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1、第二节等差数列及其前n项和考点一等差数列的概念及性质1.(2014重庆，2)在等差数列an中，a12，a3a510，则a7()A.5 B.8 C.10 D.14解析由等差数列的性质得a1a7a3a5，因为a12，a3a510，所以a78，选B.答案B2.(2011重庆，1)在等差数列an中，a22，a34，则a10()A.12 B.14 C.16 D.18解析设ana1(n1)d，则由解得所以a10a19d18.故选D.答案D3.(2015安徽，13)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_.解析由已知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列.S99191827.
2、答案274.(2015陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析由题意设首项为a1，则a12 01521 0102 020，a15.答案55.(2013上海，1)在等差数列an中，若a1a2a3a430，则a2a3_.解析a1a2a3a42(a2a3)30，a2a315.答案156.(2013重庆，12)若2，a，b，c，9成等差数列，则ca_.解析设公差为d，则d，所以ca2d.答案7.(2012北京，10)已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a1，S2a3，则a2_；Sn_.解析设公差为d，则由a1，S2a3，得d，a21，所以Snn
3、a1dn.故填1，.答案18.(2014大纲全国，17)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式.(1)证明由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是(ak1ak)=(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.9.(2014浙江，19)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(
4、2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解(1)由题意知(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2.从而an2n1，Snn2(nN*).(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k11，故所以10.(2013新课标全国，17)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.解(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知()，从而数列的前n项和为.
5、11.(2013大纲全国，17)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由得解得a11，d.an的通项公式为an.(2)bn，Sn.12.(2013浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4，ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn，d0，由(1)得d1，ann11，则
6、当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110，综上所述：|a1|a2|a3|an|考点二等差数列的前n项和1.(2015新课标全国，7)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和.若S84S4，则a10()A. B. C.10 D.12解析由S84S4知，a5a6a7a83(a1a2a3a4)，又d1，a1，a1091.答案B2.(2015新课标全国，5)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A.5 B.7 C.9 D.11解析an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55
7、a35.故选A.答案A3.(2014天津，5)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A.2 B.2 C. D.解析由S1a1，S22a11，S44a16成等比数列可得(2a11)2a1(4a16)，解得a1.答案D4.(2014新课标全国，5)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()A.n(n1) B.n(n1) C. D.解析因为a2，a4，a8成等比数列，所以aa2a8，所以(a16)2(a12)(a114)，解得a12.所以Snna1dn(n1).故选A.答案A5.(2013安徽，7)设Sn
8、为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9等于()A.6 B.4 C.2 D.2解析由S84a3知：a1a8a3，a8a3a12da7d，所以a7d2.所以a9a72d246.答案A6.(2012福建，11)数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0解析T4，且cos 2cos 3cos 4cos 22，所以S2 01221 006.故选A.答案A7.(2011大纲全国，6)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k等于()A.8 B.7 C.6 D.5解析Sk2Sk24，
9、ak1ak224，a1kda1(k1)d24，2a1(2k1)d24，21(2k1)224.解得k5.答案D8.(2014江西，13)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.解析由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.答案9.(2011天津，11)已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*，若a316，S2020，则S10的值为_.解析由16a3a12d，20S2020a1d，即a1d1，解得a120，d2，所以S1010a1d20090110，故填110.答案11010.(2014重庆，16)已知an是首项为1，公差
10、为2的等差数列，Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn；(2)设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40.求bn的通项公式及其前n项和Tn.解(1)因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1.故Sn13(2n1)n2.(2)由(1)得a47，S416.因为q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，从而q4.又因b12，bn是公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1.从而bn的前n项和Tn(4n1).11.(2013新课标全国，17)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求
11、an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解(1)设an的公差为d.由题意，aa1a13，即(a110d)2a1(a112d).于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列.从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.12.(2013福建，17)已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围.解(1)数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，a1(a12)，即aa1
12、20，解得a11或a12.(2)数列an的公差d1，且S5a1a9，5a110a8a1，即a3a1100，解得5a12，故a1的取值范围为(5，2).13.(2012福建，17)在等差数列an和等比数列bn中，a1b11，b48，an的前10项和S1055.(1)求an和bn；(2)现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，依题意得S1010d55，b4q38，解得d1，q2.所以ann，bn2n1.(2)分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4).符合题意的基本事件有2个：(1，1)，(2，2)，故所求的概率P.8