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1、工程力学第八章圆轴的扭转你现在浏览的是第一页，共71页实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆；机械中的传动轴等。传动轴传动轴8.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例你现在浏览的是第二页，共71页研究对象：研究对象：研究对象：研究对象：圆截面直杆受力特点：受力特点：受力特点：受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:SMx=0变形特征：变形特征：变形特征：变形特征：相对扭转角 f f f fABABxyz0 0MM0 0MM变形前变形前变形后变形后f fAB你现在浏览的是第三页，共71页 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆
2、截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。你现在浏览的是第四页，共71页8.2 扭矩与扭矩与扭矩图扭矩图扭矩：MT是横截面上的内力偶矩。内力由截面法求得。取左边部分取左边部分平衡平衡由平衡方程：MM0 0MM0 0假想切面假想切面外力偶外力偶 MM0 0内力偶内力偶 MMT T你现在浏览的是第五页，共71页由平衡方程：由平衡方程：取右边部分取右边部分MT 和和MT 是同一截面上的内力，应是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负当有相同的大小和正负。TMM0 0MM0 0假想切面假想切面取左边部分取左边部分平衡平衡外力偶外力偶 MM0 0 扭矩扭矩
3、MMT T扭矩扭矩外力偶外力偶 平衡平衡MM T TMM0 0你现在浏览的是第六页，共71页扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：按右手螺旋按右手螺旋法则确定扭法则确定扭矩的矢量方矩的矢量方向，扭矩矢向，扭矩矢量的指向与量的指向与截面的外法截面的外法线方向一致线方向一致者为正，反者为正，反之为负。之为负。负负MM0 0MMT TMM0 0MMT T正正你现在浏览的是第七页，共71页nnmT（+）mnnT（+）上述截面的内力（扭矩）为正值上述截面的内力（扭矩）为正值扭矩图：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基线，用一个
4、图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称为扭矩图xT+你现在浏览的是第八页，共71页例8-1、作图示圆轴的扭矩图2mxmx3mxABC解：由于AB、BC两段的扭矩不同，所以要分段计算（1 1）计算）计算ABAB段的扭矩段的扭矩1用假想的1截面将轴切开，取左段为隔离体根据平衡条件求得：TAB=2mx112mxTAB 你现在浏览的是第九页，共71页（2 2）计算）计算BCBC段的扭矩段的扭矩2用假想截面2将圆轴切开，取左段或右段为隔离体，根据平衡条件求得：TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3 3）作扭矩图）作扭矩图xTABC2mxmx+你现在浏览的是
5、第十页，共71页例8-2图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图ABC解：1）计算外力矩齿轮B输入的功率分别传递到轮A、C上，每个轮所消耗的功率为：PK/2mAmBmC你现在浏览的是第十一页，共71页 2）计算AB段内力根据平衡条件，可求得：TAB=mA=74NmmAATABmAmBABTBC 3）计算BC段内力根据平衡条件，求得：TBC=mA-mB=-74Nm 4 4）扭矩图）扭矩图xTABC7474+mAmBmC你现在浏览的是第十二页，共71页 例例8-3 一传动轴如图，转速 ；主动
6、轮输入的功率P1=500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150 kW，P3=150 kW，P4=200 kW。试作轴的扭矩图。你现在浏览的是第十三页，共71页解解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩你现在浏览的是第十四页，共71页2.计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的你现在浏览的是第十五页，共71页3.作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。你现在浏览的是第十六页，共71页思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？你现在浏览的是第十七页，共71页15.94.786.3
7、7 4.78你现在浏览的是第十八页，共71页5kN5kN3kNN 图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法简捷画法：201 10ABC 在左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载荷荷大小画水平线；遇集中载大小画水平线；遇集中载大小画水平线；遇集中载大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。荷作用则内力相应增减；至右端回到零。荷作用则内力相应增减；至右端回到零。荷作用则内力相应增减；至右端回到零。F FN图（轴力）图（轴力）图（轴力）图（轴力）按右手法确定按右手法确定+向xoCABMMT T图图图图你现在浏览的是第
8、十九页，共71页讨论：讨论：试作扭矩图试作扭矩图2010MMT T图图图图按右手法确定按右手法确定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mA AB BC CD D20 xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：求反力偶：2010MMT图图按右手法确定按右手法确定+向A AB BC CD D20你现在浏览的是第二十页，共71页8.3 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形8.3.1.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面问题的物理方面)内力
9、与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面问题的静力学方面)你现在浏览的是第二十一页，共71页圆轴扭转实验现象：圆轴扭转实验现象：横向：圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转动纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。你现在浏览的是第二十二页，共71页取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱
