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1、高二数学第 1 页共 6 页20222023 学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数 学 试 题数 学 试 题一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1.已知平面的一个法向量13,0,n，平面的一个法向量22,1,6n ，若，则=()A92B4C1D12 若直角三角形三条边长组成公差为 2 的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是()A
2、52B3C5D1523 已知P为双曲线22:133yxC与抛物线22yx的交点，则P点的横坐标为()A3B2C6D14 若直线340 xym与圆2220 xyy相切，则实数m取值的集合为()A1,1B9,1C 1D8,25 已知数列na首项为 2，且112nnnaa，则na()A2nB121nC22nD122n6 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，CACB，P为1A B的中点，Q为棱1CC的中点，则下列结论不正确的是()A1PQA BB1/ACA BQ平面C1PQCCD/PQABC平面江苏省如皋市江苏省如皋市高二数学第 2 页共 6 页7在数列 na中，若存在不小于 2 的正整数k使得
3、1kkaa且1kkaa，则称数列na为“k 数列”下列数列中为“k 数列”的是()AnbnB2nnb C9nbnnD123nbn8 已知O为坐标原点，A点坐标为2,0，P是抛物线21:2C yx在第一象限内图象上一点，M是线段AP的中点，则OM斜率的取值范围是()A10,4B2,C10,2D20,4二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案至少有两个是符合题目要求的，请把答案填填涂在答题卡相应位置上涂在答题卡相应位置上)9 已知
4、正四面体的棱长均为 1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（）A0B12C2D310已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为12，左，右焦点分别为12,F F，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F的周长为 6，则下列结论正确的是()A椭圆C的焦距为 1B椭圆C的短轴长为2 3C12PF F面积的最大值为3D椭圆C上存在点P，使得1290F PF11在棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，下列结论正确的是()A异面直线1AB与CD所成角的为45B异面直线11A B与1AC所成角的为45C直线1AC与平面11ABB A所
5、成角的正弦值为33D二面角1CADB的大小为45高二数学第 3 页共 6 页12 已知数列 na的前n项和2nSn，数列 nb是首项和公比均为 2 的等比数列，将数列 na和 nb中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 nc，则下列结论正确的是()A1216cB数列 nc中nb与1nb之间共有12n项C22nnbaD121nnnbc 三三、填空题填空题(本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计共计 2020 分分请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上)13已知等差数列 na前3项的和为 6，前6项的和为 21，则其前 12 项的和为_14以已
6、知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线已知双曲线C的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C的离心率为_15已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为_16摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点 P 运动的轨迹就得到内摆线已知基线圆O的方程为2220 xyRR，半径为 1 的动圆M内切于定圆O作无滑动的滚动，切点 P 的初始位置
7、为0R（，）若4R，则PO的最小值为_；若2R，且已知线段MP的中点N的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为_高二数学第 4 页共 6 页四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 7070 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤)17(本小题 10 分)如图，PA是三棱锥PABC的高，线段BC的中点为M，且,2ABAC ABACPA(1)证明：BC 平面PAM；(2)求A到平面PBC的距离18(本小题 12 分)已知等比数列 na的首项为 2，前n项和为nS，且234230SSS(
8、1)求na；(2)已知数列 nb满足：nnbna，求数列 nb的前n项和nT.高二数学第 5 页共 6 页19(本小题 12 分)已知双曲线2222:10,0yxCabab的实轴长为2，右焦点F到32x 的距离为12(1)求双曲线C的方程；(2)若直线1yx与双曲线C交于,M N两点，求三角形MNF的面积20(本小题 12 分)已知数列na的首项为 1，前n项和为nS，且满足_222,2nnaaa；21nnSna；12nnnSnS从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求na；(2)求数列21nna a的前n项和nT高二数学第 6 页共 6 页21(本小题 12 分)三棱柱11
9、1ABCA B C中，112ABABAAAC，120BAC，线段11A B的中点为M，且BCAM(1)求证：AM 平面ABC；(2)点P在线段11B C上，且11123B PB C，求二面角11PB AA的余弦值22(本小题 12 分)已知31,2P为椭圆2222:10 xyCabab上一点，上、下顶点分别为A、B，右顶点为C，且225ab(1)求椭圆C的方程；(2)点P为椭圆C上异于顶点的一动点，直线AC与BP交于点Q，直线CP交y轴于点R求证：直线RQ过定点xy高二参考答案1.C2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.A9.AB10.BC11.ACD12.AB13.7814.3 2415.
