行列式学习资料.pdf

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1、第第 1 1 章章行列式行列式行列式是重要的数学工具， 不但在数学中有着广泛的应用， 在工程技术和科学研究中也有着重要作用。 在初等代数中， 为了求解二元和三元线性方程组， 引入了二阶和三阶行列式。在此基础上引入n阶行列式的定义，并给出相关性质和计算方法。此外，在以后章节中还要介绍行列式的应用。1.11.1 行列式的定义行列式的定义在讨论 n 阶行列式之前，我们先介绍二、三阶行列式以及利用它们求解二元、三元线性方程组的方法。1.1.11.1.1 二阶行列式二阶行列式为了便于记忆，我们引进记号1112112212212122aaa aa aaa并称它为二阶行列式。它含有两行两列，横写的称为行，竖

2、写的称为列。行列式中的数称为行列式的元素，ija就是第 i 行第 j 列元素，ija的第 1 个下标称为行下标，表示该元素所在的行，第 2 个下标称为列下标，表示该元素所在的列。对于上述二阶行列式的定义，可以用对角线法则来记忆。如图 1.1，图 1.1从上述定义知道，二阶行列式就是两项的代数和，一项是从左上角到右下角（又称为行列式的主对角线）两个元素的乘积，取正号，另一项是从右上角到左下角（又称为行列式的次对角线）两个元素的乘积，取负号。则对于二元线性方程组11 112 2121 122 22a xaxbaxaxb当当11 2212 210a aa a用消元法解得 ，1 222 12111 2

3、212 21b ab axa aa a，2 111 21211 2212 21b ab axa aa a令11122122aaDaa（1.1）D是二阶行列式，称为线性方程组的系数行列式。又记1121222baDba，1112212abDab则11211122221212121112111221222122,baabbaabDDxxaaaaDDaaaa像这样用行列式来表示的解，形式简单，容易记忆。例如：求解二元线性方程组1212321221xxxx解：由于323( 4)70,21D 112212( 2)1411D ，23123242121D 因此，11142,7DxD22213.7DxD 1.1

4、.21.1.2三阶行列式三阶行列式设三元线性方程组11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a xaxa xbaxaxaxbaxaxaxb用消元法解得1 22 3312 23 313 2 321 23 3212 2 3313 22 3111 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31b aaa aba b ab aaa b aa abxa aaa aaa a aa aaa a aa aa，11 2 331 23 3113 31 311 23 31 21 3313 2 31211 22 3312 23 3113

5、21 3211 23 3212 21 3313 22 31a b ab aaa a ba abb a aa b axa aaa aaa a aa aaa a aa aa，11 22 312 2 311 21 3211 2 3212 21 31 22 31311 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31a aba b ab a aa b aa a bb aaxa aaa aaa a aa aaa a aa aa。其中分母不为零， 此表达式比二元线性方程组的解表达式要复杂得多， 为了能够将解简单表达，我们引入三阶行列式的定义。11121321222

6、3313233aaaDaaaaaa令111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132a a aa a aa a a11 23 3212 21 3313 22 31a aaaaaa aa(1.2)称为三阶行列式三阶行列式 。若记111213212223313233aaaDaaaaaa，1121312222333233baaDbaabaa1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aabDaabaab则312123,DDDxxxDDD。观察三阶行列式（1.2）式发现，它有以下特点：共有 6=3!项；每一项均是位于

7、不同行，不同列 3 个元素的乘积；各项行下标全为 123，而列下标分别为 123，231，312，132，213，321，前三项均为正号，后三项均为负号，这表明每一项前的符号与列下标排序有关。为了给出 n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。1.1.31.1.3 全排列及其逆序数全排列及其逆序数定义定义 1.11.1 由n个不同数 1，2，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。排列12(1)nn称为自然排列。例如 1324，3241，4123 等都是 4 阶排列，15324 是一个 5 阶排列。两个n阶排列如果它们的排列次序一样，就说这两个n阶排列相等，否则就称它们不相等。我

