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1、北京市朝阳区2022-2023学年高三下学期一模考试数学2 0 2 3.3(考试时间1 2 0分钟 满 分1 5 0分)本试卷分为选择题40分和非选择题1 1 0分第 一 部 分(选 择 题 共40分)一、选择题共1 0小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合人=刈/W 4,集合8=x|x 0 ,则4 B=(A)S，-2 (B)-2,0)(C)-2,+oo)(D)(0,2(2)若a 0 6,则(A)/(B)a b(C)-0a b(3)设(l +x)=o+。%+2工2 +anxn,若 2=%，则=(A)5 (B)6(C)7(D)8(4)已知点A
2、(-l,0),3(1,0).若 直 线 =依-2上存在点P,使得NAP 3=90。，则实数k的取值范围是(A)(-8,-方 (B)后,+8)(C)Y 市 1(D)(-00,f V 3,+0,b 0)的右焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为A.若N4R 9=2 NAOFa-b-(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(A)(B)(C)2 (D)组 或22 3 3(7)在长方体A8C -A g G A中，A G与平面A 3。相交于点加，则下列结论一定成立的是(A)A M L B D(B)AM L B D(C)A M =-M Ct(D)M B=M D(8)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到
3、的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,/(*)=$抽犬+1 1 2*61),则下列结论正确的是(A)F(x)的一个周期为兀(B)F(x)的最大值为32(C)/(X)的图象关于直线=兀对称(D)/(x)在区间0,2河上有3个零点(9)如图，圆M为 ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边8 c的中点，则=(A)5(B)1 0(C)1 3(D)2 6(1 0 )已 知 项 数 为k(k e N)的 等 差 数 列 a满 足 4=1 ,*W a“(=2,3,k).若4+&+a =8,则左的最大值是(A)1 4(B)1 5 (C)1 6(D)1 7第(9)题第二部分(非选择题 共 1 1
4、0 分)二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 2 5 分。(1 1)若 2=上，则|刃=.1+1log,X,(1 2)函数x)=5 的 值 域 为 一.3,x/a f),y(f)=Yo c o sh(x/i i f e/)-si n h(V o r),其中正实数X。，为分别为红、蓝两方初始兵力，为战斗时间；x(t),y分别为红、蓝两方f 时刻的兵力；正实数，。分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数：c o shx =Q 和2si n hx =分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0 时战斗2演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T.给出下列四个结论
5、：若 X%且则 x(f)y(f)(0q wT)；若 X。%且则T =Un序 士 4；a 丫 X。-%Xo b 若/一，则红方获得战斗演习胜利;to aY 若 黄 丫 0,则红方获得战斗演习胜利.a其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6 小题，共 8 5 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题14 分)如图，在三棱柱A B C-A B|G 中，叫 _ 1平面A 8 C,0,E分别为AC,的中点，A B=B C =45,A C -A A1-2.(I )求证：A C _ L 平面8 D E；(ID求直线DE与平面4阳所成角的正弦值;(I I I)求点。到平面A 班 的 距离.
6、(17)(本小题13分)设函数f(x)=A si n yx c o s 0,f t 0),从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得/(x)存在.(I )求函数/(x)的解析式；(H )求f W在区间 0,上的最大值和最小值.条件：/(x)=/(x)；条件：/(x)的最大值为3；2T C条件：/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为5.注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.(1 8)(本小题13分)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干.为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随
7、机抽取了 500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男牛.200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立.(I)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(H)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望欧；(I I I)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为Po；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为化；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到
