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1、第九章-拉普拉斯变换1第1页，共38页，编辑于2022年，星期二9.0 9.0 引言引言傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基本分解信号。为基本分解信号。对更一般的复指数函数对更一般的复指数函数 和和 ，也能以此为基本信号对信号进，也能以此为基本信号对信号进行分解。行分解。复指数函数是一切复指数函数是一切LTILTI系统的特征函数。系统的特征函数。相当广泛的信号都可相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合以表示成复指数信号的线性组合将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变换）（拉普拉斯变换）就是本章要讨论的
2、中心问题。就是本章要讨论的中心问题。拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用傅拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于傅里氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于傅里叶分析方法不适用的许多叶分析方法不适用的许多 问题。问题。拉普拉斯分析是傅里叶分析拉普拉斯分析是傅里叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。第2页，共38页，编辑于2022年，星期二一一.双边拉氏变换的定义：双边拉氏变换的定义：其中其中若若 ，则有则有:这就是这就是 的傅里叶变换。的傅里叶变换。连续时间傅里叶
3、变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 (s(s平面的平面的 轴轴)上的特例。上的特例。FT:FT:实频率，实频率，是振荡频率是振荡频率LT:LT:复频率复频率 ，是振荡频率，是振荡频率，控制衰减速度控制衰减速度9.1 9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 s 平面平面第3页，共38页，编辑于2022年，星期二拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是的拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使本来存在，就可以使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入不满足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该条件。即有些后满足该
4、条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。换比傅里叶变换有更广泛的适用性。不满足狄里赫利条件的信号u(t)增长信号乘一衰减因子 后收敛第4页，共38页，编辑于2022年，星期二例例1.当当 时，时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在:在在 时，积分收敛：时，积分收敛：拉氏变换收敛的区域为拉氏变换收敛的区域为 ，包括了，包括了 轴。轴。比较比较 和和 ,有有:当当 时，时，收敛域不包含收敛域不包含 轴，所以不能得出轴，所以不能得出u(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为第5页，共38页，编辑于20
5、22年，星期二例例2.与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。在在 时，积分收敛：时，积分收敛：第6页，共38页，编辑于2022年，星期二几点结论：几点结论：1.1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是信号的拉氏变换都存在，也不是 s s 平面上的任何复数都能平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。使拉氏变换收敛。2.2.使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 s s的集合，称为拉氏变的集合，称为拉氏变换的换的收敛域收敛域(ROC)(ROC)。收敛域对拉氏变换是非常重要
6、的概念。收敛域对拉氏变换是非常重要的概念。3.3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。是它们的收敛域不同。只有拉氏变换的表达式连同相应只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。4.4.如果一个信号的拉氏变换的如果一个信号的拉氏变换的ROCROC包含包含 轴，则信号的傅轴，则信号的傅里叶变换也存在，并且：里叶变换也存在，并且：第7页，共38页，编辑于2022年，星期二二二.拉氏变换的拉氏变换的ROCROC及零极点图：及零极点图：例例3.第8页，共38页，编辑
7、于2022年，星期二可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROCROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROCROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根的分母的根(极点极点)相对应。相对应。极点极点零点零点第9页，共38页，编辑于2022年，星期二分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根称为，分母多项式的根称为极点极点。将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S S平面上，就构成了平面上，就构成了零零极点图极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个。零极点图及其收敛域可以表示一个 ，
8、最多与真，最多与真实的实的 相差一个常数因子相差一个常数因子 。因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。若若 是有理函数是有理函数第10页，共38页，编辑于2022年，星期二9.2 9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域2.2.在在ROCROC内无任何极点。内无任何极点。1.ROC1.ROC是是 s s 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。4.4.右边信号的右边信号的ROCROC位于位于s s平面内一条平行于平面内一条平行于 轴的直轴的直线的右边。线的右边。5.5.左边信号的左边信号的ROCROC位于位于s s平面内一条平行于平面内一条平行于