8、们知道，n阶排列的总数共有!n个定义定义 1.21.2在一个 排列中，如果一个较大的数排在了较小数的前面，就称这两个数码构成逆序。一个排列逆序的总数称为该排列的逆序数。我们用1 2()ni ii表示排列1 2ni ii的逆序数，例如(31542)5。计算排列1 2ni ii的逆序数方法如下：设排列1 2ni ii中k前面比k大的数码共有kt个，则1 2121()nnnkki iitttt例例 1.11.1 求 5 阶排列 31542 的逆序数。解解123451,3,0,1,0ttttt,故51(53412)5kkt.例例 1.21.2 求( (1)21)n n。解1211,2,1,0nntnt

9、ntt，所以( (1)21)n n(1)2n n。定义定义 1.31.3设1 2ni ii是n阶排列，如果1 2()ni ii是奇数，则称1 2ni ii是奇排列；如果1 2()ni ii是偶数，则称1 2ni ii是偶排列。例如 5 阶排列 31542 就是奇排列，而排列(1)21n n，当4nk或41k 时是偶排列，当42nk或43k 时是奇排列。为了确定n阶排列的中奇、偶排列的个数，我们引入对换的概念，并给出它的性质。定义定义 1.41.4 把一个排列中某两个数字的位置互相调换，其余数字不变，这样一个调换称为一个对换。定理定理 1.11.1 对换改变排列的奇偶性。证证 先看相邻对换的情形

10、，设排列ABij ，经过, i j对换变成ABji，显然这样的对换不影响, i j与其它数的次序关系，改变的仅是, i j的次序，若在前一式中, i j构成逆序，则后一式的逆序数比前一式的逆序数少 1，若在前一式中, i j不构成逆序，则后一式的逆序数比前一式的逆序数多 1，所以在此情况下，排列的奇偶性改变。再看一般情形，设排列为1 2CDsij jj j，经过, i j对换得到排列1 2CDsjj jj i则后一式可以经过21s次相邻对换来实现，即j依次与11,ssjjj i对换，共1s次，然后i再依次与12,sjjj对换，所以共经过21s次相邻对换得到，由于21s是奇数，故它们的奇偶性相反

11、。由此可得到一下结论：推论推论 1.11.1 当1n 时，在全体n阶排列中，奇排列与偶排列个数相等，各为!2n。证证设奇排列共s个， 偶排列共t个， 把s个奇排列每一个都进行一次对换， 则变成s个偶排列，从而st。同理ts，故!2nst 。推论推论 1.21.2 任一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作的对换的次数与这个排列有相同的奇偶性。证证 对排列的阶数n用数学归纳法，当1n ，结论自然成立。假设结论对1n成立，现在考查任一个n阶排列1 2nj jj，如果njn，则根据归纳假设，1n阶排列1 21nj jj可经过一系列对换变成排列121n，从而经过这些对换就把1 2nj j

12、j变成自然排列12(1)nn。如果njn，则将1 2nj jj作,njn对换，就变成新排列1 21nj jjn，就归结为上面的情形，因此由归纳法原理结论成立。类似地， 排列12(1)nn也可以用一系列对换变成1 2nj jj。 由于12(1)nn是偶排列，根据定理 1.1，经过偶数次对换的排列一定是偶排列，经过其实次对换的排列是奇排列，所以所作对换的个数与排列1 2nj jj有相同的奇偶性。1.1.41.1.4n阶行列式阶行列式通过对二、三阶行列式的进行分析，找出它们的共同规律，然后根据这些规律来定义n阶行列式。从（1.1）和（1.2）式，我们可以看出（1.1）式可以写成。()11121221

13、221 2( 1)211 2jjjjaajaaaaj其中1 2j j是任意一个 2 阶排列。（1.2）式可以写成。111213212223313233aaaaaaaaa()12312 3( 1)1231 2 3jjjjjjjaaaj j其中1 2 3j j j是任意一个 3 阶排列现在我们根据上述规律来定义n阶行列式。定义定义 1.51.52n个数.1,2,ija i jn排成n行n列，记成111212122212nnnnnnaaaaaaaaa（1.3）称为n阶行列式阶行列式，它表示所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212jjnjaaan(1.4)的代数和，其中1 2nj jj是1,2,n

14、的一个排列，当1 2nj jj是偶排列时,(1.4)前面带正号；当1 2nj jj是奇排列时,(1.4)前面带负号。因此行列式(1.3)可以表示成111212122212nnnnnnaaaaaaaaa()121 2( 1)211 2jjjnjjjjnaaanjjn(1.5)1 2jjjn表示对所有n阶排列求和。注 （1）有时用ijn nDa或者det()ijn nDa表示n阶行列式（1.3），数ija称为行列式ijn nDa的第i行第j列元素。（2）当1n 时，1111Daa，不要与绝对值记号混淆。（3）当2n 或3n 时，这样定义的二阶、三阶行列式与对角线法则定义的是一致的。例例 1.31.

