《江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期开学质量检测数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期开学质量检测数学试题含答案.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、12022202220232023 学年度第一学期质量检测试题学年度第一学期质量检测试题高高 二二 数数 学学（全卷满分全卷满分 1 15050 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟）2022.092022.09一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.).)1“1m ”是“直线1:210lmxy 与直线211:022lxmy平行”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件2已知向量,a b 满足|1
2、,|2ab，且|abab，则|2|ab（）A4B2C5D2 23“十一”国庆节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为（）A5960B35C12D1604已知m、n、l是不重合的直线，、是不重合的平面，对于下列命题若m，/n，则/m n/m n且/m，则/n/m n且m，则n若m、n是异面直线，/m，/n，lm且ln，则l其中真命题的序号是（）ABCD5已知2sin33，则cos 23（）A19B19C4 59D4 596在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2 cosaCb，
3、则此三角形一定是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D锐角三角形7直线sin30 xyba、bR的倾斜角的取值范围是（）A0,B5,6 226 C50,66D5,6628已知ABC的内角,A B C对应的边分别是,a b c，内角A的角平分线交边BC于D点，且4AD，若(2)coscos0bcAaC，则ABC面积的最小值是（）A16B16 3C64D64 3二二、多选题多选题（本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多多项符合项符合题目题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分
4、选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.).)9若4455xyxy，则下列关系正确的是（）AxyB33yxCxyD133yx10下列说法正确的是（）A在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程xya aR表示B方程20mxymR表示的直线的斜率一定存在C直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tanD经过两点111,P x y，22212,P xyxx的直线方程为211121yyyyxxxx11 九章算术里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在
5、鳖臑PABC中，,2PAAB AB，其外接球的体积为323，当此鳖臑的体积 V 最大时，下列结论正确的是（）A6PABCB6V C直线PC与平面PAB所成角的正弦值64DPABC内切球的半径为156312定义：,a b 两个向量的叉乘为sinaba b（为,a b 的夹角），则下列说法正确的是（）A若0ab，/abB()()abab3C若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于ABAD D若3,1aba b，则|ab的最小值为6三三、填空题（本大题共、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.）13已知幂函数 fx的图象过点12,4，则7f_.
6、14已知直线l过点2,1，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_.15 在ABC中，2 2AB，2 5AC，BAC 为钝角，P，Q 是 BC 边上的两个动点，且 PQ=2，若AP AQ 的最小值为 3，则 cosBAC=_.16在三棱锥PABC中，PA底面ABC，4PA，2ABACBCa，M为AC的中点，球O为三棱锥PABM的外接球，D是球O上任一点，若三棱锥DPAC体积的最大值是4 3，则球O的体积为_.四四、解答题（本大题共、解答题（本大题共 6 6 小题，计小题，计 7070 分分.）17(10 分)已知复数z满足13iiz.(1)求复数z；(2)若复数zai在复平面内
