《江苏省“四校联盟”2023-2024学年高二上学期9月开学检测数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省“四校联盟”2023-2024学年高二上学期9月开学检测数学试题含答案.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司“四校联盟四校联盟”高二上高二上 9 月检测月检测数学数学 注意事项：注意事项：1.本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名答题前，务必将自己的姓名准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一一单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，
2、共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1.复数2i 1的虚部是（）A.1B.1C.iD.i2.212sin 750=（）A.12B.3C.3D.123.已知D是ABC所在平面内一点，3255ADABAC=+，则（）A.25BDBC=B.35BDBC=C.32BDBC=D.23BDBC=4.在两个袋中都装有写着数字 0，1，2，3，4，5 的六张卡片，若从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于 7的概率为（）A.118B.112C.18D.165.圆221xy+=和228690 xyxy+=位置
3、关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切6.已知椭圆22:195xyC+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l与椭圆C的一个交点为A，若的江苏省“四校联盟”2023-2024学年高二上学期9月开学检测数学试题 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 24AF=，则12AFF的面积为（）A.2 3 B.13 C.4 D.15 7.已知()00,Pxy是:40l xy+=上一点，过点P作圆22:5O xy+=的两条切线，切点分别为,A B，当直线AB与l平行时，AB=（）A.5 B.152 C.302 D.4 8.如图，已知圆柱底面半径为 2，高为 3，ABCD是轴截面，,E F分
4、别是母线,AB CD上的动点（含端点），过EF与轴截面ABCD垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（）A.30,5 B.40,5 C.3,15 D.4,15 二二多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 4 小题，每小周小题，每小周 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的项符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.若圆()222:0O xyrr+=上恰有相异两点到直线40 xy=的距离等于2，则r的取值可
5、以是（）A.2 B.2 C.2 2 D.3 3 10.2022 年 4月 16 日 9 时 56 分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G 若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（）的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.椭圆的长轴长为4 2 B.线段AB长度的取值范围是4,22 2+C.ABF面积最小值是 4 D.AFG的周长为44 2+11.在
6、ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，4a=，BC边上的中线4=AD，则下列说法正确的有（）A.12AB AC=B.2236bc+=C.13co5s上的一动点，离心率为 e，椭圆与 x 轴的交点分别为 A、B，左、右焦点分别为1F，2F，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A.若 PA、PB的斜率存在且分别为1k，2k，则2122bk ka=B.若椭圆 C 上存在点 M使120MF MF=，20,2e C.若12FPF的面积最大时，12120FPF=，则32e=D.根据光学现象知道：从1F发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过2F.若一束光线从1F发出经椭圆反射，当光线第 n 次到达2
7、F时，光线通过的总路程为4na 三三填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知直线12:210,:(1)10lxmylmxy=+=，若12ll/，则m=_ 14.圆224250 xyxy+=与直线250 xy+=相交于1P，2P两点，则12PP=_ 的的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 15.已知圆()()22:1225Cxy+=，直线()():21140lmxmym+=，当圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为_.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,F F，过点1F且斜率为
