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1、振动之同方向的简谐振动的合成第1页，本讲稿共16页当两个分振动同相时当两个分振动同相时=2-1=2k,(k=0，1，2，.)因为因为cos(2-1)=1，所以，所以可见：合振幅等于原来两个简谐振可见：合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之和，振动加强。动的振幅之和，振动加强。当两个分振动反相时当两个分振动反相时=2-1=(2k+1),(k=0，1，2，.)讨论讨论 x=cos(t+),因为因为cos(2-1)=-1，所以，所以xM1Ox2A2P2AA1x1x合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之差的绝对值，振动减弱。差的绝对值，振动减弱。如果如果A1=A2，则合振动的
2、结果，则合振动的结果使质点处于静止状态。使质点处于静止状态。一般情况下，合振幅介于一般情况下，合振幅介于A1+A2和和|A1-A2|之间之间。范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成第2页，本讲稿共16页两个振动同相，合两个振动同相，合振动加强，振幅达振动加强，振幅达到到0.07m。如果第一个振动如果第一个振动的振幅和初相分的振幅和初相分别为别为0.03m和和0，第二个振动的第二个振动的振幅和初相分振幅和初相分别为别为0.04m和和0，第3页，本讲稿共16页如果两个振动如果两个振动的振幅不变，的振幅不变，角度分别是角度分别是0和和90，x2超前超前x1的的相位相位/
3、2，合振幅为合振幅为0.05m，初相，初相的度数达到的度数达到53。第4页，本讲稿共16页如果将两如果将两个角度数个角度数改为改为0和和180，则两，则两个振动反相，个振动反相，合振动减弱，合振动减弱，振幅只有振幅只有0.01m。第5页，本讲稿共16页如果将两个角度数改为如果将两个角度数改为0和和-90，x2滞后滞后x1的相位的相位/2。除了同相和反相的除了同相和反相的情况外，合振动的情况外，合振动的极大值的横坐标处极大值的横坐标处在两个分振动的极在两个分振动的极大值的横坐标之间。大值的横坐标之间。第6页，本讲稿共16页(2)有有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是个同一直线同频率的简
4、谐振动，它们的振幅都是A，相差，相差都是都是，第一个振动的初相为零。求，第一个振动的初相为零。求n个简谐振动的振幅和初相。个简谐振动的振幅和初相。n个简谐振动可表示为个简谐振动可表示为x1=Acost，x2=Acos(t+)，x3=Acos(t+2)，xn=Acost+(n-1)根据矢量合成法则，这些简根据矢量合成法则，这些简谐振动对应的旋转矢量的合谐振动对应的旋转矢量的合成如图所示。成如图所示。由于各个振动的振幅相同且相差恒为由于各个振动的振幅相同且相差恒为，图中各个矢量的起点和终点都在，图中各个矢量的起点和终点都在以以C为圆心的圆周上。为圆心的圆周上。解析解析(2)采用旋转矢量法可使问题得
5、到简采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。化，从而避开烦琐的三角函数运算。设圆的半径为设圆的半径为r，每个矢量对应，每个矢量对应的圆心角都是的圆心角都是，因此，因此全部矢量对应的圆心全部矢量对应的圆心角是角是n，因此，因此这是多个等这是多个等幅同频振动幅同频振动的合振幅公的合振幅公式式。A 1A2A 3A 4A5AMnCr范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成第7页，本讲稿共16页这是多个等幅同频振动的初相公式。这是多个等幅同频振动的初相公式。(2)有有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是A，
6、相差都是相差都是，第一个振动的初相为零。求，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振个简谐振动的振幅和初相。幅和初相。初相为初相为合振动为合振动为x=Acos(t+)当当0时，有时，有AnA，0，这就是等幅同频同相，这就是等幅同频同相振动合成的情况。振动合成的情况。如果如果nA=2，就是所，就是所有矢量旋转构成一个正有矢量旋转构成一个正多边形，则多边形，则A=0。振幅振幅这是多个等幅同频振动的振动公式。这是多个等幅同频振动的振动公式。A 1A2A 3A 4A5AMnCr范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成第8页，本讲稿共16页如果有如果有7个分振动，相差依次为个
7、分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。将各个将各个分振动分振动叠加之叠加之后，振后，振幅越来幅越来越大，越大，初位相初位相也越来也越来越大。越大。第9页，本讲稿共16页矢量首尾相接形成多边形的一矢量首尾相接形成多边形的一部分，最后首尾相接的矢量就部分，最后首尾相接的矢量就是合振动，合振幅为是合振动，合振幅为A=5.4A，初相为，初相为60度。度。第10页，本讲稿共16页当各振当各振动逐级动逐级叠加时，叠加时，合振幅合振幅先增加先增加再变小。再变小。取取10个个分振动，分振动，相差依相差依次为次为30度。度。第11页，本讲稿共16页合振
8、幅为合振幅为A=1.9 A，初相为，初相为135度。度。第12页，本讲稿共16页取取12个分振动，相差依次为个分振动，相差依次为30度，分振动就构成一度，分振动就构成一个完整的正多边形，合个完整的正多边形，合振幅为零振幅为零。如果分振动的相差为零，那么，如果分振动的相差为零，那么，正多边形变成一条线。正多边形变成一条线。第13页，本讲稿共16页(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。x1=Acos(1t+)，x2=Acos(2t+)利用和差化积公式可得合振动为利用和差化积公式可得合振动为可见：两个同方向不同频可见：两个同方向不同频率的简谐振
9、动合成之后不率的简谐振动合成之后不是简谐振动，也没有明显是简谐振动，也没有明显的周期性。的周期性。当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|2-1|2+1，方程就表示了振幅按，方程就表示了振幅按2Acos(2-1)t/2变化的角频率为变化的角频率为(2+1)/2的的“近似近似”的简谐振动。的简谐振动。这种振动的振幅变化是周期性的，相对这种振动的振幅变化是周期性的，相对于简谐振动来说是缓慢的。于简谐振动来说是缓慢的。解析解析(3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振动，角频率分设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振动，角频率分别为别为1和
10、和2，为了突出频率不同所产生的效果，设分振动的振幅和初相位都，为了突出频率不同所产生的效果，设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为相同，因此两个分振动方程为由于余弦函数的绝对值的周期为由于余弦函数的绝对值的周期为，设时间周期为，设时间周期为Tp，则有，则有因此拍频如上因此拍频如上范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成第14页，本讲稿共16页不妨设两个不妨设两个振动的初相振动的初相都为零，第都为零，第一个角频率一个角频率为为/2，第二，第二个角频率比个角频率比第一个角频第一个角频率大率大=/10。每经过每经过20s，两，两个振动的个振动的最大值重最大值重
11、合。经过合。经过10s，两，两个振动个振动的极大的极大值和极值和极小值重小值重合。合。拍频为拍频为fp=/2=1/20Hz，拍频的周期为，拍频的周期为T p=1/fp=20s。一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平均值；另一条一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。曲线的角频率较小，称为调制线。因为质点振幅的改变是周期性的，就形成时因为质点振幅的改变是周期性的，就形成时强时弱的现象，这种现象称为强时弱的现象，这种现象称为“拍拍”。调制线决定了振幅的范围。调制线决定了振幅的范围。第15页，本讲稿共16页两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。如果将两个如果将两个振动的角频振动的角频率之差改小率之差改小一些，例如一些，例如=/15，两个振动，两个振动的最大值重的最大值重合的周期随合的周期随着发生变化。着发生变化。拍频为拍频为fp=/2=1/30Hz，拍频的周期为，拍频的周期为T p=1/fp=30s。第16页，本讲稿共16页