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1、利用正余弦定理解三角形题型全归纳题型一、利用正、余弦定理求边长例题1、（2021迎江区校级三模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bc，若sinB2sinA（1）求b的值；【解答】（1）因为sinB2sinA，由正弦定理知，所以b2a，由余弦定理知，因为，所以，化简得2a27a+60，解得a2或，当时，b2a3c，与题意矛盾；当a2时，b2a4c，符合题意，b4【解题技法】1、必备公式：正弦定理、余弦定理公式、三角函数和差角公式；2、题型要求：在等式条件中，等号两边的每一项都存在角的正弦值、边或边与正弦值的积的形式；3、利用“边化角”，即把a,b,c化为sinA,sinB,
2、sinC的形式，或者利用“角化边”即把sinA,sinB,sinC化为a,b,c的形式。然后再考虑用余弦定理、三角形面积公式、或者三角函数和差角公式求解即可。变式训练1、（2021和平区模拟）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinA2csinB，且b3，（1）求a的长；【解答】（1）由正弦定理，及bsinA2csinB，可得ab2bc，即a2c由余弦定理b2a2+c22accosB，9a2+a2a2，解得a3变式训练2、（2021上饶三模）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求b的值；【解答】（1）因为，所以利用余弦定理可得+，整理可得，所以解得b
3、变式训练3、（2021武进区校级模拟）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（cosA）cacosC（1）求；【解答】（1）因为（cosA）cacosC，所以由正弦定理可得sinCcosAsinCsinAcosC，即sinCsinCcosA+sinAcosCsin（A+C），而sin（A+C）sinB，所以cb，故变式训练4、（2021泰安模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB（bsinBbcosB）cosC，b3，B（1）若a5，求c；【解答】（1）因为asinB（bsinBbcosB）cosC，所以sinAsinB（sinBsinBsinBcos
4、B）cosC，因为sinB0，所以sinA（sinBcosB）cosC，所以sinBcosC+cosBsinCsinBcosCcosBcosC，整理可得cosB（sinC+cosC）0，因为B，所以cosB0，可得tanC，可得C，由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得c225+9249，所以c7题型二、利用正、余弦定理求角度例题2、（2021四川模拟）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC0（1）求角A的大小；【解答】（1）由（2b+c）cosA+acosC0，根据正弦定理有（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC0所以2sinB
5、cosA+sinCcosA+sinAcosC0，所以2sinBcosA+sin（C+A）0，即2sinBcosA+sinB0因为0B，所以sinB0，所以，因为0A，所以【解题技法】在解三角形中，常用公式：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)= - cosC；第一步：先考虑用正弦定理，尝试“角化边”或者“边化角”；第二步：再考虑用余弦定理，注意能化为整式计算的尽量化为整式计算；第三步：当心“符号”，内角为钝角时，余弦值为负，内角为锐角时，余弦值为正，变式训练1、（2021孟津县校级模拟）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosAbcosC+ccosB（1）求A；【
6、解答】（1）由2acosAbcosC+ccosB得2sinAcosAsinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosAsin（B+C）sinA，所以cosA，即A；变式训练2、（2021麒麟区校级模拟）已知ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA0（1）求A；【解答】（1）cosA（ccosB+bcosC）+asinA0，可得cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sin2A0，即cosAsin（B+C）+sin2A0，即cosAsinA+sin2A0，因为sinA0，所以cosAsinA，即tanA，因为A（0，），所以A
