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1、第2讲空间中的平行与垂直的证明问题一、选择题1.(2015长沙模拟)已知m，n表示两条不同直线，表示平面.下列说法正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mnC.若m，mn，则nD.若m，mn，则n解析法一若m，n，则m、n可能平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错.法二如图，在正方体ABCDABCD中，用平面ABCD表示.A项中，若m为AB，n为BC，满足m，n，但m与n是相交直线，故A错.B项中，m，n，满足mn，这是线面垂直的性质，故B正确.C
2、项中，若m为AA，n为AB，满足m，mn，但n，故C错.D项中，若m为AB，n为BC，满足m，mn，但n，故D错.答案B2.(2015浙江卷)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A.若l，则 B.若，则lmC.若l，则 D.若，则lm解析对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即l，l，如果这两个条件存在，则.答案A3.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()A.l1l4 B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l
3、2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C，若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.答案D4.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A.BD平面CB1D1 B.A1CBDC.AC1平面CB1D1 D.AC1BD1解析因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以DD1BB1且DD1BB1，所以四边形DD1B1B为平行四边形，所以BDB1D1，因为BD面CB1D1，B1D1面CB1D1，所以BD平面CB1D1，故A正确；因为AA1面ABCD，BD面ABCD，所以AA1BD，因为ABCD为正方形，所以ACBD，因为A
4、CAA1A，所以BD面A1ACC1，因为A1C面A1ACC1，所以BDA1C，故B正确.同理可证得B1D1面A1ACC1，因为AC1面A1ACC1，所以B1D1AC1，同理可证CB1AC1，因为B1D1CB1B1，所以AC1平面CB1D1，故C正确，排除法应选D.答案D5.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面ABC解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD
5、45，BAD90，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故选D.答案D二、填空题6.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.则正确结论的序号是_.解析把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，则ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确.答案7.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点
6、.有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号).解析错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确，因为BC平面PAC.答案8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，ACEFG，现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体PAEF中必有_.APPEF所在平面；AGPEF所在平面；EPAEF所在平面；PGAEF所在平面.解析在折叠过程中，ABBE，ADDF保持不变. AP面PEF.答案三、解答题9.如图所示，已
7、知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.10.(2015秦皇岛模
8、拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.(1)证明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AE平面ABE，AEBC.又BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF.BCBFB，AE平面BCE.又BE平面BCE，AEBE.(2)解在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNM
9、GG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.11.(2015四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明：直线DF平面BEG.(1)解点F，G，H的位置如图所示.(2)解平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE为平行四边形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明连接FH，BD，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH，因为EG平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD，又DF平面BFHD，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.6