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1、二、同方向不同频率两个二、同方向不同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成一、同方向同频率两个一、同方向同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成三、个互相垂直同频率三、个互相垂直同频率简谐简谐振动的合成振动的合成研究方法：研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐采用振动描述的三种方法来分析简谐振动的合成。振动的合成。本讲主要内容：本讲主要内容：五、谐振分析和频谱五、谐振分析和频谱四、两个互相垂直不同频率四、两个互相垂直不同频率简谐简谐振动的合成振动的合成2021012021010coscossinsin AAAAtg )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos(0
2、 tAx)cos(21020212221 AAAAA同方向同频率两个同方向同频率两个简谐简谐振动的合成仍为振动的合成仍为简谐振动。简谐振动。x20 x0 x10 x02010P .Aot M2A1AA2A1A一、同方向同频率两个一、同方向同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成讨论两个特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相,21020 k ,.2, 1, 0 k)cos(21020212221 AAAAA由由212122212AAAAAAA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)两个振动反相两个振动反相212122212AAAAAAA ,)12(1020 k,.2, 1
3、, ok如果如果21AA 则则 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动合成振动xto2TT23T2T合成振动合成振动一般情况一般情况为其他任意值，则：为其他任意值，则：)(2121AAAAA 上述结果说明上述结果说明两个振动的相位差两个振动的相位差对合振动起着对合振动起着重要作用。重要作用。合成振动合成振动t2TT23T2TxoO OA例例: : 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。个振动的相位差。解：解： 21AAA AAA 213
4、212 1A2A例例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次为为 ， 2 ，,试求它们的合振幅试求它们的合振幅;并证明当并证明当N=2k 时的合振幅为零。时的合振幅为零。 A合合XOBCA0解：解： 合振幅合振幅A2sin2 NRA 由由 OPa可看出可看出2sin20 RA2sin2sin0 NAA 当当N=2k 时的合振幅为零。请记住这个结论！时的合振幅为零。请记住这个结论！请大家自行练习！请大家自行练习！ N QRPab /2A -仍为仍为简谐振动简谐振动x12A 1A 2若若 1 1= = 2 2 , ,则则 不变；不变；若若 1 1 2
5、2 , ,则则 变；变；-为为一复杂运动一复杂运动同方向同频率两个同方向同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成二.同方向不同频率两个简谐振动的合成同方向不同频率两个同方向不同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成 tA2cos212 t2cos21 21xxxtAx11cos tAx22cos 设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为计时起点计时起点位移位移x xt to o2TT T23T2T2T分振动分振动1 1分振动分振动2 2合振动合振动122 为为一复杂振动一复杂振动和频和频差频差频振幅周期性变化振幅周期性变化toxx1x2&着重研究着重
6、研究21, 相近情况相近情况拍现象（拍现象（Beat)即即 1- 2 1 or 2 x tA2cos212 t2cos21 21xxx 振幅随时间的变化非常缓慢振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子振幅调制因子Amplitude modulation factor应用应用cool edit来合成两频率相近的简谐振动来合成两频率相近的简谐振动问题：两个拍现象中那个的问题：两个拍现象中那个的差频大？差频大？声音强弱的变化声音强弱的变化声音强弱的变化声音强弱的变化6秒中变化了秒中变化了6次，有次，有6 拍拍6秒中变化了秒中变化了3次，有次，有3 拍拍 tA2cos212 x tA2cos212 t2c
7、os21 振幅变化缓慢振幅变化缓慢振幅变化缓慢振幅变化缓慢 |2|12一个强弱变化所需的时间一个强弱变化所需的时间toxx1x221xxx 合振幅变化的频率即合振幅变化的频率即拍频拍频|2|1212 拍拍手风琴的中音簧：手风琴的中音簧： 的两排中音簧的频的两排中音簧的频率大概相差率大概相差6到到8个赫兹，其作用就是产生个赫兹，其作用就是产生“拍拍”频。而俄罗斯的频。而俄罗斯的“巴扬巴扬”-则是单则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化
8、，通过测量反射波与入射波应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。速装置中。 &拍现象是一种很重要的物理现象。拍现象是一种很重要的物理现象。)cos(1011 tAx)cos(2022 tAy)(sin)cos(210202102021222212 AAxyAyAx消去消去 得到轨道方程得到轨道方程t（椭圆方程）（椭圆方程） 102001020 21AAyx 21AAyx yx质点的轨迹曲线质点的轨迹曲线仍为谐振动，仍
9、为谐振动，但是振动方向但是振动方向改变了！改变了！三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成12 A22 Ayx21020 1222212 AyAx21AA 轨迹为圆轨迹为圆注意！注意！提问：若提问：若y方方向振动落后向振动落后x方向，则结方向，则结果如何？果如何？两个互相垂直不两个互相垂直不同振幅同频率同振幅同频率简谐简谐振动的合成振动的合成22301020 12 A22 A2443454749与合成相反：一个圆运动或椭圆运动与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为可分解为相互垂直的两个简谐振动。相互垂直的两个简谐振动。四、两个互相垂直不同频率四、两个互相垂直不同频率简谐简谐振动的合成振动的合成