15、3 形如11212212000nnnnaaaDaaa的行列式，称为n阶下三角形行列式，证明下三角形行列式11 22nnDa aa证证D的项的一般形式为1221jjnjaaan，由于在这个行列式第一行中，除11a外，其它元素都等于 0，所以11j 时，101ja，因而只要考虑含11a的项，第二行除去21a及22a外， 其余元素都等于 0， 因此， 只要考虑21,2j 的项， 但因11j 故21j ， 所以22j ，这样逐步递推知道D的展开式中除11 22nna aa这一项外，其它的项都等于 0，又(121 )0nn，所以(12)11 2211 22( 1)nnnnnDa aaa aa 。同理得1

16、1121222000nnnnaaaaaDa11 22nna aa。特别地112211 22000000nnnnaaDa aaa。例例 1.41.4 计算行列式121000000000000nnaaDaa解解由行列式的定义，D的一般项形式为1221jjnjaaan，由于该行列式第一行中，除1a外，其它的元素都等于 0，所以1jn时，101ja，因此只需要考虑含1a的项即可；在第二行中，除2a外，其它元素都等于 0，所以在21jn，202ja，因此只要考虑含2a的项即可；同理可知，只要考虑含31,nnaaa的项即可，所以D的展开式中除了1 21nna aaa这一项外，其余各项都等于 0，而(1)(

17、121)2n nnn，所以(1)21 21( 1)n nnnDa aaa 。习题习题 1.11.11. 写出第 2、3 位置分别是 4，1 的所有 5 阶排列。2 设 57i41j6 是 7 阶奇排列，求, i j的值。3 设排列1 2nj jj的逆序数是k，求排列12 1n nj jj j的逆序数。46 阶行列式中，下列各项应带什么符号？（1）13 25 36 41 54 62a aaa aa；（2）21 33 56 42 65 14a aaaaa5. 用行列式的定义计算下列行列式的值（1）2100740000450079；（2）00000000abbababa；（3）00000000abc

18、defgh6如果n阶行列式中零元素的个数多于2nn，证明该行列式的值等于 0。1.21.2行列式的性质行列式的性质由行列式的定义可知，直接利用定义计算行列式是很困难的，特别是当n较大时，直接由定义计算行列式几乎是不可能的。 本节将讨论行列式的基本性质， 利用这些性质来简化行列式的计算。为了方便行列式的变形，我们规定行列式变换符号如下行列式的 i 行（列）与 j 行（列）交换，记为ijrr（ijcc）；行列式的第 i 行（列）乘以常数 k，记为ikr（ikc）；行列式的 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列），记为ijrkr（ijckc）性质性质 1 1 行列式行列互换，行列式的值不变。即设

19、111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa则TDD（TD称为D的转置行列式）。证证将D的转置行列式记为111212122212nnTnnnnbbbbbbDbbb，其中ijjiba（,1,2,i jn）。由定义 1.5 得()121 2( 1)211 2jTjjnjjjjnDbbbnjjn()121 2( 1)211 2jjjj njjjnaaaDnjjn此性质表明一个行列式与其转置行列式的值相等， 从而凡是关于行成立的性质， 对列也同样成立。由性质 1 以及上节例 1.3 得到上三角形行列式11121222000nnnn

20、aaaaaDa11 22nna aa。下面所提到的行列式性质，只对行的情况证明。性质性质 2 2 把行列式的任一行（列）所有元素同乘以一个数k，等于用数k乘以这个行列式，即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakaaaakaaaaaa证证左边()1111 2( 1)()1111 2jjijijijnjjjjnaakaaainiijjn()1111 2( 1)1111 2jjijijijnjjjjnkaaaaainiijjn右边。由此，可以得到以下结论推论推论 1.31.3 一个行列式中某一行（列）有公因子可以提到行列式之外。推论推论 1.4