8、157的直线l与 C在x轴上方的交点为 A，若112AFFF=，则 C的离心率是_.四四解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17.已知直线1:2120laxy+=，直线2l过点()4,1A，_在直线2l斜率是直线14yx=的斜率的 2 倍，直线2l不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的 2 倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题（1）求2l的一般式方程；（2）若1l与2l在x轴上的截距相等，求a的值 18.已知ABC的边AC所在直线方程为3230 xy+=
9、，边BC所在直线方程为410 xy+=，边AB的中点为(2,2)D.求：（1）求点A坐标；（2）求ABC的面积.19.已知直线20 xym+=和圆22:5O xy+=，（1）当m为何值时，截得的弦长为 2；（2）若直线和圆交于,A B两点，此时OAOB，求m的值.20.已知圆 C过点()2,0R，()4,2S，且圆心 C在直线280 xy=上.（1）求圆 C的方程；（2）若点 P在圆 C上，点(6,0)A，M为 AP的中点，O为坐标原点，求tanMOA的最大值.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,0),(0,3).（1）求椭圆的离心率；（2）过点1,02且斜率不为 0
10、的直线l与椭圆交于,M N两点，椭圆的左顶点为 A，求直线AM与直线的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 AN的斜率之积.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,0)，且椭圆C的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若动点P在直线=1x上，过P作直线交椭圆C于,M N两点，且P为线段MN的中点，再过P作直线lMN，证明：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标.第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司“四校联盟四校联盟”高二上高二上 9 月检测月检测 数学数学 注意事项：注意事项：1.本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 15
11、0 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名答题前，务必将自己的姓名准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一一单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1.复数2i 1的虚部是（）A.1 B.1 C.i D.i【答案】B【解析】
12、【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】()()()2 i121 ii 1i 1 i1+=+，则其虚部为1.故选：B.2.212sin 750=（）A.12 B.3 C.3 D.12【答案】D【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式和诱导公式计算即可【详解】212sin 750cos1500=cos(4 36060)=+1cos602=，第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故选：D 3.已知D是ABC所在平面内一点，3255ADABAC=+，则（）A.25BDBC=B.35BDBC=C.32BDBC=D.23BDBC=【答案】A【解析】【分析】由平面向量线性运算可得.【详解】由325
13、5ADABAC=+，得3255ABBDABAC+=+得2255BDABAC=+，得()2255BDABACBC=+=，故选：A 4.在两个袋中都装有写着数字 0，1，2，3，4，5 的六张卡片，若从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于 7的概率为（）A.118 B.112 C.18 D.16【答案】D【解析】【分析】先求样本空间，然后列举出所有数字之和大于 7 的样本点，由古典概型概率公式可得.【详解】记从两个袋中取出的卡片上数字分别为 x，y，则样本空间(),|,0,1,2,3,4,5x yx y=，()36n=其中和等于 8的有()()()3,5,5,3,4,4，共 3 个
14、；和等于 9的有()()4,5,5,4，共 2 个；和等于 10的有()5,5，只有 1 个 故取出的两张卡片上数字之和大于 7 的概率为32 11366+=.第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故选：D 5.圆221xy+=和228690 xyxy+=的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】D【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断，【详解】圆221xy+=的圆心为(0,0)，半径为 1，圆228690 xyxy+=可化为()()224316xy+=，圆心为()4,3，半径为 4，而两圆心的距离为224314+=+，故两圆外切，故选：D 6.已知椭圆22:195
