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1、学科网（北京）股份有限公司北京市丰台区北京市丰台区 2021-2022 学年度第二学期综合练习（二）学年度第二学期综合练习（二）高三数学高三数学 202204第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1)，则复数z（）A.2iB.12iC.2iD.12i2.“1x”是“21x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2、3.函数22cos1yx是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为 2的奇函数D.最小正周期为 2的偶函数4.在622xx的展开式中，常数项为A.240B.60C.60D.2405.已知两条不同的直线 l，m 与两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若l，ml，则mB.若l，l，则C.若m，lm，则lD.若，l，则l6.小王每天在 6：30 至 6：50 出发去上班，其中在 6：30 至 6：40 出发的概率为 0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为 0.1；在 6：40 至 6：50 出发的概率为 0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为 0.2，则小王某天在
3、 6：30 至 6：50 出发上班迟到的概率为（）A.0.13B.0.17C.0.21D.0.37.已知0.53a，3log 2b，2tan3c，则（）A.abcB.bacC.cabD.acb8.设等差数列 na的前 n 项和为nS若230SS，则下列结论中正确的是（）学科网（北京）股份有限公司A.30a B.210aaC.230aaD.435aaa9.已知偶函数 f x在区间0,上单调递减若 lg1fxf，则 x 的取值范围是（）A.1,110B.10,1,10C.1,1010D.10,10,1010.已知双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的左、右顶点分别为1A，2A，左、右焦点分
4、别为1F，2F 以线段12A A为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，2A M与另一条渐近线平行 若121FM，则22MA F的面积是（）A.3 32B.7 32C.3 34D.7 34第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.已知向量2,3a ，6,bmr若ab，则m_12.已知抛物线 C：28xy，则抛物线 C 的准线方程为_13.在ABC中，2a，3b，2AB，则cosB _14.在平面直角坐标系中，已知点2,2M，动点 N 满足1NM，记 d 为点 N 到直线
5、 l：120 xmym 的距离当 m 变化时，直线 l 所过定点的坐标为_；d 的最大值为_15.如图，某荷塘里浮萍的面积 y（单位：2m）与时间 t（单位：月）满足关系式：lntyaa（a 为常数），记 yf t（0t）给出下列四个结论：学科网（北京）股份有限公司设*Nnaf nn，则数列 na是等比数列；存在唯一的实数01,2t，使得 021ffft成立，其中 ft是 f t的导函数；常数1,2a；记浮萍蔓延到22m，23m，26m所经过的时间分别为1t，2t，3t，则123ttt+其中所有正确结论的序号是_三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步
6、骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AAAB，D 为 BC 的中点，平面11AC D 平面ABCDP（1）求证：11ACDP；（2）求平面11AC D与平面1AAD夹角的余弦值18.已知数列 na的前 n 项和为nS，在条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列1na的前 n 项和为nT若对任意*nN，不等式nTm恒成立，求 m 的最小值条件：11a 且1202nnaan；学科网（北京）股份有限公司条件：21nnS；条件：21nnaS注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20.某商
7、家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有 8张相同的卡片，其中 4 张卡片上印有“幸”字，另外 4 张卡片上印有“运”字消费者从该纸箱中不放回地随机抽取 4 张卡片，若抽到的 4 张卡片上都印有同一个字，则获得一张 10 元代金券；若抽到的 4 张卡片中恰有3 张卡片上印有同一个字，则获得一张 5 元代金券；若抽到的 4 张卡片是其他情况，则不获得任何奖励（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的 4 张卡片上都印有“幸”字的概率；（2）记随机变量 X 为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求 X 的分布列和数学期望E X；（3）该商家规定，