8、的学生获奖的概率为P 2,试比较Po与包产的大小.(结论不要求证明)(1 9)(本小题15分)已知函数/。)=/一-1 (e R).(I)求/(x)的单调区间；(II)若/(x)0对xe(0,+)恒成立，求a的取值范围；(H I)证明：若/(x)在区间(0,m)上存在唯一零点看,则/a-2.(2 0)(本小题15分)已知椭圆E:二+匕=1(0 .乂 B D D E=D,所以A C _ L 平面瓦明.(I I )由(I )知 A C _ L E E,AC BD,D E/AA,.又 4 4 1 _ L 平面A 8 C,所以。E _ L 平面因为3Ou平面/W C,所以D E L B D.所以两两垂
9、直.如图建立空间直角坐标系D-xyz,则 D(0,0,0),4(1,0,0),8(0,2,0),5(0,0,2).所 以 加=(0,0,2),A B =(-1,2,0),A =(-1,0,2).设平面的一个法向量为机=(x,y,z),则m AB=0,即机,AE 0,一 x +2y=0,一 x +2z =0.令 y=l,则x=2,z=l.于是m=(2,1,1).设 直 线 与 平 面 4 正所成角为a,则sina=|cos，费|=1 1 =渔|m|D E|6所以直线DE与平面A B E所成角的正弦值为(I I I)因为直线DE与平面E所成角的正弦值为逅6迈6分所以点O到平面A 3 E的距离为d
10、=OE,si n c =逅.1 4分3(1 7)(本小题1 3分)解：选条件.(I )/(x)=A si n(ox c o s cox+c o s2 a)x=-sin2 cox+2C OS 2 5+12I 42 1 1 A 1=J-si n(2s+e)+(其中 cos(p=,si n =-).v 4 2 7 1 77根据条件可知，函数条x)的最大值为+4=3.V 4 2 2又A0，所以A =Q.根据条件可知，函数/(x)的最小正周期为7=三=兀，所以。=1.2 coJ T 1所以/(x)=si n(2x +7)+；?.7 分(I I)由 O W xW 二，得巴 吗也.1 3 分(1 9)(本小
11、题1 5 分)解：(I)因为/(x)=e -a x-l(x e R),所以尸(x)=2/*-a .若”0,则r(x)0,所以/(X)在区间(Y Q,yo)上单调递增.若 a 0 ,令 f(x)-0,W x =I n .2 2当 X(-o o ln 3)时，f(x)0,2 2所以x)在区间(g 呜,+o o)上单调递增.综上，当“W 0 时，x)的单调递增区间为(YO,*O)；当。0 时，/(x)的单调递减区间为(v，ln),单调递增区间为(工小三,”).2 2 2 2.5 分(H)若 W 2,当 x 0 时，2e2 r 2,ff(x)=2 e2 x-a 0 f则/(x)在区间(0,位)上单调递
12、增.所以f(x)/(0)=0.所 以 符 合 题 意.若。2,则一I n 0.2 2由(I )可知f(x)在区间(0ln )上单调递减，2 2所以当x e吗 呜)时，/(x)2,x0 0 e2-1 =0,即。=-./欲证：x0 a-2 f_ e2 t _ 1只需证：x()(x0+1)2,即证：e%.+l.由(I I)知，e2，2 x-l 0在区间(。，物)上恒成立，所以e*-x-l 0在区间(。，田)上恒成立.所以e%x0+1 .所以与 a-2.15分(2 0)(本小题15分)解：(I)因为椭圆日土+工=1(0 ().设”(芭，乂)，N(x2,y2),则 y+%=X%=m+2 m+2直线4M的
13、方程为丫=三 七(x+2).令 x=4,得 y=4,则。(4,4).%+2+2所以直线N Q的斜率为牖o-必,+2 =6 9一%(3+2)4%(4 x2)(Xj+2)且左NQ工。.所以直线N Q的方程为y-=6%-%1+2%_ ).(4 x2)(再 +2)令y=0,则彳=4 _2(4口)U-t?-6%-y 2 a+2)=6-y2 a +2)-%(4-x?)(%+2)6%-%(%+2)=6-4%(/+2)6y,-y2(x,+2)=6(加%+1)-4%(%y+3)6.K-必(阳i+3)=2,盯)，2+6,-1 2%-myty2+6yt-3 y22/n(-)+6(-4 )-1 8 _ _ _ _ _
14、 _疗+2 疗+2_/3、2机、八_皿 2+6(2-9%/%+2 nt+2 18/?18(/?2+2)y2 一2 9m 9(m2+2)y2所以直线NQ过定点(2,0).15分（21）（本小题15分）解：（I）数列A是3-连续等项数列，不是4-连 续等项数列.理由如下：因 为%+A=%+*（%=。/，2）,所以A是3-连续等项数列.因为4，4为一1，1，。，1 ；%,%,44，。5 为 1，0，1，0；%,。4，%，4 为，1，。，1 ;%，%,4，%为 1，1，-1，所以不存在正整数s/G,D,使得*=%（*=0,1,2,3）.所以A不是4-连续等项数列.4分（H）设集合S=y）|x T 0,
15、l,y w -1,0,1,则S中的元素个数为3?=9.因为在数列 A 中，4 一1,0 。=1，2,N为 所 以（如 ）S（i=l,2,7V-1）.若N A I ,则N 1210 9.所以在（4,2），（。2，），（%，4），（。心/）这N-1个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数s （s w，），使 得%=%4+1=%.所以当项数N，l l时，数列A一定是2-连续等项数列.若N=3,数列0,0,1不是2-连续等项数列.若 N =4,数列0,0,1,1不是2-连续等项数列.若N=5,数列Q0,1,1,0不是2-连续等项数列.若N=6,数列0,0,1,1,0,-1不是2-连续等项数列
16、.若N=7,数列0,0,1,1,0,-1,1不是2-连续等项数列.若N=8 ,数列0,0,1,1,0,-1,1,-1不是2-连续等项数列.若N=9,数列0,0,L L 0,L L 1,-1不是2-连续等项数列.若N=1 0,数列0,0,1,1,0,-1,1,-1,-1,0不是2-连续等项数列.所以N的最小值为1 1.9分(I I I)因为A，4与4都是4-连续等项数列，而A：%生，心不是4连续等项数列,所以存在两两不等的正整数Lj,k(i,j,kai+3=1 1，aj=aN-2 M j+I =aN-i aj+2 =aN，j+3 =，ak aN-2 ak+i=aN-ak+2 =aNak+3=1 下面用反证法证明mi ni,j,6=1 .假设mi ni j灯 1,因为-1，勺-1，-1，。-3 G -1，J ,所以。1，勺-|，4-1，。川-3中至少有两个数相等.不妨设 ai-l =aj-，则 ai-i =aj-lai+i =aj+lai+2 =aj+2，所以A是4-连续等项数列，与题设矛盾.所以 mi ni,/,=l .所以“N =4+2 =勺+2 =%2=%=.1 5 分