10、形ABCD。1.变形几何条件变形几何条件是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=dx=rdf ,故有：df/dx,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDA AB Brr r r rC D dfdfg gMTg g你现在浏览的是第二十三页，共71页1.变形几何条件变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。剪应变的大小与半径r成正比。与单位扭转角df/dx成正比。即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：-(1)同样有：CC=dx=rdfdxOCDA AB Brr r r rC D dfMTg g g gr r r rg g g gr r r r你现在浏览
11、的是第二十四页，共71页2.2.物理关系物理关系 材料的应力材料的应力-应变关系应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。单位GPa-(2)半径为r处的剪应力则为：圆轴扭转时圆轴扭转时无正应力无正应力1GOtg g1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。你现在浏览的是第二十五页，共71页讨论：讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。-(3)dxOCDA AB Brr r r rC D dfMTg g
12、g gr r r rg g g gr r r rt t t tr r r rMT Tot tr r r rr rt tmaxmax最大剪应力在圆轴最大剪应力在圆轴表面处。扭转表面处。扭转截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。你现在浏览的是第二十六页，共71页3.力的平衡关系力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：-(3)利用利用(3)(3)式，得到：式，得到：t t t tr r r rMT Tot tr r r rr rt tmaxmaxdA
13、你现在浏览的是第二十七页，共71页3.力的平衡关系力的平衡关系 令：最后得到：-(4)Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。tmax在圆轴表面处，且WT =IP/r，称为抗扭截面模量。求求I IP，WT?t t t tr r r rMT Tot tr r r rr rt tmaxmax你现在浏览的是第二十八页，共71页8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量d dD Do o讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr,则有：r r r rd dr r r rdAdA极惯极惯性矩性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-
14、=-=DdDdIDd抗扭截面模量：抗扭截面模量：1616/)1 1()2 2/(/(4 43 3a a a ap p p pP P-=D DD DI IWWT Ta=d/D极惯性矩：抗扭截面模量你现在浏览的是第二十九页，共71页d dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴实实心心圆圆轴轴D Do o极惯性矩:抗扭截面模量:a=d/D=0你现在浏览的是第三十页，共71页研究思路：研究思路：变形几何条件变形几何条件dx -(1)d/j jr rg g=+材料物理关系材料物理关系dxdGGj jr rg gt tr rr r=-(2)静力平衡关系静力平衡关系+TAMdAdxdG=2r rj j
15、-(3)圆轴扭转剪应力公式：圆轴扭转剪应力公式：P Pr r r rr rt tIMT T=-(4)且由且由(2)、(4)可可知单位扭转角为：知单位扭转角为：Pj jGIMdxdT/=-(5)你现在浏览的是第三十一页，共71页结论结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处 截面外圆周处（表面）tP=MTr/IP tmax=MT/WT d dD Do o空空心心圆圆轴轴实实心心圆圆轴轴D Do oMMT Tt t t tr r r rt t t tmaxmaxMMT Tt t t tr r r rt t t tmaxmax
16、你现在浏览的是第三十二页，共71页讨论：讨论：2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同相同相同不同不同o oMMT ToMMT ToMMT ToMMT T你现在浏览的是第三十三页，共71页8.3.3 8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态扭转圆轴任一点的应力状态 MMT TdxMMT Tt tt tdxcAdyt t t tt t t tt t t t t t t t 研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向
17、面。AA的平衡？的平衡？S S S SMMC C(F F)=)=t t t t d dx xd dy y-t t t tdyd dx=0=0 t t t t=t t 剪应力互等定理：剪应力互等定理：物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。你现在浏览的是第三十四页，共71页dxcAdyt t t tt t t tt t t t t t t t 纯剪应力纯剪应力状态等价于转过状态等价于转过4545 后微元的二向后微元的二向等值拉压应力状态。等值拉压应力状态。纯剪应力状态:微元各面只有剪应力作用。4545 斜截面上的应力：斜截面上的应力
18、：t t t t4545 dxct t45 s s s s4545 t t t tt t t td dx x+(+(t t t t45 d dx x/cos45/cos45 )cos45)cos45 +(+(s s s s4545 d dx x/cos45/cos45)sin45=0还有：还有：还有：还有：s s s s-4545 =t t t t；t t-4545=0=0 t t t td dx x-(t t45 d dx x/cos45/cos45 )sin45)sin45 +(+(s s s s4545 d dx x/cos45 )cos45)cos45 =0=0解得：解得：解得：解得：
19、s s s s4545 =-t t t t；t t4545=0=0。As ss s你现在浏览的是第三十五页，共71页 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef(如图)上的应力。斜截面上的应力斜截面上的应力你现在浏览的是第三十六页，共71页分离体上作用力的平衡方程为利用t=t，经整理得你现在浏览的是第三十七页，共71页由此可知：(1)单元体的四个侧面(a=0和 a=90)上切应力的绝对值最大；(2)a=-45和a=+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；，如图所示。你现在浏览的是第三十八页，共71页低碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束你现在浏览的是第三十九页，共71页低碳钢扭转破
20、坏断口 你现在浏览的是第四十页，共71页铸铁扭转破坏试验过程你现在浏览的是第四十一页，共71页铸铁扭转破坏断口你现在浏览的是第四十二页，共71页 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？你现在浏览的是第四十三页，共71页 例题例题8-48-4 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。你现在浏览的是第四十四页，共71页解：由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得你现在浏览的是第四十五页，共71页两轴的重量比即为其横截面
