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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数关于多项式矩阵北京理工大学高数教研室*现在学习的是第1页，共67页设设 为一个为一个 阶矩阵，阶矩阵，为其为其Jordan标准形，则标准形，则于是有于是有现在学习的是第2页，共67页我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵多项式矩阵多项式 的的Jordan表表示示。其中。其中现在学习的是第3页，共67页例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵现在学习的是第4页，共67页求求 。解：解：首先求出矩阵的首先求出矩阵的 的的Jordan标准形标准形 及其相似变换及其相似变换矩阵矩阵那么有那么有现在学习的是第5页，共67页现在学习的是第6页，共67页定义：定义：已
2、知已知 和关于变量和关于变量 的多项式的多项式如果如果 满足满足 ，那么称，那么称为矩阵为矩阵 的一个的一个零化多项式零化多项式。现在学习的是第7页，共67页定理：定理：已知已知 ，为其特征多项式为其特征多项式,则有则有我们称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。定义：定义：已知已知 ，在，在 的零化多项式中，次的零化多项式中，次数最低且首项系数为数最低且首项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 的的最小最小多项式多项式，通常记为，通常记为 。最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那么（1）矩阵）矩阵 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。（2
3、）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被现在学习的是第8页，共67页整除。整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。）相似矩阵有相同的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。标准形矩阵的最小多项式。例例1：已知一个已知一个Jordan块块现在学习的是第9页，共67页求其最小多项式。求其最小多项式。解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为 ,则由上面的定理可知其最小多项式则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状一定具有如下形状 其中其中 。但。但是当是当 时时 现在学习的是第
4、10页，共67页因此有因此有 .例例2：已知对角块矩阵已知对角块矩阵 ,而而 分别为子块分别为子块的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小多项式为的最小多项式为即为即为 的最小公倍数。的最小公倍数。例例3：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式现在学习的是第11页，共67页解：解：（1）首先求出其）首先求出其Jordan标准形为标准形为所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）此矩阵的）此矩阵的Jordan标准形为标准形为现在学习的是第12页，共67页从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。（3）该矩阵的）该矩阵的Jordan标准形为标准形为现在学习的是第13页，共67页故其最小多项
5、式为故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以标准形，所以其最小多项式其最小多项式 。矩阵函数及其计算矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义定义：设设 ，为为 的的 个个互不相同的特征值，互不相同的特征值，为其最小多项式且有为其最小多项式且有现在学习的是第14页，共67页其中其中 如果函数如果函数 具有足够高阶的导数并且下列具有足够高阶的导数并且下列 个个值值存在，则称函数存在，则称函数 在矩阵在矩阵 的的谱谱上有定义。上有定义。例：例：设设现在学习的是第15页，共67页又已知又已知容易求得矩阵容易求得矩阵 的
6、最小多项式为的最小多项式为并且并且现在学习的是第16页，共67页所以所以 在在 的谱上有定义。但是如果取的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为显然显然 不存在，所以在不存在，所以在 的谱上无定义。的谱上无定义。考虑下面两个问题：考虑下面两个问题：现在学习的是第17页，共67页（1）设）设 ，如果，如果 有定义，那么有定义，那么 是否也有定义？是否也有定义？（2）设）设 且且 可逆，如果可逆，如果 有定义，有定义，那么那么 是否也有定义？是否也有定义？如果上述说法正确，请予以证明；如果上述如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。
7、说法不正确，请举反例加以说明。定义：定义：设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为现在学习的是第18页，共67页函数函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定义，如果存在的谱上有定义，如果存在多项式多项式 且满足且满足则定义则定义矩阵函数矩阵函数为为如何求矩阵函数？矩阵函数的如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多表示，多项式表示与幂级数表示项式表示与幂级数表示定理定理：设设 ，为矩阵为矩阵 的的Jordan标标准形，准形，为其相似变换矩阵且使得为其相似变换矩阵且使得现在学习的是第19页，共67页 ，如果函数，如果函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定义，的谱上有定义，那么那么其中其中现在学习的是第20页
8、，共67页例例1：设设求求 的的Jordan表示并计算表示并计算 .解：解：首先求出其首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相似变与相似变换矩阵换矩阵 .我们称此表达式为我们称此表达式为矩阵函数矩阵函数 的的Jordan表表示。示。现在学习的是第21页，共67页从而从而 的的Jordan表示为表示为现在学习的是第22页，共67页当当 时，可得时，可得 ,于是有于是有当当 时，可得时，可得 ,从而有从而有现在学习的是第23页，共67页当当 时，可得时，可得同样可得同样可得现在学习的是第24页，共67页例例2：设设求求 的的Jordan表示并计算表示并计算解：解：首先求出其首先求出其Jor