8、消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付 3 元若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由22.已知函数 1xaxfxe（1）当1a 时，求 f x的单调区间和极值；（2）当1a 时，求证：11f xax；（3）直接写出 a 的一个取值范围，使得211f xaxax（）恒成立24.已知椭圆 C：222210 xyabab经过点2,1P，P 到椭圆 C 的两个焦点的距离和为4 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）设4,0Q，R 为 PQ 的中点，作 PQ 的平行线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，直线 AQ 与椭圆 C交于另一点 M，直线 BQ 与椭圆 C 交于另一点
9、 N，求证：M，N，R 三点共线26.设111,Ia b，222,Ia b，,nnnIa b，111,nnnIab，是*1Nnn个互不相同的闭区间，若存在实数0 x使得01,2,1ixI in，则称这1n个闭区间为聚合区间，0 x为该聚合区间的聚合点（1）已知11,3I，22,sin0Itt 为聚合区间，求 t 的值；（2）已知111,Ia b，122,Ia b，,nnnIa b，111,nnnIab为聚合区间（）设0 x，0y是该聚合区间的两个不同的聚合点求证：存在 k，1,2,1jn，使得学科网（北京）股份有限公司,1,2,1kjia bIin；（）若对任意 p，q（pq且 p，1,2,1
10、qn），都有pI，qI互不包含求证：存在不同的 i，121jn，使得1ijiinbaban学科网（北京）股份有限公司北京市丰台区北京市丰台区 2021-2022 学年度第二学期综合练习（二）学年度第二学期综合练习（二）高三数学高三数学 202204第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1)，则复数z（）A.2iB.12iC.2iD.12i【1 题答案】【答案
11、】A【解析】【分析】根据复数z对应的点的坐标是(2,1)，可直接求得复数z，再利用共轭复数的概念求解.【详解】由复数z对应的点的坐标是(2,1)，可得2zi，故2zi，故选：A.2.“1x”是“21x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【2 题答案】【答案】A【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案.【详解】解：因为“1x”能推出“21x”，而“21x”推不出“1x”，所以“1x”是“21x”的充分不必要条件.学科网（北京）股份有限公司故选：A.3.函数22cos1yx是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期
12、为的偶函数C.最小正周期为 2的奇函数D.最小正周期为 2的偶函数【3 题答案】【答案】B【解析】【分析】由倍角公式可得22cos1cos2xx，可求周期；再由cos2cos2xx可得奇偶性.【详解】由倍角公式可得22cos1cos2yxx，所以周期为.又cos2cos2,xxQ22cos1yx是偶函数.故选：B.【点睛】本题考查倍角公式的逆用和函数的奇偶性，属于基础题.4.在622xx的展开式中，常数项为A.240B.60C.60D.240【4 题答案】【答案】D【解析】【分析】写出622xx展开式的通项，整理后令x的指数为0，得到项数，然后计算出常数项，得到答案.【详解】622xx的二项展
13、开式的通项为6212 316622rrrrrrrTCxCxx其常数项为，令1230r得4r 即44562240TC故选 D 项.【点睛】本题考查二项展开式的通项，求二项展开式中的常数项，属于简单题.学科网（北京）股份有限公司5.已知两条不同的直线 l，m 与两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若l，ml，则mB.若l，l，则C.若m，lm，则lD.若，l，则l【5 题答案】【答案】B【解析】【分析】根据空间中线面、面面的判定定理与性质定理一一判断即可；【详解】解：由两条不同的直线l，m与两个不同的平面，知：对于 A，若/l，lm，则m与平行或m或m与相交或m，故 A 错误；对于 B，若
14、l，l/，则由面面垂直的判定定理得，故 B 正确；对于 C，若m，lm，则/l或l，故 C 错误；对于 D，若，l，则/l或l，故 D 错误故选：B6.小王每天在 6：30 至 6：50 出发去上班，其中在 6：30 至 6：40 出发的概率为 0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为 0.1；在 6：40 至 6：50 出发的概率为 0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为 0.2，则小王某天在 6：30 至 6：50 出发上班迟到的概率为（）A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3【6 题答案】【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式计算即可得解.【详解】解：由题意在 6：30 至 6：
15、50 出发上班迟到的概率为0.3 0.10.7 0.20.17.故选：B.7.已知0.53a，3log 2b，2tan3c，则（）A.abcB.bacC.cabD.acb【7 题答案】【答案】A【解析】学科网（北京）股份有限公司【分析】根据指数、对数函数的单调性，将 a，b，c 与 0 或 1 比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a，3330log 1log 2log 31，所以01b，又2tan33c，所以abc.故选：A8.设等差数列 na的前 n 项和为nS若230SS，则下列结论中正确的是（）A.30a B.210aaC.230aaD.435aaa【8 题答案】【答案】
