称点,你能用不同的方法验证这一结论吗？,探索并证明线段垂直平分线的性质,如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系,相等,请在图中
4、的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB,证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,证明：lAB， PCA =PCB又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB,线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,用几何语言表示为： CA =CB，lAB 或 点P在线段AB的垂直平分线上 PA =PB PA =PB,解： AB =AC =CE , AB +BD =DE . AD
5、BC，BD =DC AB =AC 点C 在AE 的垂直平分线上 AC =CE AB =AC =CE,例题,例1 如图，ADBC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？,AB =CE，BD =DCAB +BD =CD +CE 即AB +BD =DE ,例2 如图，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.,探索并证明线段垂直平分线的判定,反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？,点P 在线段AB 的垂直平分线上,已知：如图，PA
6、=PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上,证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C则PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中，PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又 PCAB， 点P 在线段AB 的垂直平分线上,线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,用数学符号表示为：PA =PB，点P 在AB 的垂直平分线上,这些点能组成什么几何图形？,你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？,在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反
7、过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合,解：直线AM 是线段BC 的垂直平分线.AB =AC，点A 在BC 的垂直平分线上MB =MC， 点M 在BC 的垂直平分线上直线AM 是线段BC 的垂直 平分线,例3如图，AB =AC，MB =MC直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？,例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.,已知：直线AB和AB外一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.,探索经过已知直线外一点作这条直线的垂线,A,B,C,作法：（1）任意取一点K ，使点K和点C 在AB 的两旁.,（3）分别以点D和点
8、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F .,（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E .,（4）作直线CF.,直线CF 就是所求作的垂线.,如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？,如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴,如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,A,B,不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？,有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？,尺规作图
9、,如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？,分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.,如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？,作法：,（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.,（2）作直线CD. CD即为所求.,特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.,例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车
10、站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,A,B,分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.,课堂小结,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,作用,见垂直平分线，得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线的有关作图,尺规作图,作对称轴的常见方法,属于基本作图之一，必须熟熟练掌握,(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后
11、作垂线,【课后练习】,1下列定理中，没有逆定理的是（ ）A同角的余角相等 B等腰三角形两个底角相等C线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D两直线平行，同旁内角互补2下列说法错误的是（ ）AE,D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线3下列说法中，不正确的有（ ）不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；到三角形三边距离相等的点有1个线段中垂线上的点到线
12、段两端点的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的点有1个A0个B1个C2个D3个4下列命题是假命题的是（ ）A三角形的外角和是360 B线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 D有两边和一个角对应相等的两个三角形全等5在下列命题中，真命题是（ ）A同位角相等 B到线段距离相等的点在线段垂直平分线上C三角形的外角和是360 D角平分线上的点到角的两边相等,6AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若AOB=45，则MON的面积为_7在ABC中，ABC45，AB2，AB边的垂直平分线交AB于D，交直线BC于点E，若CE1，则线段DC的长为_8已知，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交直线BC于点D当BAC40时，则CAD的度数为_9已知点P在线段AB的垂直平分线上，连接PA、PB，若PA=3，则PB=_10O点是ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是ABC、ACB的平分线的交点，若3BOC2BPC，则BAC_,【课后练习】答案,1A 2D 3C 4D 5C6 25 2 71或 5 830931036或( 900 7 ),