10、如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论简单的情形。讨论简单的情形。&两振动的频率只有很小的差异两振动的频率只有很小的差异 则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓慢地变化，因此缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按合成运动轨迹将要不断地按上上图所示图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。椭圆再变成直线等等。如果已知一个振动的周期，就如果已知一个振动的周期，就可以
11、根据李萨如图形求出另一可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种比较个振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率方便也是比较常用的测定频率的方法。的方法。则合成运动又具有稳定的则合成运动又具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图封闭的运动轨迹。这种图称为称为李萨如图李萨如图。&如果两振动的频率相差较如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比大，但有简单的整数比为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）两个同方向频率相近的两个同方向频率相近的简谐简谐振动的合成振动的合成总结：总结：合振幅变化的频率即合振幅变化的频率即拍频拍频|12 拍拍两个同方向频
12、率相同的两个同方向频率相同的简谐简谐振动的合成仍为简谐振动。振动的合成仍为简谐振动。合振幅与两振动的合振幅与两振动的相位差相位差有关，可用旋转矢量图求得。有关，可用旋转矢量图求得。两个振动方向垂直频率相同的两个振动方向垂直频率相同的简谐简谐振动的合成可能仍振动的合成可能仍为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭圆运动。圆运动。M课后实验：课后实验：1. 请你测量一根吉他琴弦的振动频率。请你测量一根吉他琴弦的振动频率。2. 敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调.试用试用 音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否
13、音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否能把他们排列起来构成一个八度音阶。能把他们排列起来构成一个八度音阶。五、谐振分析和频谱五、谐振分析和频谱 在自然界和工程技术中，我们所遇到的振在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅
14、立叶积分的理论，因此这种方法称为立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶傅立叶分析。分析。（自学）（自学） 先看一个先看一个倍频谐振动倍频谐振动的的例子。下图，两种虚线代表例子。下图，两种虚线代表两份振动，频率之比为两份振动，频率之比为3:1，实线代表它们的合振动，图实线代表它们的合振动，图（a),(b), (c)分别表示三种不分别表示三种不同的初相位所对应的合振动。同的初相位所对应的合振动。三种不同情况，和振动各有三种不同情况，和振动各有不同形式，它们不再是简谐不同形式，它们不再是简谐振动，但仍然是周期运动，振动，但仍然是周期运动，而且而且合振动的频率与分振动合振动的频率与分振动中的最低频率（
15、基频）相等中的最低频率（基频）相等. 如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频其频 率等于倍频。按规律：率等于倍频。按规律： 如果增加合成的项数，就如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：可以得到方波形的振动：)7cos715cos513cos31(cos)( ttttAtx 既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分任意周期性振
16、动都可以分解为一系列简谐振动，解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为其中与原振动频率一致的分振动称为基频基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、频的倍数而相应的称为二次、三次、谐频振动。谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。和的方法，称为谐振分析。 10sincos2)(nnntbtnaatx 100cos)(nntnAAtx Tttt
17、txTa00d)(20各系数可由公式得各系数可由公式得 TttnttntxTa00dcos)(2 TttntttxTb00dsin)(2 其中：其中：22nnnbaA nnnbaarctan 为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅，的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱振动的频谱。不同。不同的周期运动，具有不同的频谱，周
18、期运动的各谐振成分的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。所以它的频谱是分立谱。不同乐器奏出的统一音调的音色不同乐器奏出的统一音调的音色各不相同，就是由于各种乐器所各不相同，就是由于各种乐器所包含的谐频振动的振幅不同所致。包含的谐频振动的振幅不同所致。下图表示小提琴和钢琴同奏基频下图表示小提琴和钢琴同奏基频为为440Hz(A调）的振动曲线和相调）的振动曲线和相应的频谱：应的频谱：近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号处理机等，处理机等， 使用这类仪器可以在很短的时间内完成使用这类仪器可以在很短的时间内完成频谱分析。频谱分析。