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1、重点题型一：利用正余弦定理解三角形【问题分析】研究平面多边形的问题，主要是研究其边、角、面积之间的关系.而三角形是平面多边形最简单、最基础的几何图形，任何一个多边形都可以分割成多个三角形，所以我们学会了解三角形，对于平面多边形问题就迎刃而解了.高考数学中，解三角形一般在T17或T18，属于简单题型，主要是利用正余弦定理化简来解三角形或求三角形的面积与周长.所以只要能够熟练应用正余弦定理，对于此类题型都能够游刃有余,轻松解决.【知识回顾】正弦定理在三角形ABC中，若角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，则asinA=bsinB=csinC .余弦定理在三角形ABC中，若角A、B、C所对应的边分
2、别为a、b、c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC三角形中线定理在三角形ABC中，若角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，BC边上的中线为AD,则|AB|2+|AC|2=2(AD2+|BD|2)三角形角平分线定理在三角形ABC中，若角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，角A边上的角平分线为AD,则|AB|AC|=|BC|BD|三角形内角和定理A+B+C=三角形三边关系 1.两边之和大于第三边a+bc;a+cb;b+ca;2.两边之差小于第三边abc;acb;bca;三角形的面积公式(1)SABC=12aa(a为边a上的高)(2)SA
3、BC=12absin C=12bcsin A=12acsin B(3)SABC=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)(4)SABC=p(pa)(pb)(pc)(海伦公式，p=12(a+b+c)(5) SABC=2R2sinAsinBsinC (R为外接圆半径)三角形四心(1)重心：中线的交点 (2)内心：角平分线交点 (3)外心：中垂线交点 (4)垂心：高线的交点 【解题策略】三角形共有6个元素：三个角、三个边,已知其中几个元素求其余元素的过程叫解三角形，那么可以得到如下表：已知元素个数元素类型&解决方法解的个数4个直接利用正余弦定理求出其余元素即可唯一解3个三角：无数个解三边：利用
4、余弦定理求出三个角唯一解两角及任意一边：先利用三角形内角和，求出第三个角，在利用正弦定理求解唯一解两边及其一边对角：利用正弦定理求解无解/一解/两解两边及其夹角：利用余弦定理求解唯一解2个涉及到最值及范围的问题不确定解由上表可知，对于一个三角形，知道三个及三个以上元素（除三个角外），这个三角形有确定解.同时，我们也可以发现，三角形要有确定的解，至少知道一个边.【典例赏析】例 1：ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足2b2=3ac，求A试题分析：根据题中条件，结合三角形内角和为，即可得出角B，再由三边的关系，利用余弦定理即可求出角A.解析：A+B+C=, 2B=A+C B=3
5、又2b2=3ac,b2=a2+c22accosB a2+c2=52ac a=2c或c=2a cosA=b2+c2a22bc=0或32A=2或6例2：ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知ABC的面积为a23sinA求sinBsinC;若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.试题分析：已知三角形的面积，结合三角形面积公式即可求出sinBsinC.要求三角形周长，已知边长a，求出b+c即可。同时，已知cosBcosC结合，利用三角恒等式即可求出B+C，进而求出A，可得三角形面积，由余弦定理求出b+c.解析：由题设得12acsinB=a23sinA，即12csinB=a3sin
6、A.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.由题设及得cosBcosCsinBsinC=12,，即cosB+C=12.所以B+C=23，故A=3.又12bcsinA=a23sinA，即bc=8.由余弦定理得b2+c2bc=9，即b+c23bc=9，得b+c=33.故ABC的周长为3+33.例3：在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2b2c2).求cosA的值；求sin(2BA)的值.试题分析：由已知条件及正弦定理可以得到三角形边a、b、c之间的关系，由三边关系，可以利用余弦定理求出cosA.由可以
