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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）ABCD2、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好
2、落在AD边上的F处，若，则的值为（ ）ABCD3、请比较sin30、cos45、tan60的大小关系（）Asin30cos45tan60Bcos45tan60sin30Ctan60sin30cos45Dsin30tan60cos454、球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）A米B米C米D米5、如图，在正方形中、是的中点，是上的一点，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中结论正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个6、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得米，则拉线AC的长为（ ）A米B6sin52米C米D米7、如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosACB的
3、值为（ ）ABCD8、在RtABC中，C90，BC3，AC4，那么cosB的值等于（）ABCD9、如图，中，它的周长为22若与，三边分别切于E，F，D点，则劣弧的长为（ ）ABCD10、如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处如果，那么的值是_2、如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB12，则
4、NB的最小值是_3、如图，是拦水坝的横断面，堤高为6米，斜面坡度为，则斜坡的长为_米4、如图，在RtABC中，ACB90，D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若DE2，CD，则sinDEB的值为 _5、如图，矩形ABCD中，AB4，AEAD，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、将抛物线，与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；（2）ACB与ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在抛物线的对称轴上，且CDP与ABC相似，求点P
5、的坐标2、先化简，再求值：（1），其中x2tan603、已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒（1）求AD，BC之间的距离和sinDAB的值；（2）设四边形CDPQ的面积为S求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若存在某一时刻，点P，Q同时在反比例函数的图象上，直接写出此时四边形CDPQ的面积S的值4、如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角
6、是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米 求：（1）点 到地面的距离；（2） 的长度（精确到 米）（参考数据: ）5、如图，内接于，AD平分交BC边于点E，交于点D，过点A作于点F，设的半径为3，（1）过点D作直线MN/BC，求证：是的切线；（2）求的值；（3）设，求的值（用含的代数式表示）-参考答案-一、单选题1、B【分析】如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作ODAB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得OAB=30，然后根据锐角三角函数，即可求解【详解】解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作ODAB于点D，连接OA， 根据题
7、意得：OA= ，OAB=30，在中， ，AB=3，即这个正三角形的边长是3故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键2、D【分析】由AFECFD90得，根据折叠的定义可以得到CBCF，则，即可求出的值，继而可得出答案【详解】AFECFD90，由折叠可知，CBCF，矩形ABCD中，ABCD，故选：D【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CBCF3、A【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin30，cos45，tan60，从而可以比较三个三角函数大小【详解】解答：解：sin30，cos45，tan60
8、，而，sin30cos45tan60故选：A【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，实数比大小，准确计算是解题的关键4、A【分析】过铅球C作CB底面AB于B，在RtABC中，AC=5米，根据锐角三角函数sin31=，即可求解【详解】解：过铅球C作CB底面AB于B，如图在RtABC中，AC=5米，则sin31=，BC=sin31AC=5sin31故选择A【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键5、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：BAECEF，则可证得正确，错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABEAEF，即可求得答案【详解】解：
9、四边形ABCD是正方形，BC90，ABBCCD，AEEF，AEFB90，BAEAEB90，AEBFEC90，BAECEF，BAECEF，BECE，BE2ABCFAB2CE，CFCECD，CD=4CF，故正确，错误，tanBAEBE：AB，BAE30，故错误；设CFa，则BECE2a，ABCDAD4a，DF3a，AE2a，EFa，AF5a，ABEAEF90，ABEAEF，故正确故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键6、D【分析】根据余弦定义：即可解答【详解】解：，米，米；故选D【点睛】此题考查了解直角三角形的应
10、用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义7、D【分析】根据图形得出AD的长，进而利用三角函数解答即可【详解】解：过A作ADBC于D，DC=1，AD=3，AC=，cosACB=，故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义8、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可【详解】解：如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，cosB故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键9、B【分析】连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG，根据与，三边分别
11、切于E，F，D点，可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90，从而得到AD=AF=3，再由，可得 ，DOF=120，从而求出OD，即可求解【详解】解：如图，连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG， 与，三边分别切于E，F，D点，AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90，BC=8，BD+CF=BE+CE=BC=8，的周长为22AD+AF+BD+BE+CE+CF=22，AD+AF=6，AD=AF=3，ADF为等边三角形，DOF=120，DF=AD=3， ，DOG=60， ，劣弧的长为 故选：B【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，求弧长
