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1、第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1.为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位解析因为ysin 3xcos 3xcos，要得到函数ycos的图象，可以将函数ycos 3x的图象向右平移个单位，故选C.答案C2.(2015广州期末)若函数f(x)sin axcos ax(a0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()A. B. C. D.(0，0)解析f(x)2sin，T2，a.f(x)2sin，当x时，f(x)0.故选B.答案B3.(2014湖南卷)已知函数f(x)si
2、n(x)，且f(x)dx0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x B.x C.x D.x解析由f(x)dx0，得sin(x)dx0，即cos (x)| 0，coscos 0，cos sin 0，cos0，k(kZ)，解得k，f(x)sin ，由xkk得x(kk)(k，kZ)，故选A.答案A4.(2015唐山期末)已知函数f(x)sin xcos x(0)，ff0，且f(x)在区间上递减，则()A.3 B.2 C.6 D.5解析f(x)2sin，ff0.当x时，f(x)0.k，kZ，3k1，kZ，排除A、C；又f(x)在上递减，把2，5代入验证，可知2.答案B5.(2015安徽卷)已知函
3、数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2)C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0，min，故f(x)Asin(2x).于是f(0)A，f(2)Asin(4)，f(2)AsinAsin，又44，其中f(2)AsinAsinAsin，f(2)AsinAsinAsin.又f(x)在单调递增，f(2)f(2)0，0).若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_.解析由f(x)在上具有单调性，得，即T；因为ff，所以f(x)的一条对称轴为
4、x；又因为ff，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为.所以T，即T.答案三、解答题9.(2015北京卷)已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值.解(1)因为f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.10.(2015咸阳模拟)已知函数f(x)Asin(A0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x.
5、当x时，h(x)有最小值为3，求a的值.解(1)由题意，得22.所以1.又A2g2tan 2tan 2，所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ).故f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)因为h(x)f2(x)2cos2x4sin22cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin，又h(x)有最小值为3，所以有32sin3，即sin.因为x，所以2x，所以2a，即a.11.(2015福建卷)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
6、再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)g(x)m在0，2)内有两个不同的解，.求实数m的取值范围；证明：cos()1.解法一(1)将g(x)cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y2cos x的图象，再将y2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y2cos的图象，故f(x)2sin x.从而函数f(x)2sin x图象的对称轴方程为xk(kZ).(2)f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依题意，sin(x)在0，2)内有两个不同的解，当且仅当1，故m的取值范围是(，).因为，是方程sin(x)m在0，2)内的两个不同的解.所以sin()，sin().当1m时，2，即2()；当m1时，2，即32().所以cos()cos 2()2sin2()1211.法二(1)同法一.(2)同法一.因为，是方程sin(x)m在0，2)内的两个不同的解.所以sin()，sin().当1m时，2，即()；当m1时，2，即3()；所以cos()cos().于是cos()cos()()cos()cos()sin()sin()cos2()sin()sin()1.7