15、xyC+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l与椭圆C的一个交点为A，若24AF=，则12AFF的面积为（）A.2 3 B.13 C.4 D.15【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出1|AF，再求出等腰三角形12AFF的面积作答.【详解】椭圆22:195xyC+=中，21|2 954FF=，由24AF=及椭圆定义得12AF=，因此12AFF为等腰三角形，底边上的高2222211|(|)41152hAFAF=，所以12AFF的面积为1 211|152AF FSAFh=.故选：D 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知()00,Pxy是:40l xy+
16、=上一点，过点P作圆22:5O xy+=的两条切线，切点分别为,A B，当直线AB与l平行时，AB=（）A.5 B.152 C.302 D.4【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】连接,OA OB OP，由,PA PB切圆O于,A B知，,OAPA OBPB OPAB，因为直线AB与l平行，则OPl，224|2 21(1)OP=+，而圆O半径为5，于是22|(5)3PAOP=，由四边形OAPB面积2OPASS=，得11|2|22AB OPOAAP=，所以2|25330|22 2OAAPABOP=.故选：C 8.如图，已知圆柱底面半径为 2，高为
17、 3，ABCD是轴截面，,E F分别是母线,AB CD上的动点（含端点），过EF与轴截面ABCD垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（）第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 A.30,5 B.40,5 C.3,15 D.4,15【答案】A【解析】【分析】由EF与AD接近平行时，交线接近是一个圆，EFAC=时，交线是一个长轴最大的椭圆求解.【详解】解：当EF与AD接近平行时，交线接近是一个圆，离心率接近 0；当EFAC=时，交线是一个长轴最大的椭圆，此时长轴长为25EFACa=，解得52a=，又短半轴长为2b=，则焦距的一半为2232cab=，所以
18、离心率35e=，所以离心率的取值范围是30,5.故选：A 二二多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 4 小题，每小周小题，每小周 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的项符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.若圆()222:0O xyrr+=上恰有相异两点到直线40 xy=的距离等于2，则r的取值可以是（）A.2 B.2 C.2 2 D.3 3【答案】BC【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于2
19、，即可满足题意【详解】圆心()0,0到直线40 xy=的距离2|422d=，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于2，所以 2dr，即2 2 2r，解得，23 2r 结合选项可知，BC正确，第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故选：BC 10.2022 年 4月 16 日 9 时 56 分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G 若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则
20、下列说法正确的有（）A.椭圆的长轴长为4 2 B.线段AB长度的取值范围是4,22 2+C.ABF面积的最小值是 4 D.AFG的周长为44 2+【答案】ABD【解析】【分析】结合圆的半径长可求得b，结合椭圆焦点坐标可求得a，由此可判断 A；根据ABOAOB=+，结 合OA的 范 围 可 判 断 B；设AOF=，利 用ABFAOFBOFSSS=+结 合 面 积 公 式 可 求 得sin2sinABFSOA=+，取6=可判断 C；结合椭圆定义可判断 D.【详解】对于 A，半圆所在圆过点()0,2F，半圆的半径2r=，又椭圆短轴为半圆的直径，224br=，即2b=，又2c=，2228abc=+=，
21、即2 2a=，椭圆长轴长为24 2a=，故 A 正确；对于 B，22 2OA，2OB=，4,22 2ABOAOB=+，故 B 正确；对于C，设AOF=，则 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()11sinsin sin2sin22ABFAOFBOFSSSOA OFOBOFOA=+=+=+，当6=时，1112 2121422ABFSOA=+=+，故 C 错误；对于 D，由题意知：()0,2G，则G为椭圆的下焦点，由椭圆定义知：24 2AFAGa+=，又4FG=，AFG的周长为44 2+，故 D 正确.故选：ABD.11.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，4a=，BC边上
22、的中线4=AD，则下列说法正确的有（）A.12AB AC=B.2236bc+=C.13co5sA D.BAD的最大值为 30【答案】ACD【解析】【分析】A,转化向量表示AB AC ，即可判断；B.由()12ADABAC=+，平方后即可判断；C.根据余弦定理 2216cos2bcAbc+=，再结合基本不等式，以及cos12bcA=，即可判断；D.首先写出余弦定理22242cos8cBADc+=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】因为()()()()22AB ACADDBADDCADDBADDBADDB=+=+=224212=，故 A正确；因为()12ADABAC=+，所以()22221111