21、1.4 如果行列式中有一行（列）的所有元素都为零，则此行列式的值等于零。性质性质 3 3 如果行列式中某一行（列）的每一个元素都是两个元素的和，则此行列式等于两个行列式之和，即11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa。证证左边()1111 2( 1)()1111 2jjijijijijnjjjjnaaabaaiiniijjn()1111 2( 1)1111 2jjijijijnjjjjnaaaaainiijjn()1111 2( 1)1111 2jjiji

22、jijnjjjjnaab aainiijjn右边。此性质可以推广到某一行（列）为多组元素和的情况。性质性质 4 4 交换一个行列式的某两行（列），行列式的值反号。证证设所给行列式为11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa交换D的第i行与第k行得111211211212nkkkniiinnnnnaaaaaaDaaaaaaD的任一项可以写成11jijkjnjaaaaink（1.6）其中各元素位于D的不同行与不同列。显然，它们也位于1D中的不同行与不同列。因此，（1.6）式也是1D的项。反之，1D中的每一项也是D的一项，因此D与1D含有相同的项。作为D中一项，（1.

23、6）的符号为()1( 1)jjjjikn ，而作为1D中的项，（1.6）式的符号为(1)()1( 1)kinjjjjikn (1)()1( 1)( 1)iknjjjjikn ()1( 1)( 1)jjjjikn 。因此，（1.6）在D与1D中的符号相反，所以D1D。推论推论 1.51.5 如果一个行列式有两行（列）完全相同，则该行列式的值等于零。推论推论 1.61.6 如果一个行列式有两行（列）成比例，则该行列式的值等于零。性质性质 5 5 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。证证由性质 3 及性质 4 的推论 1.6 得1112111221212nikikinkn

24、kkknnnnnaaaaraaraaraaaaaaa1112111121121212121212nniiinkkknkkknkkknnnnnnnnnaaaaaaaaarararaaaaaaaaaaaaa11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaaaaaaa。行列式性质对计算行列式起着至关重要的作用。一般地是把行列式化成上（下）三角形行列式计算，这方法由于程序固定，故适合在计算机上实现，且计算工作量比按定义展开的方法要少。例例 1.51.5 计算行列式的值1236213535731403D解解2233 312361236212314033170032801215012154 1

25、2063900325rrrrrrrrrrD3123643012159003280003rr。例例 1.61.6 计算n阶行列式的值nabbbbabbDbbabbbba 解解 注意到每一列除一个a之外，其余的1n个元素都是b，故将其余各行都加到第一行得(1)(1)(1)(1)nanbanbanbanbbabbDbbabbbba1111(1) babbanb bbabbbba (),2,1000001(1) 0000ccjnbabjanb babbab (1) anb1()nab。设n阶行列式ijn nDa， 若满足( ,1,2, )ijjiaai jn， 则称D为对称行列式对称行列式，若满足(

26、,1,2, )ijjiaai jn ，则称D为反对称行列式反对称行列式，由定义得反对称行列式必满足0 (1,2, )iiain。例例 1.71.7 证明 奇数阶反对称行列式12112212000nnnnaaaaDaa0。证证12112112212212120000( 1)( 1)00nnnnTnnnnnnaaaaaaaaDDDaaaa ，当n为奇数时得DD ，因而0D 。例例 1.81.8 设, 1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa解解利用行列式性质，有333231232221131211535310

27、26aaaaaaaaa1112132122233132333523535aaaaaaaaa 5)3(2333231232221131211aaaaaaaaa15)3(2.30例例 1.91.9证明21) 1(11213112211132114321nnxxxxxxxnxxnxnn.证证从第二行开始，每行依次减去前一行得122334101111 101111 100111 100011 1100001111 1nnrrrrrrrrxxDxxxxx.) 1(11000000000100001000010000) 1(211nnnxxxxxxxxx例例 1.101.10 计算.36103632342

28、32dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD解解从第 4 行开始，下一行减上一行得D43321rrrrrr.363023200cbabaacbabaacbabaadcba4332rrrr.20200baaabaaacbabaadcba43rr.00020004aabaacbabaadcba习题习题 1.21.21. 设行列式1112132122233132330aaaDaaaaaaa，求下列各行列式的值（1）1112131212223313233333333333aaaDaaaaaa； （2）1113122212322313332555aaaDaaaaaa。2.

