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1、复变函数第六讲现在学习的是第1页，共47页 在在3.63.6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介3.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系现在学习的是第2页，共47页定义定义定理定理现在学习的是第3页，共47页证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则现在学习的是第4页，共47页即即u及及v 在在D内
2、满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义现在学习的是第5页，共47页上面定理说明：上面定理说明：由解析的概念得：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：现在学习的是第6页，共47页如如现在学习的是第7页，共47页现在学习的是第8页，共47页定理定理现在学习的是第9页，共47页 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，总结起来，公式是由全微分和总结起来，公式是由全微分和C-R方程推方程推出来的出来的现在学习的是第10页，共47页 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论
3、等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。析函数的关系。现在学习的是第11页，共47页例例1解解曲线积分法曲线积分法将将(0,0)到到(x,y)拆分拆分成成(0,0)到到(x,0)，再，再从从(x,0)到到(x,y)现在学习的是第12页，共47页故故 现在学习的是第13页，共47页又解又解凑凑全全微微分分法法现在学习的是第14页，共47页又解又解偏偏积积分分法法现在学习的是第15页，共47页又解又解不不定定积积分分法法现在学习的是第16页，共47页 1.复数列的极限复数列的极限 2.级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数C
4、H44.1 复数项级数复数项级数现在学习的是第17页，共47页 1.复数列的极限复数列的极限定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明现在学习的是第18页，共47页现在学习的是第19页，共47页2.级数的概念级数的概念级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级数无穷级数定义定义设复数列：设复数列：现在学习的是第20页，共47页例例1解解定理定理2证明证明现在学习的是第21页，共47页 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。性质性质定理定理3证明证明现在学习的是
5、第22页，共47页?定义定义由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4现在学习的是第23页，共47页解解例例2现在学习的是第24页，共47页例例3解解练习：练习：现在学习的是第25页，共47页 1.幂级数的概念幂级数的概念 2.收敛定理收敛定理 3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 4.收敛半径的求法收敛半径的求法 5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数现在学习的是第26页，共47页1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和现在
6、学习的是第27页，共47页若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数现在学习的是第28页，共47页2.收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1(阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）现在学习的是第29页，共47页证明证明现在学习的是第30页，共47页(2)用反证法，用反证法，3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：
7、三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收在复平面上处处收敛。敛。(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。现在学习的是第31页，共47页显然，显然，否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故
8、播放播放现在学习的是第32页，共47页现在学习的是第33页，共47页 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的
9、圆域的圆域.现在学习的是第34页，共47页4.收敛半径的求法收敛半径的求法 定理定理2(比值法比值法)证明证明现在学习的是第35页，共47页现在学习的是第36页，共47页 定理定理3(根值法根值法)现在学习的是第37页，共47页 定理定理3(根值法根值法)定理定理2(比值法比值法)现在学习的是第38页，共47页例例1解解 综上综上现在学习的是第39页，共47页例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。现在学习的是第4
10、0页，共47页 综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，求出收敛半径后再讨论边界求出收敛半径后再讨论边界值值现在学习的是第41页，共47页故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.现在学习的是第42页，共47页5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算现在学习的是第43页，共47页-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例3解解代换代换现在学习的是第44页，共47页解解代换代换展开展开还原还原现在学习的是第45页，共47页分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算现在学习的是第46页，共47页 作业P103 30(1)(2),31P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)现在学习的是第47页，共47页