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1、第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1.为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位解析因为ysin 3xcos 3xcos，要得到函数ycos的图象，可以将函数ycos 3x的图象向右平移个单位，故选C.答案C2.(2015豫西名校期末)若函数f(x)sin axcos ax(a0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()A. B. C. D.(0，0)解析f(x)2sin，T2，a.f(x)2sin，当x时，f(x)0.故选B.答案B3.(2015成都期末)把函数ysin
2、图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()A.x B.xC.x D.x解析由题意知ysinsincos 2x，验证可知x是所得图象的一条对称轴.答案A4.(2015唐山期末)已知函数f(x)sin xcos x(0)，f f 0，且f(x)在区间上递减，则()A.3 B.2C.6 D.5解析f(x)2sin，f f 0.当x时，f(x)0.k，kZ，3k1，kZ，排除A、C；又f(x)在上递减，把2，5代入验证，可知2.答案B5.函数f(x)sin(x)(xR)的部分图象如图所示，如果x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f 等于(
3、)A. B. C. D.1解析由图象可知，f f 0，得到f(x)的一条对称轴为x，所以x1x22，观察图象可知f 1，所以f 1.答案D二、填空题6.(2015陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.解析由题干图易得ymink32，则k5，ymaxk38.答案87.(2015湖北卷)函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_.解析f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2.令f(x)0，则sin 2xx2，则函数f(x)的零点个数即为函数ysin 2x与函数yx2的图象
4、的交点个数.作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.答案28.(2015天津卷)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_.解析f(x)sin xcos xsin，函数f(x)的图象关于直线x对称，f()sin，2k，kZ，即2k，kZ，又函数f(x)在区间(，)内单调递增，2，即2，取k0，得2，.答案三、解答题9.已知函数ycos2xsin xcos x1(xR)，问：该函数的图象可由ysin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到.解法一ycos2xsin xcos
5、 x1(2cos2x1)(2sin xcos x)1cos 2xsin 2xsin.法二化简同法一ysin.10.已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)因为0，sin ，所以，从而f()sinsin .(2)函数f(x)的最小正周期T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.11.(2015重庆卷)已知函数f(x)sin 2xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x时，求g(x)的值域.解(1)f(x)sin 2xcos2xsin 2x(1cos 2x).sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最小值为.(2)由条件可知，g(x)sin.当x时，有x，从而sin的值域为，那么sin的值域为.故g(x)在区间上的值域是.5