多项式矩阵讲稿.ppt

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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数关于多项式矩阵北京理工大学高数教研室*第一页，讲稿共六十七页哦设设 为一个为一个 阶矩阵，阶矩阵，为其为其Jordan标准形，则标准形，则于是有于是有nAJ111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP11101111110111101112()()()()()()(),(),()nnnnnnnnnnnnrfAa AaAa Aa IaPJPaPJPaPJPa IP a JaJa Ja I PPfJPPdiagfJfJfJP第二页，讲稿共六十七页哦1()(1,2,)1iiiiiiiddJir111111()iiii

2、dk dkkikikikkiiikkikid dccJc 我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵多项式矩阵多项式 的的Jordan表表示示。其中。其中()f A第三页，讲稿共六十七页哦(1)1()()()(1)!()()()()iiidiiiiiiiid dfffdff Jff例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵43()21f xxxx第四页，讲稿共六十七页哦308316205A求求 。解：解：首先求出矩阵的首先求出矩阵的 的的Jordan标准形标准形 及其相似变换及其相似变换矩阵矩阵()f AAJP100011001J041130020P130121002102P那么有那么有第五页，

3、讲稿共六十七页哦1()()3012041(1)0011300(1)(1)00202000(1)102(1)4(1)08(1)3(1)(1)6(1)2(1)0(1)4(1)f APf J Pfffffffffffff第六页，讲稿共六十七页哦350722715418037 定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多项式的多项式如果如果 满足满足 ，那么称，那么称为矩阵为矩阵 的一个的一个零化多项式零化多项式。1110()nnnnf xa xaxa xan nACx()f x()n nf AO()f xA第七页，讲稿共六十七页哦定理：定理：已知已知 ，为其特征多项式为其特征多项式,则有则有我们

4、称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。定义：定义：已知已知 ，在，在 的零化多项式中，的零化多项式中，次数最低且首项系数为次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 的的最最小多项式小多项式，通常记为，通常记为 。最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那么（1）矩阵）矩阵 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被n nAC()f()n nf AOAA()mn nACn nACA()m第八页，讲稿共六十七页哦整除。整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。）相似矩阵有相同的

5、最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。标准形矩阵的最小多项式。例例1：已知一个已知一个Jordan块块11iiiiiiddJ第九页，讲稿共六十七页哦求其最小多项式。求其最小多项式。解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为 ,则由上面的定理可知其最小多项式则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状一定具有如下形状 其中其中 。但。但是当是当 时时()()idif()m()()kim1ikdikd()()001000010000iikiiiddmJJIO第十页，讲稿共六十七页哦因此有因此有 .例例2

6、：已知对角块矩阵已知对角块矩阵 ,而而 分别为子块分别为子块的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小多项式为的最小多项式为即为即为 的最小公倍数。的最小公倍数。()()idim12=diag(,)rAA AA12(),(),()rmmm12,rA AAA12(),(),()rmmm12(),(),()rmmm例例3：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式308(1)316205A232(2)1822143B第十一页，讲稿共六十七页哦100011001J解：解：（1）首先求出其）首先求出其Jordan标准形为标准形为所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）此矩阵的）此矩阵的Jorda

7、n标准形为标准形为2(1)126(3)103114C 31000300(4)00300005D第十二页，讲稿共六十七页哦100031003J从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。（3）该矩阵的）该矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)(3)100011001J第十三页，讲稿共六十七页哦故其最小多项式为故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以标准形，所以其最小多项式其最小多项式 。矩阵函数及其计算矩阵函数及其计算定义定义：设设 ，为为 的的 个互不相同的特征值，个互不相同的特征值，为其最小多项为其最小多项式且有式且有2(1)2(5)(3)n

8、nAC12,r r()mA1212()()()()rdddrm第十四页，讲稿共六十七页哦其中其中 如果函数如果函数 具有足够高阶的导数并且下列具有足够高阶的导数并且下列 个值个值存在，则称函数存在，则称函数 在矩阵在矩阵 的的谱谱上有定义上有定义。例：例：设设11(1,2,),riiidirdm()f x(1)(),(),(),1,2,idiiifffir()f xAm1()(3)(4)f xxx第十五页，讲稿共六十七页哦又已知又已知容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为并且并且836320422AA2()(2)(1)m511(2),(1),(1)2636fff第十六页，讲稿共

