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1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式,人教A版高中必修第一册,学习目标,1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义2.借助二次函数图像，探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系体会数学的整体性3.能够借助二次函数准确求解一元二次不等式，提高运算能力,教学重点、难点,重点：二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集,难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用,引入,在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问
2、题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？,一元二次不等式的定义,问题1： 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m,则这个矩形的边长为多少米？,分析：不妨设这个矩形的一条边长为x m, 则另一条边为（12-x)m,故矩形面积为x(12-x). 由题意知x(12-x)20.即x-12x+200,思考：与一元一次不等式类比，x-12x+200有什么特点？,一元二次不等式的定义,一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。,一元二次不等式的一般形式是 ax+bx+c0
3、或ax+bx+c0. 其中a,b,c均为常数且a0,一元二次不等式的解法,思考： 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的解法呢？,一元二次不等式的解法,先来考察一元二次不等式 与二次函数 之间的关系。,画出一元二次函数y=x2-12x20的图象.,(2,0),x=6,(10,0),（6,-56）,画二次函数的大致图象:确定开口方向；画对称轴；确定顶点；确定与y轴的交点；确定与x轴的交点；连线,向上,x=6,（6,-56）,（0,20）,(2,0)和(10,0),一元二次不等式的解法,观察
4、图像回答问题（1）方程x-12x+20=0的根与二次函数y=x-12x+20有什么关系？,x-12x+20=0的根x1=2,x2=10y=x-12x+20与x轴的交点是（2,0）和（10,0）,（2）一元二次方程x-12x+20=0的实数根就是二次函数y=x-12x+20图像上纵坐标为0的点的横坐标，这个结论可以推广到一般吗？,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点。 故二次函数y=x-12x+20的两个零点是2和10.,一元二次不等式的解法,(3)二次函数y=x-12x+20的两个零点将x轴分成三段。每一段（不包括零点）对
5、应的函数图像有什么特点？函数值有什么特点？,当x10时，函数图像位于x轴上方，此时，y0，即x-12x+200,当2x10时函数图像位于x轴下方，此时，y0,即x-12x+200,一元二次不等式的解法,问题2：上述方法能推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c0（a0)和ax+bx+c0)的解集吗？,（4）从函数y=x-12x+20图像上能写出不等式x-12x+200解集吗？,一元二次不等式x-12x+200的解集为,因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数的图像与x轴的相关位置来确定一元二次不等式的解集。,一元二次不等式的解法,二次函数与一
6、元二次方程、不等式的解的对应关系,0,有两相异实根x1, x2 (x1x2),x|xx2,x|x1 x x2 ,=0,有两相等实根 x1=x2=,x|x ,0,没有实根,R,a0时如何处理？,一元二次不等式的解法,例1 求不等式x2-5x+60的解集.,x,y,0,2,3,y=x-5x+6,画出二次函数y=x2-5x+6图像，结合图像得不等式x2-5x+60的解集为,解：对于方程x2-5x+6=0，因为0,所以它有两个实数根。解得x1=2，x2=3.,一元二次不等式的解法,例2 求不等式9x2-6x+10的解集.,x,y,0,y=9x-6x+1,解：对于方程9x2-6x+1=0，因为=0，所以
7、它有两个相等的实数根，解得x1=x2=,画出二次函数y=9x-6x+1的图像，结合图像得不等式9x2-6x+10的解集为,一元二次不等式的解法,例3 求不等式-x2+2x-30的解集.,0,2,4,3,x,y,y=-x2+2x-3,画出函数y=x2-2x+3的图像，结合图像得不等式x2-2x+30得解集为。,解：不等式可化为x2-2x+30.因为=-80，所以方程x2-2x+3=0无实数根。,对于二次项系数是负数的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解。,一元二次不等式的解法,思考：求解一元二次不等式的步骤,将原不等式化成ax2+bx+c0(a0)的形式,计算=b2-4ac的值,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，解得x1,x2(x1x2),0,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=,=0,方程ax2+bx+c=0没有实数根,0,原不等式的解集为,原不等式的解集为,原不等式的解集为R,x|x ,课堂检测,求下列不等式的解集,（1）x2-3x10,（2）-x2+4x-40,（3）x2-3x+40,课堂小结,1、一元二次不等式的概念2、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系3、求解一元二次不等式的方法步骤,作业,P55习题2.3 第1,3,5题,