16、D【解析】【分析】根据230SS，可得30a，20a，从而可判断 AB，举出反例即可判断 C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断 D.【详解】解：因为230SS，所以3230SSa，故 A 错误；3230Sa，所以20a，则公差32210daaaa，故 B 错误；所以等差数列 na为递增数列，则450,0aa，35aa，则35352aaaa，所以4353522aaaaa，所以435aaa，故 D 正确；对于 C，当13,2ad 时，231,1aa，23430SS 。此时230aa，故 C 错误.学科网（北京）股份有限公司故选：D.9.已知偶函数 f x在区间0,上单调递减若 lg1fxf
17、，则 x 的取值范围是（）A.1,110B.10,1,10C.1,1010D.10,10,10【9 题答案】【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的对称性得到 f x在区间,0上单调递增，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：偶函数 f x在区间0,上单调递减，所以 f x在区间,0上单调递增；则 lg1fxf等价于lg1x，即1lg1x，即1lglglg1010 x，解得11010 x，即原不等式的解集为1,1010；故选：C10.已知双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的左、右顶点分别为1A，2A，左、右焦点分别为1F，2F 以线段12A
18、A为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，2A M与另一条渐近线平行 若121FM，则22MA F的面积是（）A.3 32B.7 32C.3 34D.7 34【10 题答案】【答案】C【解析】【分析】求得以线段12A A为直径的圆的方程为222xya，与渐近线byxa联立求出点M的坐标，根据2A M与另一条渐近线平行可求出,a b c的关系，然后根据121FM，即可求出,a b c的值，从而可得出答案.学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意12,0,0AaA a，12,0,0FcFc，则以线段12A A为直径的圆的方程为222xya，联立222xyabyxa，解得2a
19、xcabyc或2axcabyc ，又因点 M 在第一象限，所以2,aabMcc，因为2A M与直线byxa 平行，所以2abbcaaac，即bbaca，所以2ca，则22223bcaa，因为222121aabFMccc，所以22252122aba，即222225253214444abaa，所以23a，则2212,9cb，所以3 3,22M，223,0,2 3,0AF，所以22133 32 33224MA FS.故选：C.学科网（北京）股份有限公司第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.已
20、知向量2,3a ，6,bmr若ab，则m_【11 题答案】【答案】4【解析】【分析】依题意可得0a b，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为2,3a ，6,bmr且ab，所以2630a bm ，解得4m；故答案为：412.已知抛物线 C：28xy，则抛物线 C 的准线方程为_【12 题答案】【答案】2y 【解析】【分析】根据抛物线的方程求出p的值，进一步得出答案.【详解】因为抛物线2:8C xy，所以28p，4p 所以C的准线方程为2y .故答案为：2y 学科网（北京）股份有限公司13.在ABC中，2a，3b，2AB，则cosB _【13 题答案】【答案】33【解析】【
21、分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.【详解】解：在ABC中，由正弦定理可得sinsinabAB，即23sin2sinBB，即232sincossinBBB，所以3cos3B.故答案为：33.14.在平面直角坐标系中，已知点2,2M，动点 N 满足1NM，记 d 为点 N 到直线 l：120 xmym 的距离当 m 变化时，直线 l 所过定点的坐标为_；d 的最大值为_【14 题答案】【答案】.(1,2).6【解析】【分析】对直线方程变形可求出直线 l 所过定点P的坐标，由题意可得动点 N 在以2,2M为圆心，1 为半径为圆上，所以当MPl时，点 N 到直线 l 的距离最大，最大值为
22、1MP【详解】由120 xmym，得1(2)0 xm y，则1020 xy，得12xy，所以直线 l 所过定点(1,2)P，因为点2,2M，动点 N 满足1NM，所以动点 N 在以2,2M为圆心，1 为半径为圆上，学科网（北京）股份有限公司所以当MPl时，点 N 到直线 l 的距离最大，所以 d 的最大值为221(21)(22)16MP ，故答案为：(1,2)，615.如图，某荷塘里浮萍的面积 y（单位：2m）与时间 t（单位：月）满足关系式：lntyaa（a 为常数），记 yf t（0t）给出下列四个结论：设*Nnaf nn，则数列 na是等比数列；存在唯一的实数01,2t，使得 021ff