9、六十七页哦所以所以 在在 的谱上有定义。但是如果取的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为显然显然 不存在，所以在不存在，所以在 的谱上无定义。的谱上无定义。()f xA310030001BB2()(1)(3)m(3)fB第十七页，讲稿共六十七页哦（1）设）设 ，如果，如果 有定义，那有定义，那么么 是否也有定义？是否也有定义？（2）设）设 且且 可逆，如果可逆，如果 有定有定义，那么义，那么 是否也有定义？是否也有定义？如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。法不正确，请举反例加以说明。

10、定义：定义：设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为An nAC()f A()Tf An nAC()f A1()f An nAC1212()()()()rdddrm第十八页，讲稿共六十七页哦函数函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定义，如果存的谱上有定义，如果存在多项式在多项式 且满足且满足则定义则定义矩阵函数矩阵函数为为定理定理：设设 ，为矩阵为矩阵 的的Jordan标准形，标准形，为其相似变换矩阵且使得为其相似变换矩阵且使得()f xA()g x()()()(),1,2,;1,2,1kkiiifgirkd()()f Ag An nACJAP第十九页，讲稿共六十七页哦A1APJP ，如果函数，如果

11、函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定的谱上有定义，那么义，那么其中其中()f x1112()()(),(),()rf APf J PPdiag f Jf Jf JP(1)11()()()()2!(1)!()()1()2!()()iiidiiiiiiiiiid dffffdff Jfff 第二十页，讲稿共六十七页哦例例1：设设求求 的的Jordan表示并计算表示并计算 .解：解：首先求出其首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相似变换与相似变换矩阵矩阵 .126103114A()f A,sinAtAeeAJP我们称此表达式为我们称此表达式为矩阵函数矩阵函数 的的Jordan表示表示。()f A

12、第二十一页，讲稿共六十七页哦100011001J122110011P从而从而 的的Jordan表示为表示为()f A1()()122(1)001021100(1)(1)11201100(1)113(1)2(1)2(1)6(1)(1)(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)fAPf J Pffffffffffffffff 第二十二页，讲稿共六十七页哦当当 时，可得时，可得 ,于是有于是有()txf xe(1),(1)ttfefte26034Aeeeeeeeee(12)26(1)3(13)ttttAttttttt eteteetet etetetet e当当 时，可得时，可得 ,从而有从而有

13、()xf xe(1),(1)fe fe第二十三页，讲稿共六十七页哦当当 时，可得时，可得同样可得同样可得()f xsinx(1)1,(1)1fsinfcos12121611113111131sincoscosCossinAcossincoscoscoscossincos第二十四页，讲稿共六十七页哦例例2：设设求求 的的Jordan表示并计算表示并计算解：解：首先求出其首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相似变与相似变换矩阵换矩阵308316205A()f A,in,cos2tAesAAJP第二十五页，讲稿共六十七页哦100011001J041130020P从而从而 的的Jordan表

14、示为表示为()f A第二十六页，讲稿共六十七页哦1()()3012041(1)0011300(1)(1)00202000(1)102(1)4(1)08(1)3(1)(1)6(1)2(1)0(1)4(1)f APf J Pfffffffffffff当当 时，可得时，可得()txf xe(1),(1)ttfefte第二十七页，讲稿共六十七页哦40836204ttttAttttteteteeteetetete于是有于是有当当 时，可得时，可得故故()f xsin x(1)0,(1)ff 第二十八页，讲稿共六十七页哦408306204sin A 类似可求得类似可求得2043cos032202A第二十九

15、页，讲稿共六十七页哦定理：定理：设函数设函数 与函数与函数 在矩阵在矩阵 的的谱上都有定义，那么谱上都有定义，那么 的充分的充分必要条件是必要条件是 与与 在在 的谱上的值的谱上的值完全相同。完全相同。设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为其中其中 为矩阵为矩阵 的的 个互异特个互异特征值且征值且()f x()g xA()f x()()f Ag A()f x()g xAn nAC1212()()()()rdddrm12,r rA第三十页，讲稿共六十七页哦 如何寻找多项式如何寻找多项式 使得使得 与所求与所求的矩阵函数的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中完全相同？根据计算方法中的的Hermi