23、4442ADABACcbAB AC=+=+，第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 即()2211161242cb=+，所以2240bc+=，故 B错误；由余弦定理及基本不等式得22162168cos122bcbcAbcbcbc+=（当且仅当bc=时，等号成立），由 A 选项知cos12bcA=，所以882coscos111123cosAAbcA=，解得3cos5A，由于()0,A，所以13co5sA，故 C 正确；对于 D，222242121121123cos288882ccBADcccccc+=+=（当且仅当2 3c=时等号成立），因为BADABD上的一动点，离心率为 e，椭圆与 x
24、 轴的交点分别为 A、B，左、右焦点分别为1F，2F，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A.若 PA、PB的斜率存在且分别为1k，2k，则2122bk ka=B.若椭圆 C 上存在点 M使120MF MF=，20,2e C.若12FPF的面积最大时，12120FPF=，则32e=D.根据光学现象知道：从1F发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过2F.若一束光线从1F发出经椭圆反射，当光线第 n 次到达2F时，光线通过的总路程为4na【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的定义和几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，依题意，()(),0,0AaB a，设()00,Pxy，则22
25、00221xyab+=，()222222000221=xbybaxaa=，第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 则()222220200012222220000=baxyyybak kxa xaxaxaa+，A选项正确.B选项，设1212=,=,=,=2FMFMFm MFn mna+，则()222222242444cos=1222mncmnmncacmnmnmn+22222222=1=12bbbmnamn+，当mn=，即12=MFMF时等号成立.若椭圆 C 上存在点 M使120MF MF=，即存在，使cos0，所以22222222211110,1222bbbbaaaa ，所以22222
26、221,12ccabbeaaaa=，所以 B 选项错误.C选项，当P上椭圆的上顶点或下顶点时，12FPF的面积最大，依题意，此时12120FPF=，则12=60OPFOPF，则3=sin602cea=，C选项正确.第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 D选项，当1n=时，光线通过的总路程为2a，所以 D选项错误.故选：AC【点睛】求解椭圆中的定值问题，可根据椭圆的定义、椭圆上的点等知识，结合题意列方程，化简后可求得所求的定值.求解椭圆离心率有关问题，可以考虑直接法，即求得,a c来进行求解，也可以先求得ba，然后利用21bea=来进行求解.三三填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小
27、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知直线12:210,:(1)10lxmylmxy=+=，若12ll/，则m=_【答案】2【解析】【分析】由题知()210m m+=，进而解方程并检验即可得答案.【详解】解：因为直线12:210,:(1)10lxmylmxy=+=平行，所以，()210m m+=，即220mm=，解得：1m=或2m=当1m=时，12:210,:210lxylxy+=+=，显然重合，舍；当2m=时，121:0,:102lxylxy=+=，满足12ll/.所以，2m=故答案为：2 14.圆224250 xyxy+=与直线250 xy+=相交于1P，2P两
28、点，则12PP=_【答案】2 5 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求得弦长【详解】圆224250 xyxy+=的标准方程为()()222110 xy+=，则圆心为2,1，半径为10r=，圆心2,1到直线250 xy+=的距离为22225512d=+，如图所示，则由垂径定理可知，()()222212221052 5PPrd=.故答案为：2 5.15.已知圆()()22:1225Cxy+=，直线()():21140lmxmym+=，当圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为_.【答案】250 xy+=【
29、解析】【分析】直线l过的定点M，当直线l垂直于CM时，圆C被直线l截得的弦长最短，可求直线l的方程.【详解】由题意，直线l的方程化为()2140 xymxy+=，由210,40 xyxy+=+=得1,3,xy=直线l过定点()1,3M，显然点M在圆C内，要使直线l被圆C截得弦长最短，只需()1,3M 与圆心()1,2C的连线垂直于直线l，()212311 11mm+=，解得14m=，代入到直线l的方程并化简得250 xy+=.第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：250 xy+=.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,F F，过点1F且斜