12、，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键10、B【分析】作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可【详解】如图，正方形是圆内接正方形，点是圆心，也是正方形的对角线的交点，作，垂足为， 直径，又是等腰直角三角形，由垂径定理知点是的中点，是等腰直角三角形，故选：B【点睛】此题考查了垂径定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据题意作出图像，把实际问题转化成数学问题二、填空题1、#【解析】【分析】利用“一线三垂直”模型，可知，由折叠可知，AE=AD，利用勾股定理表示出BF，即可求出的值【详解】解：由题意得，,，即：，设：
13、AB为3x，则AD为5x，AE=AD=5x，在中，有勾股定理得：，故答案为：【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键2、221-23#-23+221【解析】【分析】如图，连接AC，OC证明点N在T上，运动轨迹是OC ，过点T作THAB于H求出BT，TN，可得结论【详解】解：如图，连接AC，OCC是半圆的三等分点，AOC60，OAOC，AOC是等边三角形，作AOC的外接圆T，连接TATC，TN，TBOMPC，CMPM，NCNP，NPCNCPAOC30，CNM60，CNO120，CNOOAC180，点N在T上，运动轨迹是OC，过点T作THAB于H
14、在RtATH中，AHOH3，TAH30，THAHtan30，ATTN2HN2，在RtBHT中，BTTH2+BH2=32+92=221，BNBTTN，BN221-23，BN的最小值为221-23故答案为：221-23【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题3、【解析】【分析】由斜面坡度为有，解得AC=12，再由勾股定理求得AB即可【详解】斜面坡度为是直角三角形，故有故答案为：【点睛】本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡
15、角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形4、【解析】【分析】由题意可得，DEB=EBC，求得CE、的边即可求解【详解】解：ACB90，DEAC，DEC=90DEB=EBC，DEBC=ADAB，又D是斜边AB的中点，AB=2AD，DEBC=ADAB=12，即BC=2DE=4，在RtCDE中，CD=13，DE=2，CE=CD2-DE2=3，在中，BE=BC2+CE2=5，sinDEB=sinEBC=CEBE=35，故答案为：
16、【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，涉及了平行线分线段成比例的性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解5、4【解析】【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明BCFHDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出A=BGE=90，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案【详解】解：延长BF交AD的延长线于点H，四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，A=BCF=90，H=CBF，在BCF和HDF中，BCFHDF（AAS），BC=DH，将ABE沿BE折叠后得到GBE，A=BGE=9
17、0，AE=EG，EGH=90，AE=AD，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，ED=2x，EH=ED+DH=5x，在RtEGH中，sinH=，sinCBF=，AB=CD=4，F为CD中点，CF=2，BF=10，经检验，符合题意，BC=4，故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键三、解答题1、（1），；（2）相等，理由见解析；（3），【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴交于点和点，将点和点代入，求出即可，再化为顶点式；（2）先由、两点的坐标，得出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，则由正
18、切函数的定义求出，在中，由正切函数的定义也求出，得出，则，即；（3）设点的坐标为，先由相似三角形的形状相同，得出是锐角三角形，则，再根据，得到与是对应点，所以分两种情况进行讨论：；根据相似三角形对应边的比相等列出关于的方程，解方程即可【详解】解：（1）将点和点代入，解得：，顶点的坐标为；（2）与相等，理由如下：如图，点时，即点坐标为，又，在中，在中，即； （3）点在平移后的抛物线的对称轴上，而的对称轴为，可设点的坐标为是锐角三角形，当与相似时，也是锐角三角形，即点只能在点的下方，又，与是对应点，分两种情况：如果，那么，即，解得，点的坐标为；如果，那么，即，解得，点的坐标为综上可知点的坐标为或【
19、点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式，对称轴、顶点坐标的求法，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中解题的关键是注意两个三角形相似没有明确对应顶点时要注意分析题意分情况讨论结果2、，【解析】【分析】根据分式的运算法则化简，利用特殊角的三角函数值求出x代入即可求解【详解】（1）=x2tan60=2=6原式=【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及特殊角的三角函数值3、（1）4.8；（2），；，；（3）16【解析】【分析】（1）过点B作，由已知可得，再根据菱形的性质得到，得到，得到即可得；（2
20、）当时，可得，则，根据梯形面积表示即可；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据面积表示即可；（3）首先根据题意求得t的值，然后代入（2）中的式子计算即可；【详解】解：（1）过点B作，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），四边形ABCD是菱形，则，；（2）如图，当时，依据题意可得，则，；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据题意得，则，；（3）点P，Q同时在反比例函数的图象上，则需P，Q分别位于第二、四象限，此时，则，则，点P的横坐标为：，纵坐标为：，点P的坐标为，同理可求，点，解得：或（舍去），【点睛】此题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识此题难度
21、较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用4、（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米【解析】【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得；（2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米【详解】解：（1）过点A作交于点F，则，在中，（米），即点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作交于点H，在四边形AFCH中，四边形AFCH是矩形，设BC=x，则米，（米），（米），米，在中，（米），（米）【
22、点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点5、（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）连接，由角平分线的性质可得，可得，可得，可证，可得结论；（2）连接并延长交于，通过证明，可得，可得结论；（3）由“”可证，可得，可得，由锐角三角函数可得，即可求解【详解】（1）如图1，连接，平分，是的切线；（2）如图2，连接并延长交于，连接，是直径，又，的半径为3，（3）如图3，过点作于，交延长线于，连接，平分，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键