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1、2022 年高考数学真题分类汇编年高考数学真题分类汇编第第 3 讲讲 三角函数与解三角形三角函数与解三角形一、单选题一、单选题1（2022全国高考真题（理）双曲线 C 的两个焦点为12,F F，以 C 的实轴为直径的圆记为D，过1F作 D 的切线与 C 的两支交于 M，N 两点，且123cos5F NF，则 C 的离心率为（）A52B32C132D172【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设12FNF，21F FN，即可求出sin，sin，cos，在21F FN中由12sinsinFF N求出12sinFF N，再由正弦
2、定理求出1NF，2NF，最后根据双曲线的定义得到23ba，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，所以1OGNF，因为123cos05F NF，所以N在双曲线的右支，所以OGa，1OFc，1GFb，设12FNF，21F FN，由123cos5F NF，即3cos5，则4sin5=，sinac，cosbc，在21F FN中，12sinsinsinFF N4334sincoscossin555baabccc，由正弦定理得211225sinsinsin2NFNFccFF N，所以112553434sin2252ccababNFF F Nc，2555sin22
3、2ccaaNFc又12345422222ababaNFNFa，所以23ba，即32ba，所以双曲线的离心率221312cbeaa故选：C2（2022全国高考真题）若sin()cos()2 2cossin4，则（）Atan1Btan1Ctan1 Dtan1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sincoscossincoscossinsin2 cossinsin,即：sincoscossincoscossinsin0，即：sincos0,所以tan1,故选：C3（2022全国高考真题）记函数()sin(0)4f xxb的最小正
4、周期为 T若23T，且()yf x的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A1B32C52D3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期 T 满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ，且2b，所以12,63k kZ，所以52，5()sin224f xx，所以5sin21244f.故选：A4（2022全国高考真题（理）设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A5 13,3 6B5 19,3 6C13 8,6 3D13 19,66【答
5、案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到3x的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可【详解】解：依题意可得0，因为0,x，所以,333x，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx，,33x的图象如下所示：则5323，解得13863，即13 8,63故选：C5（2022全国高考真题（理）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的 AB中点，D 在AB上，CDAB“会圆术”给出AB的弧长的近似值 s 的计算公式：2CDsABOA当2,60OAAOB时，s（）A11 3 32B11
6、 4 32C93 32D94 32【答案】B【解析】【分析】连接OC，分别求出,AB OC CD，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB，又CDAB，所以,O C D三点共线，即2ODOAOB，又60AOB，所以2ABOAOB，则3OC，故23CD，所以222311 4 3222CDsABOA.故选：B.6（2022全国高考真题（理）函数33cosxxyx在区间,2 2的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令 33cos,2 2xxf xx x ，则 33cos33
7、cosxxxxfxxxfx ，所以 f x为奇函数，排除 BD；又当0,2x时，330,cos0 xxx，所以 0f x，排除 C.故选：A.7（2022全国高考真题（文）将函数()sin(0)3f xx的图像向左平移2个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则的最小值是（）A16B14C13D12【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kkZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx，又C关于y轴对称，则,232kkZ，解得12,3k kZ，又0，故当0k 时，的最小值为13.故选：C.二二、填空题、填空题8（
8、2022全国高考真题（理）记函数 cos(0,0)f xx的最小正周期为T，若3()2f T，9x为()f x的零点，则的最小值为_【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根据 32f T 求出，再根据9x 为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为 cosf xx，（0，0）所以最小正周期2T，因为 23coscos 2cos2f T，又0，所以6，即 cos6f xx，又9x 为 f x的零点，所以,Z962kk，解得39,Zk k，因为0，所以当0k 时min3；故答案为：39（2022全国高考真题（理）已知ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,2ADBADCDBD
9、当ACAB取得最小值时，BD _【答案】31#1+3【解析】【分析】设220CDBDm，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm，则在ABD中，22222cos42ABBDADBD ADADBmm，在ACD中，22222cos444ACCDADCD ADADCmm，所以22222244212 14441243424211mmmACmmABmmmmmm12442 33211mm，当且仅当311mm 即31m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m.故答案为：31.三三、解答题、解答题10（2022全国高考真题）记ABC的内角 A，B，C 的对边
10、分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S S S，已知12331,sin23SSSB(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求 b【答案】(1)28(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,S S S，再由12332SSS求得2222acb，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC，即可求解.(1)由题意得222212313333,22444SaaSbSc，则22212333334442SSSabc，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos
11、1acB，则cos0B，又1sin3B，则212 2cos133B，13 2cos4acB，则12sin28ABCSacB；(2)由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223 294sinsinsinsinsin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB.11（2022全国高考真题）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB(1)若23C，求 B；(2)求222abc的最小值【答案】(1)6；(2)4 25【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB化
12、成cossinABB，再结合02B，即可求出；（2）由（1）知，2CB，22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成2224cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出(1)因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而02B，所以6B；(2)由（1）知，sincos0BC，所以,022CB，而sincossin2BCC，所以2CB，即有22AB所以222222222sinsincos 21 cossincosabABBBcCB 2222222cos11 cos24c
13、os52 854 25coscosBBBBB 当且仅当22cos2B 时取等号，所以222abc的最小值为4 2512（2022全国高考真题（文）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sinsinsinsinCABBCA(1)若2AB，求 C；(2)证明：2222abc【答案】(1)58；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinsinCCA，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出(1)由2AB，sinsinsi
14、nsinCABBCA可得，sinsinsinsinCBBCA，而02B，所以sin0,1B，即有sinsin0CCA，而0,0CCA，显然CCA，所以，CCA，而2AB，ABC，所以58C(2)由sinsinsinsinCABBCA可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，再由正弦定理可得，coscoscoscosacBbcAbcAabC，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222acbbcabcaabc，化简得：2222abc，故原等式成立27（2022全国高考真题（理）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知
15、sinsin()sinsin()CABBCA(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求ABC的周长【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得bc，即可得解.(1)证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222
16、abc；(2)解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc.第第 4 讲讲 平面向量与复数平面向量与复数一、单选题一、单选题1（2022全国高考真题）已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,a cb c，则t（）A6B5C5D6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：3,4ct,cos,cos,a cb c,即931635ttcc,解得5t,故选：C2（2022
17、全国高考真题）在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB（）A32mnB23mnC32mnD23mn【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点 D 在边 AB 上，2BDDA，所以2BDDA ，即2CDCBCACD ，所以CB 3232CDCAnm 23mn 故选：B3（2022全国高考真题（文）已知向量(2,1)(2,4)ab，则abrr（）A2B3C4D5【答案】D【解析】【分析】先求得ab，然后求得abrr.【详解】因为 2,12,44,3ab，所以22435 ab.故选：D4（2022全国高考真题（理）已知向量,a b
18、 满足|1,|3,|2|3abab，则a b（）A2B1C1D2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：222|2|44abaa bb，又|1,|3,|2|3,abab91 44 3134 a ba b，1a b故选：C.6（2022全国高考真题）(22i)(12i)（）A24i B24i C62iD62i【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求22i1 2i.【详解】22i1 2i244i2i62i，故选：D.7（2022全国高考真题）若i(1)1z，则zz（）A2B1C1D2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求zz.【详解】
19、由题设有21i1iiiz，故1+iz，故1i1i2zz，故选：D8（2022全国高考真题（文）设(12i)2iab，其中,a b为实数，则（）A1,1ab B1,1abC1,1ab D1,1ab 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出【详解】因为,a bR，2 i2iaba，所以0,22aba，解得：1,1ab 故选：A.9（2022全国高考真题（理）若13iz ，则1zzz（）A13i B13i C13i33D13i33【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】13i,(13i)(13i)1 34.zzz 13i13i13
20、33zzz 故选：C10（2022全国高考真题（文）若1iz 则|i3|zz（）A4 5B4 2C2 5D2 2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出【详解】因为1iz ，所以i3i 1 i3 1 i22izz，所以i3442 2zz故选：D.11（2022全国高考真题（理）已知12zi，且0zazb，其中 a，b 为实数，则（）A1,2ab B1,2ab C1,2abD1,2ab 【答案】A【解析】【分析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz1 2i(1 2i)(1)(22)izazbababa 由0za
21、zb,得10220aba,即12ab 故选:A二二、填空题、填空题12（2022全国高考真题（理）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3b r，则2abb_【答案】11【解析】【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3，再根据数量积的定义求出a b，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3，又1a，3b r，所以1cos1 313a bab ，所以2222222 1 311abba bba bb 故答案为：1113（2022全国高考真题（文）已知向量(,3),(1,1)ambm若ab，则m_【答案】34#0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a bmm，解得34m .故答案为：34.