7、对应的点在第四象限，求实数 a 的取值范围.18.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PCD为等边三角形，平面 PAC平面 PCD，PACD，CD2，AD3(1)求证：PA平面 PCD；(2)求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值19.(12 分)已知直线:210lxy，点3,0A(1)求点A关于直线:210lxy 的对称点；(2)求直线:210lxy，关于点A的对称直线m的方程420(12 分)已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若4b，在()(sinsin)(sinsin)bcBCAC a，cos2()3cos1ACB两个条件
8、中任选一个完成以下问题：(1)求 B；(2)若 D 在AC上，且BDAC，求BD的最大值21.（12 分）某校为了解高二学生周末的“阅读时间”，从高二年级中随机调查了 100 名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照0,0.5,0.5,1,4,4.5分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值；(2)估计该校高二学生周末“阅读时间”的中位数；(3)采用分层抽样的方法从1,1.5,1.5,2这两组中抽取 7 人，再从 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人恰好在同一组的概率.22.(12 分)已知函数 23221,f xxaxaaR.(1)求 f
9、x在0,2上的最小值；(2)设函数,11xg xxx，若方程 0fg x有且只有两个不同的实数根，求a的取值范围.参考答案参考答案 1A【分析】由1m=可得直线1:210lmxy+=与直线211:022lxmy+=平行，即充分条件成立；由直线1:210lmxy+=与直线211:022lxmy+=平行，求得m的值为1，即必要条件成立；【详解】因为1m=，所以直线1:210lxy+=，直线211:022lxy+=，则1l与2l平行，故充分条件成立；当直线1:210lmxy+=与直线211:022lxmy+=平行时，21m=，解得1m=或1m=，当1m=时，直线1:210lxy+=与直线2:210l
10、xy+=重合，当1m=时，直线1:210lxy=，直线2:210lxy+=平行，故必要条件成立.综上知，“1m=”是“直线1:210lmxy+=与直线211:022lxmy+=平行”的充要条件.故选：A.2D【分析】根据|abab+=可判断,a b垂直，进而根据模长公式即可求解.【详解】由|abab+=两边平方化简可得0a b=，所以222(2)448ababa b+=+=，所以|2|2 2ab+=故选：D 3B【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.【详解】甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15 他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45 至少有 1 人
11、去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，至少有 1 人去北京旅游的概率为：234313455=故选：B 4B【分析】根据空间中线线、线面位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可.【详解】解：对于若m，/n，则m与n可能平行也可能异面，故错误；对于，若/m n，且/m，则/n或n ，故错误；对于，若/m n，且m，则由线面垂直的判定定理得n，故正确；对于，若m、n是异面直线，/m，/n，lm且ln，如图，因为/m，所以存在直线a，a且满足/a m，又lm，所以la 同理存在直线b，b且满足/b n，又ln，所以lb，因为m、n是异面直线，所以a与b相交，设abA=，又,a b，所以l，故正确.故
12、选：B 5A【分析】将cos 23+化为cos2()3+，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为2sin33=，所以281cos 2cos2()cos2()2sin11333399+=+=,故选：A.6A【分析】由正弦定理和两角和差公式化简2 cosaCb=得sin()0A C=,于是有AC=,即可得答案.【详解】解：因为2 cosaCb=，所以2sincossinsin()sin()sincoscossinACBA CA CACAC=+=+=+，所以sincoscossin0ACAC=，即sin()0A C=,所以0AC=，即AC=.所以ABC为等腰三角形.故选：
13、A.7C【分析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围【详解】解：假设sin30 xyb+=的倾斜角为(0且2，由sin30 xyb+=可得斜率sin3sintan33k=，因为R，所以sin1,1，所以3sin33,333 即33tan,33，所以50,66 故选：C 8B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.【详解】(2)coscos0bcAaC+=，2sincossincossincos0BACAAC+=，即()2sincossin2sincossin0BACABAB+=+=，又()0,B，sin0B，2cos10