30、率为157的直线l与 C在x轴上方的交点为 A，若112AFFF=，则 C的离心率是_.【答案】23【解析】【分析】由椭圆的定义与余弦定理求解，【详解】由题意得1122AFFFc=，则222AFac=，在12AFF中，1215tan7AFF=，则127cos8AFF=，由余弦定理得2222112112122cosAFAFFFAF FFAFF=+，2222(22)447acccc=+，解得23cea=故答案为：23 四四解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17.已知直线1:2120la
31、xy+=，直线2l过点()4,1A，_在直线2l的斜率是直线14yx=的斜率的 2 倍，直线2l不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的 2 倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题（1）求2l的一般式方程；（2）若1l与2l在x轴上的截距相等，求a的值【答案】（1）220 xy+=（2）6a=【解析】【分析】（1）选择：根据点斜式求解即可；选择：设直线的截距式求解即可；（2）先求得直线2l在x轴上的截距为2，故直线1l过点()2,0，代入2120axy+=，求解即可.【小问 1 详解】选择：由题意可设直线2l的方程为()14yk x=+，第13页/共20页 学科网（北
32、京）股份有限公司 因为直线2l的斜率是直线14yx=的斜率的 2倍，所以12k=，所以直线2l方程为()1142yx=+，即220 xy+=选择：由题意可设直线2l的方程为12xymm+=，0m，因为直线2l过点()4,1A，所以1421mm+=，解得1m=所以直线2l的方程为121xy+=，即220 xy+=【小问 2 详解】由（1）可知直线2l的方程为220 xy+=，令0y=，可得2x=，所以直线2l在x轴上的截距为2，所以直线1l在x轴上的截距为2 故直线1l过点()2,0，代入2120axy+=，得22 0 120a+=，解得6a=18.已知ABC的边AC所在直线方程为3230 xy
33、+=，边BC所在直线方程为410 xy+=，边AB的中点为(2,2)D.求：（1）求点A坐标；（2）求ABC的面积.【答案】（1）()1,3 （2）5【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式及点直线上即可求解；（2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解.【小问 1 详解】设()()1122,A x yB xy，根据中点公式结合点A在直线AC上，点B在直线BC上，则有 12121122443230410 xxyyxyxy+=+=+=+=，解得11221331xyxy=，所以点A坐标为()1,3.的在 第14页/共
34、20页 学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】由（1）知，()()1,3,3,1AB，所以3 111 3ABk=,所以直线AB方程为()()212yx=，即40 xy+=.所以()()22|1 31 12 2AB=+=.由3230410 xyxy+=+=，解得10 xy=，所以()1,0C.点()1,0C 到直线AB的距离为 1 4522d=，所以ABC的面积为 1152 25.222ABCSABd=19.已知直线20 xym+=和圆22:5O xy+=，（1）当m为何值时，截得的弦长为 2；（2）若直线和圆交于,A B两点，此时OAOB，求m值.【答案】（1）2 5m=（2）5 22m
35、=【解析】【分析】（1）先利用弦长222ABrd=求出圆心到直线的距离d，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解；（2）先利用平面几何知识求出圆心到直线的距离d，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解.【小问 1 详解】设d为圆心到直线的距离，则由题意知2222 rd=，即251d=，所以2d=，又由于圆22:5O xy+=的圆心为()0,0，的 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以圆心到直线20 xym+=的距离25md=，所以2 5m=，即当2 5m=时，直线被圆截得的弦长为 2.【小问 2 详解】由于OAOB，所以,OA OB AB组成等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离
36、21022dr=，所以1025md=，所以5 22m=，即当5 22m=时，直线和圆交于,A B两点，且OAOB.20.已知圆 C过点()2,0R，()4,2S，且圆心 C在直线280 xy=上.（1）求圆 C的方程；（2）若点 P在圆 C上，点(6,0)A，M为 AP中点，O为坐标原点，求tanMOA的最大值.【答案】（1）228120 xyx+=（2）612【解析】【分析】（1）设圆C的方程为：220 xyDxEyF+=，将R、S，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心,22DE代入，280 xy=得出关于DEF、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆C的一般方程.（2）设()00,Pxy，(
37、,)M x y，计算出点M的轨迹方程，得到其轨迹方程为22(5)1xy+=，分析出的 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 OM与圆22(5)1xy+=相切时tanMOA最大，计算即可得到答案.【小问 1 详解】设圆C的方程为：220 xyDxEyF+=，则有80242020420EDDFDEF+=+=+=，解得8012DEF=圆C的方程为：228120 xyx+=【小问 2 详解】由（1）知圆22:(4)4Cxy+=，设()00,Pxy，(,)M x y，则006202xxyy+=+=，所以00262xxyy=又 P 在圆22:(4)4Cxy+=上，所以()220044xy+=，所