21、面积之比：空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。你现在浏览的是第四十六页，共71页.强度条件强度条件此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。你现在浏览的是第四十七页，共71页 例例8-5 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm，材料的许用切应力t=80 MPa。试校核该轴的强度。你现在浏览的是第四十八页，共7
22、1页BC段内AB段内解：解：1.绘扭矩图 2.求每段轴的横截面上的最大切应力你现在浏览的是第四十九页，共71页3.校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。t2,max t1,max，但有t2,maxt =80MPa，故该轴满足强度条件。你现在浏览的是第五十页，共71页.扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)来度量。MeADB CMej jg g8.3.4 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形你现在浏览的是第五十一页，共71页 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有 由前已得
23、到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角为GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r r r r你现在浏览的是第五十二页，共71页解：解：1.各段轴的横截面上的扭矩：例例8-68-6 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2=955 Nm，M3=637 Nm，lAB=300 mm，lAC=500 mm，d=70 mm，钢的切变模量G=80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角CB.你现在浏览的是第五十三页，共71页3.横截面C相对于B的扭转角：2.各段轴的两个端面间的相对扭转角：你现在
24、浏览的是第五十四页，共71页例8-7 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m Mc=100N.m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C150100MMT T/N.m/N.mABAB段：段：段：段：N-mm-Mpa单位制单位制N-mm-MpaN-mm-Mpa单位制单位制单位制单位制你现在浏览的是第五十五页，共71页故故 t tmaxmax=86.7Mpa=86.7Mpa3)计算扭转角ACradGIl
25、MGIlMBCBCTBCABABTABAC183.0=+=r rr rj jBCBC段：段：段：段：N-mm-MpaN-mm-Mpa单位制单位制单位制单位制A AB BC C150100MMT T/N.m/N.m f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA A你现在浏览的是第五十六页，共71页.刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴q0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴q2()/m。你现在浏览的是第五十七页，共71页解解:1.按强度条件求所需外直径D 例例8 8-8
26、由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力t =40 MPa，切变模量G=80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax=9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角q=0.3()/m。试选择轴的直径。你现在浏览的是第五十八页，共71页2.按刚度条件求所需外直径D3.空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a=d/D=0.5知你现在浏览的是第五十九页，共71页8-5 扭转静不定问题扭转静不定问题 例例8-98-9 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力
27、偶矩以及C截面的扭转角。(a)你现在浏览的是第六十页，共71页 解解:1.有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次静不定问题。(a)MAMB你现在浏览的是第六十一页，共71页 2.B为固定端,因此(a)MAMB你现在浏览的是第六十二页，共71页4.杆的AC段横截面上的扭矩为从而有(a)你现在浏览的是第六十三页，共71页 例例8-108-10 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a)你现在浏览的是第六十四页，共71页 解解:1.铜杆和钢
28、管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb=Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2.位移相容条件为你现在浏览的是第六十五页，共71页3.利用物理关系得补充方程为4.联立求解补充方程和平衡方程得：TaTb(b)你现在浏览的是第六十六页，共71页5.铜杆横截面上任意点的切应力为钢管横截面上任意点的切应力为你现在浏览的是第六十七页，共71页 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r=a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由
29、于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。你现在浏览的是第六十八页，共71页圆轴扭转圆轴扭转剪应力剪应力 t t t t 在横截在横截在横截在横截面上线性分布。面上线性分布。面上线性分布。面上线性分布。小结小结杆的拉压杆的拉压扭矩扭矩 M (右手法右手法)T内力内力轴力轴力FN(拉为正拉为正)应力应力正应力正应力 s s 在横截在横截面上均匀分布。面上均匀分布。最大剪最大剪应力在应力在表面处表面处oMTt tmaxFNs s变形变形EALFLN N/=D Dr r r rq qGIMT T/=抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗拉刚度抗拉刚度你现在浏览的是第六十九页，共71页圆轴扭转圆轴扭转小结小结杆的拉压杆的拉压强度强度强度强度设计设计设计设计刚度刚度设计设计极惯性矩：极惯性矩：实心轴实心轴空心轴空心轴抗扭截抗扭截面模量：面模量：实心轴实心轴空心轴空心轴你现在浏览的是第七十页，共71页作业:第一次：8-1(b)(c)，8-2第二次：8.3 8.8 8.10你现在浏览的是第七十一页，共71页