29、用行列式性质计算（1）1110110110110111； （2）222222abcaabbcabcccab ；（3）22222222222222221234234534564567;(4)axxxxbxxxxcx，其中0abc .3. 利用行列式性质计算(1)n n 阶行列式的值：（1）1211121122112111111nnnnnaaaabaaaabaaaab;(2)11221100000000011111nnaaaaaa4 证明33()byazbzaxbxayxyzbxaybyazbzaxabzxybzaxbxaybyazyzx。5 求下列多项式的根：（1）2211231223( )22

30、652269xf xx；（2）1111111111( )1121111111xf xxnx 。6计算三阶行列式222abcabcbccaab1.31.3行列式依行（列）展开行列式依行（列）展开上节我们介绍了利用行列式性质来简化行列式的计算， 本节将考虑如何把阶数较高行列式化为较低阶行列式的计算， 即讨论如何用低阶行列式表示高阶行列式的问题。 首先我们引入余子式与代数余子式的概念。定义定义 1.51.5 在n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa中，划去元素ija所在的行与列，剩下的元素按原来的顺序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM，又记( 1)ij

31、ijijAM ，ijA称为元素ija的代数余子式。例如四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa中元素23a的余子式11121423313234414244aaaMaaaaaa，元素23a的代数余子式2 323( 1)A 2323MM 。在证明本节主要定理之前，先介绍两个引理引理引理 1.1112122211 111200nnnnnaaaaDa Aaaa。证证()121 2( 1)211 2jjjnjjjjnDaaanjjn(1)11 212( 1)22jnjjjna aanjjn(1)11212( 1)22jnjjjnaaan

32、jjn11a()22( 1)22jnjjjnaanjjn11a11M11 11a A。引理引理 1.2111211111211111211120000jniiijinijij ijiiijinnnnjnnaaaaaaaaaDa Aaaaaaaaa。证证将行列式的第i行依次与前面各行交换变成第一行，再将第j列依次与前面各列交换变成第一列，由性质 4 及引理 1.1 得11111111(1) (1)11111111111111111110000( 1)ijjjjnijijiijijinij ijijiijijinnjnnjnjnnaaaaaaaaaaaDa Aaaaaaaaaaa 。定理定理 1.

33、2n阶行列式ijn nDa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122iiiiin inDa Aa Aa A(1,2, )in；（1.7）1122jjjjnjnjDaAaAa A(1,2, )jn。(1.8)证证根据性质 3 以及引理 2 得111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122iiiiin ina Aa Aa A(1,2, )in。此式称为行列式按第i行展开公式。同理可证按第j列展开的公式(1

34、.8)。定理定理 1.3n阶行列式ijn nDa某一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即11220ikikin kna Aa Aa A()ik；(1.9)11220jkjknjnkaAaAa A()jk。(1.10)证证在行列式11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa中将第k行元素都换成第i行元素，得到行列式111211211212niiiniiinnnnnaaaaaaDaaaaaa显然1D第k行元素的代数余子式与D第k行对应元素的代数余子式完全相同，将1D按第k行展开，并注意1D有两行完全相同得到111220ikikin knDa

35、 Aa Aa A。即（1.9）式成立。同理可证明（1.10）也成立。综合定理 1.2 和定理 1.3 得到11221,0.nijkjikikin knjDika Aa Aa Aa Aik11221,0.nij ikjkjknjnkiDjka AaAaAa Ajk例例 1.11 已知1112132122233132330005xyaaaDzaaawaaa，求行列式111213212223313233aaaMaaaaaa的值。解解 因D的第一行仅有一个非零元，故将D按第一行展开得11 111213140005Da AAAAxM，所以5Mx。例例 1.12计算n阶行列式000000000000nxy

36、xyDxyyx 。解解 将D按第一行展开得10000000000( 1)0000000000nnxyyxxyDxyxyyxxy 1( 1)nnnxy 。例例 1.131.13设1234120010301004D （1）计算D的值；（2）计算11121314AAAA；（3）计算12223242AAAA。解解（1）将行列式D的第 2,3,4 行分别乘以（-1）都加到第 1 行，则有200012004810301004D .（2）注意到行列式一行（列）元素的代数余子式与该行（列）元素无关，因此11121314AAAA11111120010301004D,将行列式1D的第 i 行分别乘以（-1/i）都