14、A+=，即1cos2A=，又()0,A，23A=，由题可知ABCABDACDSSS=+，4=AD，所以1211sin4 sin4 sin232323bccb=+，即()4bcbc=+，又()48bcbcbc=+，即64bc，当且仅当bc=取等号，所以1213sin6416 32322ABCSbc=.故选：B.9.AD【分析】构造函数()45xxf x=，利用函数()f x的单调性可得出x、y的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.【详解】由4455xyxy，得4545xxyy，令()45xxf x=，则()()f xf y 因为()4xg x=，()5xh x=在R上都是增函
15、数，所以()f x在R上是增函数，所以xy，故 A 正确；因为()3G xx=在()0,+和(),0上都单调递减，所以当0 xy时，33xy，故 B 错误；当0 x，0y 时，x，y无意义，故 C 错误；因为13xy=在R上是减函数，且xy，所以1133yx，即133yx，故 D 正确 故选：AD 10BD【分析】举例说明可判断 A 选项错误；由直线方程求得直线的斜率判断 B 选项；由倾斜角90=的直线的斜率不存在判断 C 选项；由两点求斜率，再由点斜式写出直线方程判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如2yx=但不能用()xya a+=R表示，故
16、 A 选项错误；对于 B 选项，方程()20mxym+=R表示的直线的斜率为m，故 B 选项正确；对于 C 选项，若90=，则直线斜率不存在，故 C 选项错误；对于 D 选项，经过两点()111,P x y，()()22212,P xyxx的直线斜率2121yykxx=，而12xx，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D 选项正确.故选：BD.11ACD【分析】由题可知PC的中点即为PABC的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到2212PABC+=，利用锥体的体积公式计算可判断 A、B 项，利用线面垂直可判断直线PC与平面PAB所成角即为BPC，计算其正弦值即可判断 C 项，
17、利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断 D 项.【详解】解：由题可知，PC的中点即为PABC的外接球的球心，设外接球的半径为R，则343233R=，得2R=，因为222224PAABBCPCR+=，所以2212PABC+=，鳖臑PABC的体积221111(2)()23266P ABCVAB BCPABCPABCPA=+=，当且仅当6BCPA=时，max()2P ABCV=；故 A 项正确，B 项错误.因为三棱柱为直三棱柱，故BC 平面PAB，又PA平面PAB，故BCPA，因为,PAAB ABBCB=,所以PA平面ABC，所以直线PC与平面PAB所成角即为BPC，6sin4BCBPCPC=；故
18、 C 项正确；设鳖臑PABC的内切球半径为r，由等体积法11111232222P ABCVAB BCAB PAACPAPB BCr=+=，得(2 6106)6r+=，所以31563156r=+，故 D 项正确.故选：ACD.12ACD【分析】A 选项，分,a b至少有 1 个为零向量，,a b都不是零向量两种情况下证明出/ab；B 选项，利用公式进行推导，得到当0时，()()a bab；C 选项，利用三角形面积公式及叉乘定义得到答案；D 选项，对sin,3a baba b=，cos,1a ba ba b=，两边平方相加可得2ab=，从而利用基本不等式求出|ab+的最小值.【详解】A 选项，若0
19、ab=，则sin0a ba b=，若,a b至少有 1 个为零向量，则满足/ab，若,a b都不是零向量，则有sin0=，即,a b同向或反向，故/ab，综上：A 正确；()sin,a baba b=，()sin,aba ba b=，若0，则()sin,aba ba b=，此时()()=abab；若0，则()sin,ababa b=，此时()()a bab，故 B 错误；若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为12sin,sin,2ABADAB ADABADAB ADABAD=，故 C 正确；sin,3a baba b=，cos,1a ba ba b=，两式平方后相加得：2ab=，22222