10、93216.2；2219144yx17.证明：(1)因为ABAC，线段BC的中点为M，所以BCAM2 分因为PA是三棱锥PABC的高，所以PA 平面ABC，因为BC 平面ABC，所以PABC 4 分因为PA 平面PAM，AM 平面PAM，PAAMA，所以BC 平面PAM 5 分(2)法一：（综合法）在平面PAM中，过A点作AHPM，则因为BC 平面PAM，AH 平面PAM，所以BC AH因为AHPM，BC 平面PBC，PM 平面PBC，PMBCM，所以AH 平面PBC7 分在Rt BAC中，22111442222AMBCABAC所以在Rt PAM中，22426PMPAAM，8 分所以2 22
11、336PAAMAHPM，所以A到平面PBC的距离为2 33 10 分法二：（等体积法）设A到平面PBC的距离为d，则在Rt BAC中，22111442222AMBCABAC在Rt PAM中，22426PMPAAM6 分因为PA是三棱锥PABC的高，所以11142223323P ABCABCVSPA，8 分11142 263323P ABCPBCVSdd，解得2 33d，所以A到平面PBC的距离为2 33 10 分（本题用向量法求解酌情给分）18.解：(1)设等比数列 na的公比为q，因为234230SSS，所以234320SSSS，2 分所以432aa，所以2q，所以112nnnaa q5 分
12、(2)由(1)得，2nnbn，所以21 2222nnTn，所以23121 222122nnnTnn，7 分-，得21112122222212212nnnnnnTnnn，10 分所以1122nnTn 12 分19.解：(1)设双曲线C的焦距为2(0)c c，因为双曲线C的实轴长为2，所以22a，解得1a 2 分因为右焦点F到32x 的距离为12，所以3122c，解得1c 或2c 4 分因为ca，所以2c 所以222413bca，所以双曲线C的方程为2213yx 6 分(2)设1122,M x yN xy，则22131yxyx，所以223130 xx，整理得220 xx，8 分解得121,2xx，
13、所以23y 10 分所以1211313222MNFScxy 12 分20.解：(1)选因为22nnaa，所以当n为奇数时，1122nnaan；2 分同理，当n为偶数时，2222nnaan 4 分所以nan6 分选因为21nnSna，（*）所以当2n 时，112nnSna，（*）（*）（*），得11nnnana，即11nnaann，所以数列nan是首项为 1 的常数列，4 分所以nan6 分选因为12nnnSnS，所以1211nnSSnnnn，所以数列1nSnn是首项为12的常数列，2 分所以12nn nS，所以当2n 时，11122nnnn nnnaSSn4 分当1n 时，也符合上式所以nan
14、6 分(2)由（1）得，211111222nna an nnn，8 分所以111111111311123243522212nTnnnn12 分21.解：(1)三棱柱111ABCA B C中，11/ABA B，1 分在11AB A中，11ABAA，线段11A B的中点为M，所以11A BAM，所以ABAM2 分因为BCAM，BC 平面ABC，AB 平面ABC，ABBCB，所以AM 平面ABC5 分(2)如图建立空间直角坐标系，则1310,0,0,3,1,0,3,22ABB0,2,0,0,0,3CM所以131,3,3,3,0,0,0,322ABBCAM 因为111222 3,2,0333B PB
15、CBC ，xzy所以3 3,3,62P所以3 3,362AP （也可不求AP 直接用113,3,0B C ）7 分设平面11B AA的一个法向量1111,nxy z，则111111131302230nABxyznAMz ，解得10z，令13y，则11x，所以11,3,0n （也可在平面ABC内作ANAB交BC于N，3,1,03AN即为所求）同理，23,3,1n 10 分设二面角11PB AA的平面角为0180，则12121263 13coscos,=13213nnn nnn ，所以二面角11PB AA的余弦值为3 131312 分22.解：(1)因为31,2P为椭圆2222:10yxCabab
16、上一点，所以221314ab2 分因为225ab，所以2213154bb，整理得42419150bb，解得21b 或2154b 当2154b 时，254a，与ab矛盾所以21b，24a 4 分椭圆C的方程为2214xy5 分(2)设直线BP的斜率为k，则:1BPlykx因为1:12AClyx，所以421,2121QQkxykk因为22114ykxxy，所以224140 xkx，整理得221480kxkx，所以222841,4141PPkkxykk7 分所以2222241412141842882241PCkkkkkkkkkk，所以21:242PCklyxk 令0 x，得2121Rkyk9 分所以222221218212122121414144421212121RQkkkkkkkkkkkkkkk，所以221:2121RQkklyxkk 10 分所以242:12212121RQkkklyxxkkk 所以直线RQ过定点2,1 12 分