37、加到第 1 行则有11111000234111120024 (1)223410301004D .(3)由于D的第 1 列元素均为 1，所以由定理 1.3 得1222324211122122313241420AAAAa Aa Aa Aa A例例 1.14证明范德蒙（Van der monde）行列式123222212312111111231111(,)()nnnijj i nnnnnnxxxxxxxxV x xxxxxxxx (2)n 。证证对n用数学归纳法。当2n 时，12211211(,)V x xxxxx，结论正确。假设2n ，且结论对1n成立，对n阶情况，在12(,)nV x xx中，从

38、第n行开始，由下而上依次从每行减去它的上一行的1x倍，得2131122221 231 21 21212121221 231 21 2111100(,)0nnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xV x xxxx xxx xxx x，按第一列展开，并提出各行的公因式得2221221311222222111(,)()()()nnnnnxxxV x xxxxxxxxxxx21311()()()nxxxxxx23(,)nV xxx。由归纳假设23(,)nV xxx2()ijj i nxx 。因此12(,)nV x xx21311()()()nxxxxxx2()ijj i nxx 1()i

39、jj i nxx 。由归纳法原理知结论对所有2n 都成立。这表明n阶范德蒙行列式12(,)nV x xx0 当且仅当，ij时ijxx。此处是将阶数较高的行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算， 从方法称为递推法。习题习题 1.31.31.计算下列行列式（1）0000000000 xabcydezfghkulv； （2）1234234134124123； （3）231111122144188xxx。2 .计算n阶行列式(1)1231131211231nxnxnx；(2)123nabbbbabbbbabbbba()iab(3)1231231231231111nnnnaaaaaaaaaa

40、aaaaaa。3.求234142323143abcd第三行元素的代数余子式，并计算行列式。4. 已知 4 阶行列式234122228613683143D ，求（1）31323334AAAA；（2）132333434264AAAA。5.已知 1275，1513，1072，2125 能被 17 整除，不计算行列式的值，证明1275151310722125D 也能被 17 整除.思考题思考题 设n阶行列式1231200,1030100nnDn 求第一行各元素的代数余子式之和11121nAAA1.41.4克莱姆（克莱姆（CramerCramer）法则）法则现在我们讨论利用n阶行列式解含n个未知量n个方

41、程的线性方程组的公式解。设给定含n个未知量n个方程的线性方程组线性方程组11 112 21111 112 21111 112 211n nn nn na xaxa xba xaxa xba xaxa xb（1.11）由未知量系数组成的n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa称为线性方程组（1.11）的系数行列式系数行列式。定理定理 1.4 （克莱姆克莱姆（Cramer）法则法则）设线性方程组（1.11）的系数行列式0D ，则它有且仅有一组解：1212,nnDDDxxxDDD。（1.12）其中jD (1,2, )jn是将D的第j列元素12,jjnjaaa换成常数项12,

42、nb bb后得到的行列式。证证（1）解的存在性将（1.12）代入（1.11）的第i (1,2, )in个方程，左边为111nnjijijjjjDaa DDD。由于1 12 2jjjn njDb Ab Ab A1nssjsb A(1,2, )jn，所以11nijjja DD111()nnijssjjsab AD111nnij ssjjsa b AD 111()nnijsjssja AbD 1iiDbbD。此为第i个方程的右边，因此（1.12）是（1.11）的一组解。（2）解的唯一性设12( ,)nc cc是线性方程组（1.11）的的任意解，则111 1111121212212111ii iini

43、i iininnini ininnaaa caaaaa caaDcaaa caa111 111 11111212121 12212111 11in ninin ninnninnn nninnaaa ca caaaaa cacaaaaa cacaa111 1111121212212111iiniinnninninnaabaaaabaaaabaaiD。因此，iiDcD，(1,2,)in这表明， （1.11）的解只能是（1DD，2DD，nDD）T。n元线性方程组（1.11）右端的常数项12,nb bb不全为零时，称为非齐次线性方程组，当12,nb bb全为零时称为齐次线性方程组。对于（1.11）的中