7、求出cosA、sinA、sinB、cosB,从而求出sin(2BA).解析：由asinA=4bsinB，及asinA=bsinB，得a=2b.由ac=5a2b2c2及余弦定理得cosA=b2+c2a22bc=55acac=55.由可得sinA=2sinB=255，sinB=55.由知，A为钝角，所以cosB=1sin2B=255.是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=12sin2B=35，故sin2BA=sin2BcosAcos2BsinA=455535255=255.例4：在ABC中，A=3,c=37a.求sinC的值；若a=7，求ABC的面积试题分析：利用正弦定理直接解决.已
8、知边a,c，求出sinB即可,sinB=sin(A+C).解析：A=3，c=37a，由正弦定理可得sinC=37sinA=3732=3314.若a=7，则c=3，CA，sin2C+cos2C=1可得cosC=1314sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=321314+123314=437SABC=12acsinB=1273437=63例5：ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍求sinBsinC；若AD=1，DC=22，求BD和AC的长试题分析：由已知可以AB=2AC，根据正弦定理可得sinBsinC结合及余弦定理很容易求得BD和AC.解析
9、：SABD=12ABADsinBAD，SACD=12ACADsinCAD，SABD=2SACD，BAD=CAD，AB=2AC由正弦定理可知sinBsinC=ACAB=12.BD:DC=SABD:SACD=2:1，DC=22，BD=2设AC=x，则AB=2x，在ABD与ACD中，由余弦定理可知，cosADB=AD2+BD2AB22ADBD=34x222，cosADC=AD2+CD2AC22ADCD=32x22，ADB+ADC=，cosADB=cosADC，34x222=32x22，解得x=1，即AC=1例6：ABC 的内角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知sinA+C=8sin2B2求cos
10、B；若a+c=6，ABC面积为2，求b试题分析：根据三角形内角和为，可以得出sinA+C=sinB,结合已知条件即可求出cosB.由及面积公式可求出ac,才利用余弦定理即可求出边b.解析：由已知sinA+C=sinB=8sin2B2所以2sinB2cosB2=8sin2B2,tanB2=14cosB=1tan2B21+tan2B2=1517;由可知sinB=817，SABC=12acsinB=2，ac=172，b2=a2+c22accosB=a2+c221721517=a2+c215=a+c22ac15=361715=4，b=2例7：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b223
11、3bcsinA+c2=a2.求角A；若a=23，2atanA=btanB+ctanC，求ABC的面积.试题分析：根据余弦定理可直接求出角A将条件中的正切化成正弦与余弦，即得角B与C之间的三角函数之间的关系，进而求出角B与C之间的三角函数之间的关系，进而求出角B与C，再由正弦定理求出边b，求出三角形面积.解析：由题意及余弦定理得b2+c2a2=2bccosA=233bcsinA，所以cosA=33sinA，从而tanA=3，因为A(0,)，所以A=3.由2atanA=btanB+ctanC，得2acosAsinA=bcosBsinB+ccosCsinC，所以由正弦定理得cosB+cosC=2co
12、sA=1.又因为B+C=23，所以cosB+cos23B=1，12cosB+32sinB=1，所以sinB+6=1又B0,，所以B=3，所以C=3.从而ABC是等边三角形.因为a=23，所以SABC=12absinC=33.例8：如图，已知AD是ABC内角BAC的角平分线用正弦定理证明：ABAC=DBDC；若BAC=120，AB=2，AC=1，求AD的长试题分析：证明ABAC=DBDC，即角平分线定理，在ABD与ACD内使用正弦定理，再由角BAD=CAD及ADB+ADC=即可得出结果.已知两边及一边的夹角，利用余弦定理即可求出.解析：AD是BAC的角平分线，BAD=CAD根据正弦定理，在ABD中，ABsinADB=BDsinDAB在ADC中，ACsinADC=DCsinDACsinADB=sinADC=sinADCABAC=DBDC根据余弦定理，cosBAC=BA2+AC2BC22ABAC,解得BC=7 又ABAC=DBDC=2，解得CD=73，BD=273；设AD=x，则在ABD与ADC中，根据余弦定理得，cos60=1+x2(73)22x=22+x2(273)24x解得x=23，即AD的长为237