16、te插值多项式定理可知，在众多的多项插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为式中有一个次数为 次的多项式次的多项式且满足条件且满足条件11(1,2,),riiidirdm()p x()p A()f A1m121210()mmmmp xaxaxa xa()()()(),1,2,;1,2,1kkiiipfirkd第三十一页，讲稿共六十七页哦这样，多项式这样，多项式中的系数中的系数 完全可以通过关完全可以通过关系式系式确定出来。则我们称确定出来。则我们称为为矩阵函数矩阵函数 的多项式表示。的多项式表示。121210()mmmmp xaxaxa xa1210,mmaaa a()()()(),1

17、,2,;1,2,1kkiiipfirkd121210()mmmmf AaAaAa Aa I()f A第三十二页，讲稿共六十七页哦例例1：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为100020003A,in,cos44tAesAA()(1)(2)(3)m xxxx()f A第三十三页，讲稿共六十七页哦这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2 的的多项式多项式且满足且满足于是可得于是可得2210()p xa xa xa(1)(1),(2)(2),(3)(3)pfpfpf210210210

18、(1)(2)42(3)93faaafaaafaaa第三十四页，讲稿共六十七页哦解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为012(3)3(2)3(1)1(3(3)8(2)5(1)21(3)2(2)(1)2afffafffafff 2210(1)00()0(2)000(3)ff Aa Aa Aa Iff第三十五页，讲稿共六十七页哦当当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得()txf xe23(1),(2),(3)tttfefefe23000000ttAtteeee()4f xsinx22(1),(2)1,(3)22fff第三十六页，讲稿共六十七页哦故有故有类似地有类似地有2002s

19、in01042002A2002cos00042002A第三十七页，讲稿共六十七页哦例例2：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解解：容易观察出该矩阵的最小多项式为：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2100021002A()f A,in,cos4tAesAA2()(1)(2)m xxx第三十八页，讲稿共六十七页哦的多项式的多项式且满足且满足于是有于是有2210()p xa xa xa(1)(1),(2)(2),(2)(2)pfpfpf21021021(1)(2)42(2)4faaafaaafaa第三十九页，讲稿

20、共六十七页哦0122(2)3(2)4(1)3(2)4(2)4(1)(2)(2)(1)afffafffafff 解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为2210(1)00()0(2)(2)00(2)ff Aa Aa Aa Ifff第四十页，讲稿共六十七页哦当当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得()txf xe22(1),(2),(2)tttfefefte22200000ttAttteeetee()f xsin x(1)0,(2)0,(2)fff第四十一页，讲稿共六十七页哦故有故有类似地有类似地有000sin00000A2002cos0044000A第四十二页，讲稿共六十七页

21、哦例例3：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个这是一个2次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为1 的多的多项式项式200010001A()f A()(1)(2)m xxx,in,cos22tAesAA第四十三页，讲稿共六十七页哦10()p xa xa且满足且满足于是有于是有解得解得(1)(1),(2)(2)pfpf1010(1)(2)2faafaa01(2)2(1)(2)(1)affaff 第四十四页，讲稿共六十七页哦所以其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得从而可得从而

22、可得 10()2(1)(2)02(2)2(1)0(1)0(2)(1)02(2)(1)f Aa Aa Ifffffffff()txf xe2(1),(2)ttfefe第四十五页，讲稿共六十七页哦222220220002tttttAttttteeeeeeeeee当当 时，可得时，可得故有故有()2f xsinx(1)1,(2)0ff202sin0102101A第四十六页，讲稿共六十七页哦同样可以得到同样可以得到练习练习：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算102s0002102coA110011001A()f A第四十七页，讲稿共六十七页哦,in,cos4tAesAA定义：定义：设设

23、 ，一元函数，一元函数 能够展开成关能够展开成关于于 的幂级数的幂级数并且该幂级数地收敛半径为并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵。当矩阵 的的谱半径谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数时，我们将收敛矩阵幂级数n nAC()f xx0()kkkf xc xRA()AR第四十八页，讲稿共六十七页哦0kkkc x的和定义为矩阵函数，一般记为的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即，即因为当因为当 时，有时，有()f A0()kkkf Ac Ax 21112!xnexxxn 第四十九页，讲稿共六十七页哦352111in3!5!1(1)(21)!nnsxxxxxn 2421112!4!1(1)(2)!nncosx