7、变式训练3、（2021拉萨二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC（1）求角B；【解答】（1），2bcosC2aC，由正弦定理可得，2sinBcosC2sinAsinC，即2sinBcosC2sin（B+C）sinC，化简可得，sinC2sinCcosB，又sinC0，cosB，B（0，），变式训练4、（2021新疆模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；【解答】（1）由正弦定理得，即，又0C180，所以C30题型三、结合二倍角公式解三角形例题3、（2021上饶模拟）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且满足cos
8、2A5cos（B+C）20（1）求角A的大小【解答】（1）因为cos2A5cos（B+C）20，所以2cos2A15（cosA）20，整理可得2cos2A+5cosA30，所以解得cosA，或3（舍去），因为A（0，），所以A【解题技法】1、必备公式：三角函数二倍角公式（升幂公式）2、题型要求：条件中有sin2A或者cos2A类型的条件，先考虑用二倍角公式化简；第一步：把条件中的sin2A或者cos2A用公式展开，再合并化简；第二步：若化简后，存在一个未知值且有二次项，则作为一元二次方程求解；第三步：若化简后，存在两个未知值，则求其化值另作它用。变式训练1、（2021香洲区校级模拟）在ABC中
9、，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，已知6sinCcosA7sin2A，且5a3b（1）求C；【解答】（1）6sinCcosA7sin2A，得6sinCcosA14sinAcosA，cosA0或3sinC7sinA，5a3b，ab，所以A90，cosA0，3sinC7sinA，所以，又5a3b，得，代入，得，因为0C180，所以C120变式训练2、（2021江西模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A1+3cos（B+C）（1）求角A的值；【解答】（1）cos2A1+3cos（B+C），又cos2A2cos2A1，cos（B+C）cosA，2cos2A+3cosA
10、20，即（cosA+2）（2cosA1）0，变式训练3、（2021九江三模）ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A为锐角（1）求A的大小；【解答】（1）因为，可得2sin2，所以2sincossinA，因为A为锐角，所以A例题4、（2021鸡冠区校级三模）在ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，（1）求角C；【解答】（1）因为，所以sin2（）cos2C，所以cos2cos2C，所以cos2C，即cosC2cos2C，所以cosC0，或cosC，因为C（0，），所以C，或【解题技法】第一步：利用二倍角公式进行降幂化简；第二步：若存在边角形式，可以考虑正弦定理与余
11、弦定理；第三步：在化简过程中遵守未知量宜少不宜多，遇切化弦，遇角判断符号。变式训练1、（2021金华模拟）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a且（1）求角C的大小；【解答】（1），在ABC中，A+B+C，2cos2sinC+1，cosCsinC，tanCC（0，），C变式训练2、（2021沙坪坝区校级模拟）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccos2+bsin2（1）求C；【解答】（1）ccos2+bsin2，c+b，即ccosB+b（1cosC）a，由正弦定理可得sinCcosB+sinB（1cosC）sinAsinBcosC+cosBsinC，化简可得sinB2sinB
12、cosC，又B（0，），sinB0，则cosC，故C变式训练3、（2021全国卷模拟）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cosC2cos2（1）求sinC；【解答】（1）3cosC2cos2又2cos21+cosC，3cosC1+cosC，C（0，），变式训练4、（2021聊城三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，（1）求角B的大小；【解答】（1）A+B+C，由，得，即107（2cos2B1），化简得2cos2B+5cosB30，解得或cosB3（舍），0B，变式训练5、（2021烟台三模）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足（1）
13、求A；【解答】（1）因为，所以2（1+cosA）cos2(A),即2cosA+1(2cos2A1),整理可得：4cos2A4cosA+30,解得：cosA或cosA3(舍），在ABC中可得A；变式训练6、（2021春安徽期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且（1）求角A的大小；【解答】（1）因为4a，整理可得2b+c2acosC，所以2b+c2a，整理可得b2+c2a2bc，所以cosA，因为A（0，），所以A变式训练7、（2017新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2（1）求cosB；【解答】（1）sin（A+C）8sin2，