23、ft成立，其中 ft是 f t的导函数；常数1,2a；记浮萍蔓延到22m，23m，26m所经过的时间分别为1t，2t，3t，则123ttt+其中所有正确结论的序号是_【15 题答案】【答案】【解析】【分析】根据 01f、36f求出a的取值范围，即可判断，再根据等比数列的定义判断，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断；【详解】解：依题意 lntf taa，因为 00ln1faa，所以0ea且1a，又 33ln6faa，所以ln0a，所以1ea，即1,ea，令 3lnh aaa，1,ea，则 223ln0h aaaa，学科网（北京）股份
24、有限公司则 3lnh aaa在1,ea上单调递增，又 322 ln26h，所以2,ea，故错误；由已知可得 lnnnaf naa，则111lnnnaf naa，11lnafaa，所以11lnlnnnnnaaaaaaa，所以 na是以lnaa为首项，a为公比的等比数列，故正确；令 lntf taa，则 2lntftaa，22lnfaa，1lnfaa，令 0220lnlnlntg taaaaaa，则 030lntg taa，01,2t，因为2,ea，所以 030ln0tg taa，即 0220lnlnlntg taaaaaa，在01,2t 上单调递增，因为2,ea，所以ln0aa，ln10a，ln
25、0aa，令 ln1aaa，2,ea，则 1110aaaa，所以 ln1aaa，在2,ea上单调递减，且 2ln22 1ln2 10 ，即 ln10aaa，令 ln1H aaaa，2,ea，则 ln0Haa，所以 ln1H aaaa在2,ea上单调递增，又 22ln22 12ln2 10H ，所以 ln10H aaaa，所以 221lnlnlnlnlnlnlnln10gaaaaaaaaaaaaaaaa，22222lnlnlnlnln1lnlnln10gaaaaaaaaaaaaa aaa，故存在01,2t 上，00g t，故正确；依题意12lntaa、23lntaa、36lntaa，所以12122
26、2 3lnlnlnttttaa aaaa，所以122ln6ttaa，则1232ln1lntttaaaa，即123ln1tttaa，所以1231lnlnlnattta，因为2,ea，所以ln2ln1a，所以1112lnln2aa，所以1lnln01lnaa，学科网（北京）股份有限公司所以1230ttt，即123ttt+，故正确；故答案为：三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AAAB，D 为 BC 的中点，平面11AC D 平面ABCDP（1）求证：11A
27、CDP；（2）求平面11AC D与平面1AAD夹角的余弦值【16 题答案】【答案】（1）证明见解析（2）2 5719【解析】【分析】（1）利用面面平行证明线线平行；（2）建立空间直角系，分别求出平面11AC D与平面1AAD的法向量，利用cos,s ts ts t 求出答案.【小问 1 详解】连接1AP，平面ABC平面111ABC，平面ABC 平面11AC DP DP，平面111ABC 平面11AC DP 11AC，11ACDP.学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】设1AAAB=2m以 D 为坐标原点，AD 为 x 轴，CD 为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,(0,0,0)D，
28、(3,0,0)Am，1(3,0,2)Amm，1(0,2)Cmm设平面11AC D的法向量为(1,)sy z1(3,0,2)DAmm，1(0,2)DCmm 联立方程1132020s DAmmzs DCymmz 解得：3y ，32z 3(1,3,)2s 同理求得平面1AAD的法向量(0,1,0)t 32 57cos,19192s ts ts t 平面11AC D与平面1AAD夹角的余弦值的余弦值为2 5719.18.已知数列 na的前 n 项和为nS，在条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列1na的前 n 项和为nT若对任意
29、*nN，不等式nTm恒成立，求 m 的最小值条件：11a 且1202nnaan；条件：21nnS；条件：21nnaS注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【18 题答案】【答案】（1）12nna-=（2）2【解析】【分析】（1）选条件：由等比数列通项公式直接可得；选条件：利用na与nS的关系可得；选条件：先由na与nS的关系先得递推公式，然后由等比数列通项公式直接可得.（2）由等比数列求和公式求和后可得.【小问 1 详解】选条件：因为11a，且1202nnaan，即12nnaa所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以12nna-=.选条件：当1n 时，111aS当2n时
30、，111121(21)222nnnnnnnnaSS 因为当1n 时，上式也成立，所以12nna-=.选条件：因为21nnaS，得21nnSa当1n 时，1121aS，得11a 当2n时，11121(221)2nnnnnnnaSSaaaa 学科网（北京）股份有限公司整理得12nnaa所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以12nna-=.【小问 2 详解】由（1）知，1112nna，记1112nnnba因为112112122nnnnbb，10112b 所以 nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列所以111()12221212nnnT所以 m 的最小值为 2.20.某商家为了促