24、xxxn 第五十页，讲稿共六十七页哦当当 时，有时，有当当 时，有时，有所以对于任意的矩阵所以对于任意的矩阵 ，当，当1x 123(1)1(1)nnxxxxx 11x 23111ln(1)231(1)1nnxxxxxn n nAC()AR第五十一页，讲稿共六十七页哦2112!AneIAAAn352111sin3!5!1(1)(21)!nnAAAAAn 时，我们有时，我们有第五十二页，讲稿共六十七页哦123()(1)nnIAIAAAA 24211cos2!4!1(1)(2)!nnAIAAAn 2341111ln()2341(1)nnIAAAAAAn 第五十三页，讲稿共六十七页哦由此可以得到一些简

25、单的推论：由此可以得到一些简单的推论：2(1)(2)(3)cossin,1n nOn nAAAAiAeIe eeeIeAiAi 第五十四页，讲稿共六十七页哦221(4)cos()21(5)sin()2(6)sin()sin(7)cos()cos(8)sincos1iAiAiAiAAeeAeeiAAAAAA 第五十五页，讲稿共六十七页哦 这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即021 2102201(1)!(1)(2)sin(21)!(1)(3)cos(2)!Atk kkkkkkkkkkeA tkAtAtkAtA tk第五十六页，讲稿共六十七页哦定理定

26、理：设设 ，那么当，那么当 时时，我们有，我们有证明证明：首先证明第一个等式：首先证明第一个等式,n nA BC22(1)(2)sin()sincoscossin(3)sin22sincos(4)cos()coscossinsin(5)cos2cossinA BABBAee ee eABABAAAAAABABABAAAABBA第五十七页，讲稿共六十七页哦2222322311()2!11()2!1()()2!1(33)3!ABnne eIAAAnIAAAnIABAABBABAA BABB第五十八页，讲稿共六十七页哦2311()()()2!3!ABIABABABe 现在证明第二个等式现在证明第二个

27、等式()()1s i n()()21()211()()2211()()22s i nc o sc o ss i niABiABi Ai Bi Ai Bi Ai Ai Bi Bi Ai Ai Bi BABeeieeeeieeeeieeeeiABAB第五十九页，讲稿共六十七页哦同样可以证明其余的结论。同样可以证明其余的结论。注意：注意：这里矩阵这里矩阵 与与 的交换性条件是必不可的交换性条件是必不可少的。少的。例例：设设那么容易计算那么容易计算AB1111,0000AB2323,AAABBB第六十页，讲稿共六十七页哦并且并且于是有于是有12000()2(),1kkABABABk1(1)011(1)

28、01ABeeeIeAeeeIeB第六十一页，讲稿共六十七页哦故有故有显然显然 三者互不相等。三者互不相等。222222(1)01(1)0101(1)()201ABBAA Beee eeee eeeIeAB,ABBAA Be ee ee第六十二页，讲稿共六十七页哦另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。几个特殊性质。()(1)()(2)(3)(sin)(cos)(cos)(4)(cos)(sin)(sin)AtAtAtkAk Tr AdeAee AdteedAtAAtAt AdtdAtAAtAt Adt 第六十三页，讲稿共六十七页哦例例：

29、设设 是一个是一个Hermite 矩阵，那么矩阵，那么 是是一个酉矩阵。一个酉矩阵。证明：由矩阵指数函数公式证明：由矩阵指数函数公式可得可得AiAecossiniAeAiA()(cossin)(cos)(sin)(cossin)(cossin)iAiAHHHeeAiAAiAAiAAiAI第六十四页，讲稿共六十七页哦这表明这表明 为一个酉矩阵。为一个酉矩阵。例例：设设 是一个实的反对称矩阵（或反是一个实的反对称矩阵（或反-H阵阵），那么），那么 为一个正交矩阵为一个正交矩阵(或酉矩阵或酉矩阵)。证明：证明：设设 为一个实的反对称矩阵，那么由矩为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示阵指数函数的幂级数表示可得可得AAe2112!AneIAAAnAA第六十五页，讲稿共六十七页哦2323111()()2!3!111(1)2!3!n nAA TnnnOAAeeIAAAAnIAAAAne eeI 同样可以证明当同样可以证明当 为一个反为一个反H-矩阵时，矩阵时，为一个为一个酉矩阵。酉矩阵。AAe第六十六页，讲稿共六十七页哦第一章第一章 第一节第一节 函数函数感谢大家观看感谢大家观看第六十七页，讲稿共六十七页哦