20、2226abaa bbabab+=+=+=，当且仅当ab=时，等号成立，故|ab+的最小值为6，D 正确.故选：ACD 13.17【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.【详解】设()f xx=，由()f x的图象过点12,4，可得124=，解得2=()2f xx=，故()177f=.故答案为：17.1420 xy=或240 xy+=【分析】分截距为 0 和截距不为 0 分别设出直线方程，代入点()2,1解出方程即可.【详解】当截距为 0 时，设直线方程为ykx=，直线l过点()2,1，所以12k=，解得12k=，直线方程为12yx=，即20 xy=；当截距不为 0 时，设直线方程为12
21、xyaa+=，直线l过点()2,1，所以2112aa+=，解得2a=，直线方程为142xy+=，即240 xy+=；故直线l的方程为20 xy=或240 xy+=.故答案为：20 xy=或240 xy+=.151010【分析】取PQ中点O，再根据平面向量的线性运算即数量积运算化简可得21AP AQAO=，进而可得当AOBC时取最小值，再根据勾股定理与余弦定理求解即可【详解】取PQ中点O，则()()AP AQAOOPAOOQ=+()221OPAOAOOQOQAOOP=+=，因为AP AQ的最小值为 3，故2AO的最小值为 4，即AO的最小值为 2，易得当AO最小时AOBC，且2AO=.所以222
22、BOABAO=，224COACAO=，故246BC=+=()()2222 22 5610cos102 2 22 5BAC+=故答案为：1010 168 6【分析】分析可知三棱锥PABM外接球球心为PB中点O，求出点O到平面PAC的距离，可得出点D到平面PAC的距离的最大值，利用锥体体积可得出关于a的等式，求出a的值，可得出球O的半径R的值，再利用球体的体积公式可求得结果.【详解】正ABC中，M为AC的中点，则BMAC，而PA平面ABC，BM 平面ABC，则BMPA，而PAACA=，PA、AC 平面PAC，则BM 平面PAC，PM 平面PAC，所以，BMPM，PA平面ABC，AB平面ABC，PA
23、AB，所以，PB的中点到点A、B、M、P的距离相等，即三棱锥PABM外接球球心为PB中点O，从而，点O是三棱锥PABM外接球球心，设球O的半径为R，则22224164RPAABa=+=+，224Ra=+，因为PAM的外接圆圆心为PM的中点，设为F，连接OF，因为O、F分别为PB、PM的中点，则/OF BM，故OF 平面PAF，如图，则有1322OFBMa=，即O到平面PAC的距离为32a，因此D到平面PAC距离的最大值为233422Raaa+=+，又14 242PACSaa=，即有2213444 334aaa+=，解得2a=，所以，6R=，所以球O的体积为348 63R=.故答案为：8 6.【
24、点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.17(1)2 iz=(2)(),1【分析】（1）利用复数的除法可得出复数z，再利用共轭复数的定义可求得z；（2）利用复数的乘法化简复数z，利用复数的几何意义可得出关
25、于实数a的不等式，即可解得实数a的取值范围.(1)解：()1 i3 iz+=+，()()()()3i 1 i3i42i2i1 i1 i 1 i2z+=+.(2)解：由（1）得2 iz=，则()21zaiai+=+，由已知可得10a，解得1a.即实数a的取值范围是(),1.18(1)证明见解析(2)33【分析】（1）取棱 PC的中点 N，连接 DN，可得 DNPC，利用面面垂直的性质定理可得DN平面 PAC，从而得到 DNPA，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接 AN，由线面角的定义可得，DAN 为直线 AD 与平面 PAC所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可（1）证明：取棱 PC
26、的中点 N，连接 DN，由题意可知，DNPC，又因为平面 PAC平面 PCD，平面 PAC平面 PCDPC，所以 DN平面 PAC，又 PA平面 PAC，故 DNPA，又 PACD，CDDND，CD，DN平面 PCD，则 PA平面 PCD；（2）连接 AN，由（1）可知，DN平面 PAC，则DAN 为直线 AD 与平面 PAC所成的角，因为PCD为等边三角形，CD2 且 N为 PC的中点，所以 DN3，又 DNAN，在RtDAN中，sinDAN33=DNAD，故直线 AD 与平面 PAC所成角的正弦值为33 19(1)13 14,55(2)213yx=【分析】（1）设点A关于直线l的对称点为(
27、),m n，根据中垂线，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得关于m和n的方程，解之即可；（2）设直线m的方程为2yxb=+，在直线 l上取一点()0,1，求得它关于点A的对称点，并将其代入所设方程，解出 b的值即可（1）设点A关于直线 l的对称点为(),m n，则这两点的中点为3,22+m n，所以3210220213mnnm+=，解得 m135=，n145=，所以点A关于直线 l的对称点为13 14,55；（2）由题意知，直线m的斜率为2k=，设其方程为2yxb=+，在直线l上取一点()0,1，它关于点()3,0A的对称点为()6,1，而该点在直线m上，所以12 6=+b，解得13b=，