44、12,nb bb全为零时时的n元齐次线性方程组齐次线性方程组11 112 2111 112 2111 112 21000n nn nn na xaxa xa xaxa xa xaxa x（1.13）称为（1.11）对应的齐次线性方程组。当120nxxx时，一定是（1.13）一组解，称为它的零解零解， 其余的解若存在， 均称为它的非零解非零解。 显然， 齐次线性方程组一定存在零解，不一定存在非零解。推论推论 1.7 设给定含n个未知量n个方程的齐次线性方程组11 112 2121 122 221 12 2000n nn nnnnn na xaxa xaxaxaxa xaxax系数行列式0D ，则

45、该方程组仅有零解(0,0,0)T。例例 1.15 解线性方程组1231312322141357xxxxxxxx 解解 系数行列式221104230315D，由克莱姆法则，该方程组有唯一解。112110469715D ，221111469375D，322110123317D。所以113DxD ，223DxD，331DxD。例例 1.16 问为何值时, 齐次方程组0)1 (0)3(2042)1 (321321321xxxxxxxxx有非零解?解解D 111132421101112431)3)(1 (2)1 (4)3()1 (33)1 (2)1 (23),3)(2(齐次线性方程组有非零解，则, 0D

46、所以, 02或3时齐次线性方程组有非零解.结语：结语：习题习题 1.41 用克兰姆法则解线性方程组12312312323254452722xxxxxxxxx ；2.问a为何值时，齐次线性方程组000axyzxayzxyaz有非零解？3.设11( ,)A x y，22(,)B xy是平面上两个不同点，且过,A B两点的直线不通过原点，证明过,A B两点的直线方程是11221101xyxyxy。1.51.5 本章小结本章小结1.5.1基本要求基本要求1掌握二、三阶行列式的计算方法，掌握三阶行列式的特点；2理解排列的奇偶性，会计算排列的逆序数，并判断排列的奇偶性。3. 掌握 n 阶行列式的定义，它有

47、 3 个特点（1）n 阶行列式共有!n项，（2）每项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积(3) 当该项的行下标按自然顺序排列时，每项的正负号都取决于位于 n 个元素的列下标排列，当列下标为奇排列时，取负号，当列下标为偶排列时，取正号4. 掌握行列式的基本性质及基本计算方法，并利用性质计算有关行列式的值。5. 掌握行列式的展开定理，并会利用此性质计算有关问题6. 掌握范德蒙行列式的基本形式及其值，并利用其计算行列式的值7. 掌握上（下）三角形行列式的值等于对角线元素的乘积。1.5.2 主要内容提要主要内容提要1. n 阶行列式定义阶行列式定义设ijn nDa是由ija组成的 n 阶行列式，则

48、ijn nDa()121 2( 1)211 2jjjnjjjjnaaanjjn1 2jjjn表示对所有n阶排列求和。ijn nDa是一个数值，计算行列式就是把这个数求出来。2.2. 行列式性质行列式性质1 .将行列式转置则值不变。2.某一行（列）有公因子可提出。3.对某一行（列）都可以表示成两个元素之和，则行列式可以分成两个行列式之和。4.交换行列式的两行（两列）值反号。5. 如果行列式两行（两列）对应元素成比例，则值为零。6 .将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，值不变。7.行列式的展开公式设ijn nDa，则10nikjkkDija Aij；,1,2,i jn。10nkikjkDi

49、ja Aij,1,2,i jn。3.3. 克莱姆法则：克莱姆法则：当线性方程组方程的个数与未知量的个数都为 n，且它的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解，这个解为111(,)TDDDDDD，其中D是系数行列式，iD是把系数行列式的第i列换成常数项所得的行列式。第第 1 1 章章 总习题总习题一填空题1. 6 阶行列式中213416456352a a a a a a的符号是_；2.1000220033304444_；3.110100042101321x中元素x的余子式等于_，代数余子式等于_。4. 设1732222235654728D，则41424344AAAA_二单项选择题1.n阶行列式0D

50、 的充分条件是（）A.D中有两行（列）元素对应成比例B.D中有一行（列）元素全为零C.D中零元素的个数多于(1)n nD.以上结论都正确2.已知31223137,014D则行列式333231232221131211AAAAAAAAA的值是（）其中ijA是元素ija的代数余子式。A.1369B.37C.50653D.1113.1112132122233132332aaaDaaaaaa ，则1111121312121222331313233235323532353aaaaDaaaaaaaa（）A.30B.30C.60D.60三计算题1 计算行列式（1）222abcabcbccacb； （2）xyy