14、sinB4（1cosB），sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）0，（17cosB15）（cosB1）0，cosB；变式训练8、（2020新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cosA（1）求A；【解答】（1）cos2（+A）+cosAsin2A+cosA1cos2A+cosA，cos2AcosA+0，解得cosA，A（0，），A；题型四、平面四边形类型例题5、（2021苏州模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC1，ABC90，BCD60，B
15、AD75CBD30，（1）求三角形ABD的面积；【解答】（1）因为BC1，ABC90，BCD60，BAD75，CBD30，可得BDC90，ABD60，BDA45，在BCD中，由正弦定理，可得，可得BD，在ABD中，由正弦定理，可得，可得AB，所以SABDABBDsinABD【解题技法】第一步：在平面四边形中，寻找三角形，把已知条件标在各个三角形中；第二步：利用三角形内角和定理、外角和定理、三角形边角关系（直角三角形边勾股定理、特殊三角形的边比例关系）求出边或角；第三步：在各个三角形中利用正弦定理求解，有未知量的设出未知数。变式训练1、（2018新课标）在平面四边形ABCD中，ADC90，A45
16、，AB2，BD5（1）求cosADB；【解答】（1）ADC90，A45，AB2，BD5由正弦定理得：，即，sinADB，ABBD，ADBA，cosADB变式训练2、（2021新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC（1）证明：BDb；【解答】（1）证明：由正弦定理知，b2RsinABC，c2RsinACB，b2ac，b2RsinABCa2RsinACB，即bsinABCasinC，BDsinABCasinC，BDb；变式训练3、（2021洛阳模拟）在平面四边形ABCD中，ABC90，A60，AD2，BD4（1）求cosABD
17、；【解答】（1）在ABD中，由正弦定理可得，A60，AD2，BD4，BDAD，ABD60，变式训练4、（2021诸暨市模拟）如图，已知平面四边形ABCD中，ABCD1，（1）求ABD的面积；【解答】（1）由已知利用正弦定理可得，例题6、（2021辽宁模拟）如图，在ABC中，D为BC的中点，AB4，AD，AC6（1）求ABC的面积；【解答】（1）设BDCDx，在ABD中，利用余弦定理，在ACD中，利用余弦定理，所以，cosADBcosADC，整理得，解得x4或4（舍去），故cosC，所以，故【解题技法】第一步：多审题，熟条件；第二步：标条件，找三角形；第三步：在三角形内利用余弦定理求解；第四步：
18、根据题意判断取值。变式训练1、（2021春孝感期中）如图，在平面四边形ABCD中，DABCBD90，BD2AB2，（1）求AC的长；【解答】（1）因为BD2，AB1，DAB90可得cosABD，可得ABD60，又CBD90，可得ABC60+90150，在ABC中，由余弦定理得：则AC2AB2+BC22ABBCcosABC1+32（）7，所以AC；变式训练2、（2021浙江模拟）如图，在ABC中，AB6，点D在BC边上，AD4，ADB为锐角，（1）求DC；【解答】（1）在ABD中，由余弦定理，BD5或BD4当BD4时，则，不合题意，舍去；当BD5时，则，符合题意BD5在ABC中，BC12或BC3
19、（舍）DCBCBD7变式训练3、（2021河南模拟）如图，在ABC中，B60，D为AB边上一点，AD4，CD5，AC7（1）求sinACB的值；【解答】（1）在ACD中，由余弦定理知，cosA，A（0，），sinA，sinACBsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB+变式训练4、（2021市中区校级二模）在平面四边形ABCD中，ABC，ADC，BC4（1）若ABC的面积为3，求AC；【解答】（1）ABC中，ABC，BC4，SABCABBCsinABC3，AB3ABC中，由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosABC9+1623413，AC；变式训练5、（2021金凤区校级模拟）如图，在ABC中，点D是边BC上的一点，ADDC2，BD4，AC3（1）求ACD的面积；【解答】（1）因为在ACD中，ADDC2，AC3，所以由余弦定理可得cosACD，所以sinACD，所以SACDACCDsinACD变式训练6、（2021郑州三模）如图，在ABC中，AB9，cosB，点D在BC边上，AD7，ADB为锐角（1）求BD；【解答】（1）ABD中，由余弦定理得AD2AB2+BD22ABBDcosB，所以4981+BD22，解得BD8或BD4，当BD4时，cosADB，此时ADB，不符合题意，舍去，当BD8时，cosADB，此时ADB，符合题意，13