38、以22(210)(2)4xy+=，即 M的轨迹方程为22(5)1xy+=.数形结合易知，当 OM与圆22(5)1xy+=相切时，tanMOA取最大值，此时|25 12 6OM=，16tan122 6MOA=.第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以tanMOA的最大值为612.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,0),(0,3).（1）求椭圆的离心率；（2）过点1,02且斜率不为 0 的直线l与椭圆交于,M N两点，椭圆的左顶点为 A，求直线AM与直线AN的斜率之积.【答案】（1）12e=（2）920【解析】【分析】（1）由已知得到,a b c，从而求出离心
39、率；（2）分直线斜率存在与不存在，当直线斜率不存在时，求出直线方程，与椭圆方程联立直接求出,M N的坐标，从而求出结果；当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理即可求解.【小问 1 详解】由于椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,0),(0,3)，所以2,3ab=，所以1c=，所以椭圆的离心率12e=.【小问 2 详解】由（1）可知椭圆方程为22143xy+=，当直线的斜率不存在时，直线方程为12x=，与椭圆方程联立可求得1 3 513 5,2424MN（不妨设 M在第一象限），又()2,0A，所以()()3 53 53 53 544,1110102222AMA
40、Nkk=，第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以3 53 59101020AMANkk=；当直线的斜率存在时，设直线的方程为()102yk xk=，()()1122,M x yN xy，联立2212143yk xxy=+=，消去y得()2222344120kxk xk+=，()()()2222244 34121801440kkkk=+=+，由韦达定理得22121222412,3434kkxxx xkk+=+，所以1212121211222222AMANk xk xyykkxxxx=+()()()22222222121222212122224512141114 34342 3449
41、2412425242024343434kkkkkx xxxkkkkkkx xxxkkk+=+.综上，直线AM与直线AN的斜率之积为920.【点睛】易错点点睛：第（2）问求解时易忽视直线斜率不存在的情况.一般知道一个点求直线方程时，利用点斜式方程，设直线方程时，要分斜率存在与不存在两种情况求解.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,0)，且椭圆C的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若动点P在直线=1x上，过P作直线交椭圆C于,M N两点，且P为线段MN的中点，再过P作直线lMN，证明：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标.第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公
42、司【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由点(2,0)在椭圆C上，代入椭圆的方程，再由椭圆C的离心率为12，求得,a b的值，即可求解；（2）设0(1,)Py，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为0(1)yyk x=+，联立方程组，根据点P的横坐标求得k，结合lMM，得到043lyk=，得出直线过定点；当直线MN的斜率不存在时，得到直线l为x轴，进而得到结论.【小问 1 详解】因为点(2,0)在椭圆C上，可得22401ab+=，解得24a=，又因为椭圆C的离心率为12，所以12ca=，所以2222214cabaa=，解得23b=，所以椭圆C的标准方程为22
43、143xy+=.小问 2 详解】由题意，可设0(1,)Py，且03 3(,)2 2y ，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为01122(1),(,),(,)yyk xM x yN xy=+，联立方程组022(1)143yyk xxy=+=，整理得22222000(34)(88)(48412)0kxkykxykyk+=，则()222222200000(88)4(34)(48412)48 323kykkykykkkyy=+=+，所以201228834kykxxk+=+，因为P为MN的中点，所以1212xx+=，即20288234kykk+=+，【第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司
44、 所以003(0)4MNkkyy=，经检验，此时0，因为lMM，所以043lyk=，所以直线l的方程为004(1)3yyyx=+，即041()34yyx=+，所以直线l恒过定点1(,0)4.当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为=1x，此时直线l为x轴，也过点1(,0)4.综上所述，直线l恒过定点1(,0)4.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；利用条件找到k过定点的曲线0(),F x y=之间的关系，得到关于k与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.