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1、第三节等比数列及其前n项和考点一等比数列的概念及性质1.(2015新课标全国，9)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A.2 B.1 C. D.解析由an为等比数列，得a3a5a，所以a4(a41)，解得a42，设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.选C.答案C2.(2012安徽，5)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则a5等于()A.1 B.2 C.4 D.8解析由题意可得，a3a11a16，a74.a51.答案A3.(2012北京，6)已知an为等比数列.下面结论中正确的是()A.a1a32a2 B.aa2
2、aC.若a1a3，则a1a2 D.若a3a1，则a4a2解析由等比数列性质，得aa2a1a32a，故选B.答案B4.(2015广东，13)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a52，c52，则b_.解析三个正数a，b，c成等比数列，b2ac(52)(52)1.b为正数，b1.答案15.(2014广东，13)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.解析由等比数列的性质可知a1a5a2a4a，于是，由a1a54得a32，故a1a2a3a4a532，则log2 a1log2 a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2
3、a3a4a5)log2325.答案56.(2013北京，11)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析根据等比数列的性质知a3a5q(a2a4)，q2，又a2a4a1qa1q3，故求得a12，Sn2n12.答案22n127.(2012广东，12)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_.解析在等比数列中，a2a4a1a5a，a1aa5a.答案8.(2012课标全国，14)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.解析由30，得1q2q3(1q)0，即q24q40，(q2)20，所以q2，故填2.答案29.(2015四川，16)设数列an(
4、n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，从而a22a1，a32a24a1，又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)得，所以Tn1.10.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求
5、数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，).设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，).数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.11.(2014福建，17)在等比数列an中，a23，a581.(1)求an；(2)设bnlog3an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公比为q，依题意得解得因此，
6、an3n1.(2)因为bnlog3ann1，所以数列bn的前n项和Sn.12.(2013天津，19)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3，4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)证明Sn(nN*).(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3，4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为an()n1(1)n1.(2)证明Sn1，Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.13.(201
7、3湖南，19)设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和.解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a，因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2.解得a22.当n2时，2an1Sn，2an11Sn1，两式相减，得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列.因此an2n1.所以数列an的通项公式an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2
8、n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.14.(2012重庆，16)已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值.解(1)设数列an的公差为d，由题意知解得a12，d2，所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得Snn(n1).因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以aa1Sk2.从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60.解得k6或k1(舍去).因此k6.考点二等比数列的前n项和1.(2015新课标全国，13)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若
9、Sn126，则n_.解析由an12an知，数列an是以a12为首项，公比q2的等比数列，由Sn126，解得n6.答案62.(2014大纲全国，8)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A.31 B.32 C.63 D.64解析法一设等比数列an的首项为a1，公比为q.若q1，则有Snna1，显然不符合题意，故q1.由已知可得两式相除得1q25，解得q24.故q2或q2.若q2，代入解得a11，此时S663.若q2，代入解得a13，此时S663.故选C.法二因为数列an为等比数列，若q1，则有Snna1，显然不符合题意，故q1.设其前n项和为SnAqnA.由题意可得，两式
10、相除得1q25，解得q24.代入解得A1.故Snqn1.所以S6q61(q2)3143163，故选C.法三设等比数列的公比为q.则S2a1a23，S4a1a2a3a4(1q2)(a1a2)(1q2)315，解得q24.故S6a1a2a3a4a5a6(1q2q4)(a1a2)(1442)363.故选C.答案C3.(2013新课标全国，6)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()A.Sn2an1 B.Sn3an2C.Sn43an D.Sn32an解析Sn32an，故选D.答案D4.(2013大纲全国，7)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A.6(131
11、0) B.(1310)C.3(1310) D.3(1310)解析3an1an0an1an，an是以为公比的等比数列.又a2，a14.S103(1310).故选C.答案C5.(2013广东，11)设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_.解析由数列an首项为1，公比q2，则an(2)n1，a11，a22，a34，a48，则a1|a2|a3|a4|124815.答案156.(2013辽宁，14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和.若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析x25x40的两根为1和4，又数列递增，所以a11，a34，q2.所以S
12、663.答案637.(2013江西，12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_.解析由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn2(12n)100，2n51，n6.答案68.(2012重庆，11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4_.解析由等比数列的前n项和公式S415.答案159.(2011北京，12)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；a1a2an_.解析由等比数列通项公式，得a4a1q3，4q3，q38，q2.Sna1a2an2n1.答案22n110.(2013四
13、川，16)在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和.解设该数列的公比为q，由已知可得a1qa12，得a1(q1)2.由4a1q3a1a1q2得q24q30，解得q3或q1.由于a1(q1)2，因此q1不合题意，应舍去.故公比q3，首项a11.数列的前n项和Sn.11.(2013湖北，19)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.解(1)设数列an的公比为q，则a10，q0，由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012，当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5.9