9、dan标准形矩阵标准形矩阵 与相似变与相似变换矩阵换矩阵现在学习的是第25页，共67页从而从而 的的Jordan表示为表示为现在学习的是第26页，共67页当当 时，可得时，可得现在学习的是第27页，共67页于是有于是有当当 时，可得时，可得故故现在学习的是第28页，共67页类似可求得类似可求得现在学习的是第29页，共67页矩阵函数的多项式表示矩阵函数的多项式表示定理：定理：设函数设函数 与函数与函数 在矩阵在矩阵 的谱上的谱上都有定义，那么都有定义，那么 的充分必要条件是的充分必要条件是 与与 在在 的谱上的值完全相同。的谱上的值完全相同。设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为其中其中 为
10、矩阵为矩阵 的的 个互异特征值个互异特征值且且现在学习的是第30页，共67页 如何寻找多项式如何寻找多项式 使得使得 与所求的与所求的矩阵函数矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为有一个次数为 次的多项式次的多项式且满足条件且满足条件现在学习的是第31页，共67页这样，多项式这样，多项式中的系数中的系数 完全可以通过关完全可以通过关系式系式确定出来。则我们称确定出来。则我们称为为矩阵函数矩阵函数 的多项式表示。的多项式表示。现在学习的是第32页，共67页例例1：设设求求 的
11、多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为现在学习的是第33页，共67页这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2 的的多项式多项式且满足且满足于是可得于是可得现在学习的是第34页，共67页解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为现在学习的是第35页，共67页当当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得现在学习的是第36页，共67页故有故有类似地有类似地有现在学习的是第37页，共67页例例2：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解解：容易观察出该矩阵的最小多项式为：容
12、易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2现在学习的是第38页，共67页的多项式的多项式且满足且满足于是有于是有现在学习的是第39页，共67页解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为现在学习的是第40页，共67页当当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得现在学习的是第41页，共67页故有故有类似地有类似地有现在学习的是第42页，共67页例例3：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个这是一个2次多项式，从而存在一个次数为次多项式，
13、从而存在一个次数为1 的的多项式多项式现在学习的是第43页，共67页且满足且满足于是有于是有解得解得现在学习的是第44页，共67页所以其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得从而可得从而可得 现在学习的是第45页，共67页当当 时，可得时，可得故有故有现在学习的是第46页，共67页同样可以得到同样可以得到练习练习：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算现在学习的是第47页，共67页矩阵函数的幂级数表示矩阵函数的幂级数表示定义：定义：设设 ，一元函数，一元函数 能够展开成关能够展开成关于于 的幂级数的幂级数并且该幂级数地收敛半径为并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵。当矩
14、阵 的谱的谱半径半径 时，我们将收敛矩阵幂级数时，我们将收敛矩阵幂级数现在学习的是第48页，共67页的和定义为矩阵函数，一般记为的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即，即因为当因为当 时，有时，有现在学习的是第49页，共67页现在学习的是第50页，共67页当当 时，有时，有当当 时，有时，有所以对于任意的矩阵所以对于任意的矩阵 ，当，当现在学习的是第51页，共67页时，我们有时，我们有现在学习的是第52页，共67页现在学习的是第53页，共67页由此可以得到一些简单的推论：由此可以得到一些简单的推论：现在学习的是第54页，共67页现在学习的是第55页，共67页 矩阵指数函数与矩阵三角函数矩阵指数函数
15、与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即现在学习的是第56页，共67页定理定理：设设 ，那么当，那么当 时，时，我们有我们有证明证明：首先证明第一个等式：首先证明第一个等式现在学习的是第57页，共67页现在学习的是第58页，共67页现在证明第二个等式现在证明第二个等式现在学习的是第59页，共67页同样可以证明其余的结论。同样可以证明其余的结论。注意：注意：这里矩阵这里矩阵 与与 的交换性条件是必不的交换性条件是必不可少的。可少的。例例：设设那么容易计算那么容易计算现在学习的是第60页，共67页并且并且于是有于是有现在学习的是第61页，共
16、67页故有故有显然显然 三者互不相等。三者互不相等。现在学习的是第62页，共67页另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。下面几个特殊性质。现在学习的是第63页，共67页例例：设设 是一个是一个Hermite 矩阵，那么矩阵，那么 是一是一个酉矩阵。个酉矩阵。证明：由矩阵指数函数公式证明：由矩阵指数函数公式可得可得现在学习的是第64页，共67页这表明这表明 为一个酉矩阵。为一个酉矩阵。例例：设设 是一个实的反对称矩阵（或反是一个实的反对称矩阵（或反-H阵阵），那么），那么 为一个正交矩阵为一个正交矩阵(或酉矩阵或酉矩阵)。证明：证明：设设 为一个实的反对称矩阵，那么由为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示矩阵指数函数的幂级数表示可得可得现在学习的是第65页，共67页同样可以证明当同样可以证明当 为一个反为一个反H-矩阵时，矩阵时，为一个为一个酉矩阵。酉矩阵。现在学习的是第66页，共67页第一章第一章 第一节第一节 函数函数感谢大家观看现在学习的是第67页，共67页