31、销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有 8张相同的卡片，其中 4 张卡片上印有“幸”字，另外 4 张卡片上印有“运”字消费者从该纸箱中不放回地随机抽取 4 张卡片，若抽到的 4 张卡片上都印有同一个字，则获得一张 10 元代金券；若抽到的 4 张卡片中恰有3 张卡片上印有同一个字，则获得一张 5 元代金券；若抽到的 4 张卡片是其他情况，则不获得任何奖励（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的 4 张卡片上都印有“幸”字的概率；（2）记随机变量 X 为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求 X 的分布列和数学期望E X；（3）该商家规定，消费者若
32、想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付 3 元若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由【20 题答案】【答案】（1）170（2）分布列见解析，187E X（3）不愿意，理由见解析【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意X的可能取值为0、5、10，求出所对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望；学科网（北京）股份有限公司（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则3YX，根据期望的性质求出 E Y，即可判断；【小问 1 详解】解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4 张卡片上都印有“幸”字”为事件A，则 4811C70P A，所以某位消费者在
33、一次抽奖活动中抽到的 4 张卡片上都印有“幸”字的概率为170；【小问 2 详解】解：依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10；则224448CC180C35P X，3131444448CCCC165C35P X，4004444448CCCC110C35P X，所以X的分布列为：X0510P18351635135所以116181810503535357E X 【小问 3 详解】解：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则3YX，所以 183333077E YE XE X，所以我不愿意再次参加该项抽奖活动；22.已知函数 1xaxfxe（1）当1a 时，求 f x的单调区间和极值；（2
34、）当1a 时，求证：11f xax；（3）直接写出 a 的一个取值范围，使得211f xaxax（）恒成立【22 题答案】学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）f x的单调递增区间为,0，单调递减区间为0,，在0 x 处取得极大值，且极大值为 1；（2）证明见解析；（3）答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）求导判断函数的单调性，进而可求出极值；（2）构造函数 1g11xaxxaxe，求出函数的最大值即可得出结论；（3）将211f xaxax（）变形为11xxxxax xeexee，分别证得1xxx xee与1xxxee恒非负，即可得出结论.【小问 1 详解】当1a 时，1xxf xe，
35、则 21xxxxexexfxee，令 0fx，即0 x，所以当0 x 时，0fx，f x单调递增；当0 x 时，0fx，f x单调递减；因此 f x在0 x 处取得极大值，00 101fe，所以 f x的单调递增区间为,0，单调递减区间为0,，在0 x 处取得极大值，且极大值为 1；【小问 2 详解】要证 11f xax，即证1110 xaxaxe，因此设 1g11xaxxaxe，则 1111xxxaaxaeaaxgxaee，令 11xm xaaxae，则 1xm xaae ，因为1a，所以 10 xm xaae ，因此 m x单调递减，且 00110maae，所以,0 x 时，0m x；当0
36、,x时，0m x；即,0 x 时，0gx；当0,x时，0gx；所以 g x在,0 x 上单调递增，在0,x上单调递减，所以 g x在0 x 处取得极大值也是最大值，且 01g 010e，故1110 xaxaxe.【小问 3 详解】学科网（北京）股份有限公司要证211f xaxax（），即证2111xaxxaxea，也即是211xxxaxeaxaeex，即证11xxxxax xeexee，令 1xxG xxee，则 xGxxe，当0 x 时，0Gx，即 G x单调递增；当0 x 时，0Gx，即 G x单调递减；所以 min00G xG，故10 xxxee，令 21xxxxH xx xeex ex
37、ex，则 2311xHxxxe令 2311xM xxxe，则 254xMxxxe，0Mx，则124,1xx 所以4x 和1x 时，0Mx，则 M x单调递增，41x 时，0Mx，则 M x单调递减，且44510Me，1110Me ，0010Me，因此0 x 时，0M x，即 23110 xHxxxe，所以 H x单调递减，0 x 时，0M x，即 23110 xHxxxe，所以 H x单调递增，所以 min00H xH，即10 xxx xee因此当0a 时，211f xaxax（）恒成立.【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，