28、所以直线m的方程为213yx=20(1)3B=(2)2 3【分析】（1）选，利用正弦定理得到222acbac+=，再利用余弦定理求出3B=；选：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos2B=，从而求出3B=；（2）法一：利用余弦定理得到2216acac=+，利用基本不等式求出16ac，求出面积的最大值，从而求出BD的最大值；法二：利用正弦定理ABC外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD的最大值.(1)若选，由正弦定理得，()()()bc bcac a+=即222bcaac=，即222acbac+=2221cos222acbacBacac+=，(0,
29、)B，3B=，若选,cos2()3coscos2()3coscos23cos1A CBBBBB+=+=+=，22cos13cos1BB+=，即22cos3cos20BB+=，即cos2B=（舍）或1cos2B=，(0,)B，3B=，(2)BDAC，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cosbacacBacac=+=+，由重要不等式得162acacac=，当且仅当ac=时取等，所以1sin4 32ABCSacB=所以AC边上的高的最大值为4 32 312b=法二：由正弦定理得ABC外接圆的直径为8 32sin3bRB=，利用正弦定理表示面积得：11
30、 8 38 3sinsinsinsin2233ABCSacBACB=1 8 3 8 33216 32sinsinsinsin2332333AAAA=8 34 3sin 24 3363A=+所以AC边上的高的最大值为4 32 312b=21(1)0.40a=(2)2.06小时(3)37【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于 1 即可求出结果；（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.（1）由题意，高二学生周末“阅读时间”在)0,0.5,0.5,1,4,4.5的频率分别为0.04,0.08,0.15，0.5,0.25,0
31、.15,0.07,0.04,0.02a.由()10.040.080.150.250.150.070.040.020.5a+=，得0.40a=.（2）设该校高二学生周末“阅读时间”的中位数为m小时.因为前 5 组频率和为0.040.080.150.200.250.720.5+=，前 4 组频率和为0.470.5，所以22.5m 由()0.5020.50.47m=，得2.06m=.故可估计该校高二学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.（3）由题意得，周末阅读时间在)1,1.5,1.5,2中的人分别有 15 人20 人，按分层抽样的方法应分别抽取 3 人4 人，分别记作,A B C及a b c
32、 d,.从 7 人中随机抽取 2 人，这个试验的样本空间,AB AC Aa Ab Ac Ad BC Ba Bb Bc Bd Ca Cb Cc=，,Cd ab ac ad bc bd cd，共包含 21 个样本点，且这 21 个样本点出现的可能性相等，抽取的 2 人在同一组包含的样本点有,AB AC BC ab ac ad bc bd cd，共 9 个，故所求概率93217p=.22(1)()2min221,39422,.433241,3aaaaf xaaa+=+(2)12a 或49a=【分析】（1）由函数解析式，可得该二次函数的对称轴与开口方向，根据对称轴与闭区间的位置关系的不同，进行讨论，得
33、到不同情况下的函数单调性，可得最小值；（2）根据方程与函数的关系，利用整体换元的解题方法，将其转化为二次函数求零点问题，根据函数图像的特点，将根据二次函数的零点取值范围的不同，进行讨论，解得最后答案.(1)因为函数()f x的对称轴方程为322ax+=，且开口向上，当3202a+时，即23a 时，()f x在0,2上单调递增，所以()min()021f xfa=+.当32022a+时，即2233a时，()f x在320,2a+单调递减，在32,22a+单调递增，所以2min3294()24aaaf xf+=.当3222a+时，即23a 时，()f x在0,2上单调递减，所以()min()241f xfa=+.综上，()2min221,39422,.433241,3aaaaf xaaa+=+(2)令()txg=，由题意可知()0f t=一定有解，不妨设为12,t t，且12tt，则()()0f g x=等价于以下四种情况：当120,1tt=时，由()00f=解得12a=，此时212t=，不符合题意.当12tt且12,1t t 时，需满足()0,321,210,af+此时无解.当1201tt=时，需满足0,3201,2a=+解得49a=.当1201tt时，需满足()()00,10,ff解得12a .综上，可得：12a 或49a=.