38、解不等式即可；构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.24.已知椭圆 C：222210 xyabab经过点2,1P，P 到椭圆 C 的两个焦点的距离和为4 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）设4,0Q，R 为 PQ 的中点，作 PQ 的平行线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，直线 AQ 与椭圆 C交于另一点 M，直线 BQ 与椭圆 C 交于另一点 N，求证：M，N，R 三点共线【24 题答案】学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）22182xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，可求得 a 值，将 P 点坐标代入，即可求得2b，即
39、可得答案.（2）由题意可得 R 点坐标和直线 PQ 的斜率，即可设直线 l 的方程为12yxm，1122(,),(,),(,),(,)mmnnA x yB xyM xyN xy，可得直线 AQ 的方程为1144yyxx，与椭圆联立，即可求得,mmyx表达式，同理可得,nnyx表达式，即可求导直线 MN 的斜率，再求得直线 MR 的斜率，分析即可得证.【小问 1 详解】根据椭圆的定义可得24 2a，解得2 2a，又过点2,1P，所以22411ab，解得22b，所以椭圆 C 的方程为22182xy.【小问 2 详解】因为2,1P，4,0Q，所以13,2R，1 01242PQk，设直线 l 的方程为
40、12yxm，1122(,),(,),(,),(,)mmnnA x yB xyM xyN xy，所以1212,44AQBQyykkxx，所以直线 AQ 的方程为1144yyxx，直线 BQ 的方程为2244yyxx，联立直线 AQ 与椭圆112244182yyxxxy，消去 x 可得22111148(4)480 xxyyyy，学科网（北京）股份有限公司所以1112118(4)44mxyyyxy，又2211182xy代入，整理可得1111118(4)2483mxyyyyxx，代入直线 AQ，可得11833mxxx同理可得223nyyx，22833nxxx，所以2112212112122121212
41、12111333()332283832233MNyyxxmxxmxxyyx yx ykmxxxxxxxx又1111111111113323222833833(3)233mMRMNmyxmxyxkmkxxxxx，所以 M，N，R 三点共线26.设111,Ia b，222,Ia b，,nnnIa b，111,nnnIab，是*1Nnn个互不相同的闭区间，若存在实数0 x使得01,2,1ixI in，则称这1n个闭区间为聚合区间，0 x为该聚合区间的聚合点（1）已知11,3I，22,sin0Itt 为聚合区间，求 t的值；（2）已知111,Ia b，122,Ia b，,nnnIa b，111,nnn
42、Iab为聚合区间（）设0 x，0y是该聚合区间的两个不同的聚合点求证：存在 k，1,2,1jn，使得,1,2,1kjia bIin；（）若对任意 p，q（pq且 p，1,2,1qn），都有pI，qI互不包含求证：存在不同的 i，121jn，使得1ijiinbaban【26 题答案】【答案】（1）2t（2）证明见解析【解析】学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意可得当且仅当sin1t 时成立即可得2t；（2）（）设00 xy，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含00,xy即可；（）先分析可得1n个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设121.naaa，再根据区间端点的最小距离为l
43、，累加即可证明1ijiinbaban【小问 1 详解】由0t 可得0sin1t，又1I，2I为聚合区间，由定义可得12II ，故当且仅当sin1t 时成立，故2t【小问 2 详解】（）由0 x，0y是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设00 xy，因为01,2,1ixI in，故1210,.na aax，又01,2,1iyIin，故0121,.nyb bb，不妨设121,.na aa中的最大值为ka，121,.nb bb中最小值为jb，则12100121,.,.nkjna aaaxybb bb，即121121,.,.nkjna aaabb bb，故存在区间,1,2,1kjia bIin（）若存
44、在,staast则stII或tsII，与已知条件矛盾不妨设121.naaa，则11,2,.kkbbkn否则，若1kkbb，则1kkII，与已知条件矛盾取2132121321min,.,.nnnnlaa aaaa bb bbbb，设121mn，当1mmaal时，1121.1mmmbbbbbbml，111.1nmnnmmaaaaaanml又11nba，所以110nab，所以 11mmmnmbabbaanl，即1mmmmbaaan，所以111mmmmmmmmnbabaaaban，此时取,1im jm，则1ijiinbaban，当1mmbbl时，同理可取1,imjm，使得1ijiinbaban，综上，存在不同的 i，121jn，使得1ijiinbaban【点睛】本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需学科网（北京）股份有限公司证明的不等式即可,属于难题