9、轴的轴的 直线的左边。直线的左边。3.3.时限信号的时限信号的ROCROC是整个是整个 s s 平面。平面。6.6.双边信号的双边信号的ROCROC如果存在，一定是如果存在，一定是 s s 平面内平行于平面内平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。第11页，共38页，编辑于2022年，星期二若若 ，则，则表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。若若 是右边信号是右边信号,在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：性质性质4的证明：的证明：第12页，共38页，编辑于2022年，星期二例例1.考查零点，令考查零点，令有极点有极点 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点
10、相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。得得（k为整数）为整数）第13页，共38页，编辑于2022年，星期二当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不存在。不存在。例例2.第14页，共38页，编辑于2022年，星期二 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的极的极点分割的。点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：3.双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的可以是任意两相邻极点之间的带形区域。带形区域。2.左边信号的左边信号的ROC一定位于一定位于
11、 最左边最左边极点的左边。极点的左边。1.右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右边最右边极点的右边。极点的右边。第15页，共38页，编辑于2022年，星期二例例3.可以形成三种可以形成三种 ROC：1)ROC：2)ROC：3)ROC：此时此时 是是右边信号右边信号。此时此时 是是左边信号左边信号。此时此时 是是双边信号双边信号。第16页，共38页，编辑于2022年，星期二对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。1.将将 展开为部分分式。展开为部分分式。v 部分分式展开法：部分分式展开法：3.利用
12、常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一对每一项进行反变换。项进行反变换。2.根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC。9.3 拉普拉斯反变换的求法拉普拉斯反变换的求法第17页，共38页，编辑于2022年，星期二极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。例例1.右边信号右边信号左边信号左边信号双边信号双边信号第18页，共38页，编辑于2022年，星期二例例2.思考题：对于本例中的思考题：对于本例中的X(s),若收敛域分别为：若收敛域分别为：(a)Res-1;(b)Res-2,求这两种情况下的求这两种
13、情况下的x(t)？1 12 2ROC1、ROC2必须各自包含必须各自包含ROC第19页，共38页，编辑于2022年，星期二可以用零极点图表示可以用零极点图表示 的特征的特征。当。当ROC包括包括轴时，以轴时，以 代入代入 ，就可以得到，就可以得到 。以。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得求得 的特性。这在定性分析系统频率特性的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。时有很大用处。9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值第20页，共38页，编辑于2022年，星期二1.单零点情况：单零点情况：矢量矢量 称为称为零点矢量
14、零点矢量，它的长度，它的长度 表示表示 ,其幅角即为其幅角即为 。0 零点零点 ,要求出要求出 时的时的 ，可以，可以作两个矢量作两个矢量 和和 ，则，则 。第21页，共38页，编辑于2022年，星期二极点极点 直接由极点向直接由极点向 点作矢量（称为点作矢量（称为极点矢量极点矢量），），其长度的倒量为其长度的倒量为 ,幅角的负值为幅角的负值为 。2.单极点情况：单极点情况：0第22页，共38页，编辑于2022年，星期二对对s s平面任意一点平面任意一点s s1 1有有:3.一般情况：一般情况：即：从所有零点向即：从所有零点向 点作点作零点矢量零点矢量，从所有极点向，从所有极点向 点点作作极点
15、矢量极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为量的长度之积即为 。所有零点矢量的幅角之和减。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为去所有极点矢量的幅角之和即为 。当当 取为取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。考查考查 在在 轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化的变化，即可得出，即可得出 的幅频特性和相频特性。的幅频特性和相频特性。第23页，共38页，编辑于2022年，星期二例例1.画出信号画出信号 的幅频特性和相频特性的幅频特性和相
16、频特性包含包含 轴轴幅频特性：幅频特性：是是 的偶函数，的偶函数，时，取最大值时，取最大值1 1，随着随着 ，单调下降，单调下降，时，时，下降到最大值的下降到最大值的相频特性：相频特性：是是 的奇函数，的奇函数，时，时，随着随着 ，趋于趋于 ，趋于趋于第24页，共38页，编辑于2022年，星期二则则ROC至少是至少是9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于重于ROC的讨论。的讨论。1.线性：线性：若若第25页，共38页，编辑于2022年，星期二而而ROC扩大为整个扩大为整个S平面。平面。当当 与
17、与 无交集时，表明无交集时，表明 不存在。不存在。例例.（原因是出现了零极（原因是出现了零极点相抵消的现象）点相抵消的现象）第26页，共38页，编辑于2022年，星期二2.时移性质时移性质:若若ROC不变不变则则3.S域平移域平移:若若则则 表明表明 的的ROC是将是将 的的ROC平移了一平移了一个个 。这里是指。这里是指ROC的边界的边界平移平移。第27页，共38页，编辑于2022年，星期二例例.显然显然第28页，共38页，编辑于2022年，星期二 4.时域尺度变换时域尺度变换:若若则则当当 时时 收敛，收敛，时时 收敛收敛第29页，共38页，编辑于2022年，星期二 可见：可见：若信号在时
18、域尺度变换，其拉氏变换的若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在在S平面上作相反的尺度变换。平面上作相反的尺度变换。特例特例例例.求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC第30页，共38页，编辑于2022年，星期二如果如果 是实信号，且是实信号，且 在在 有有极点（或零点），则极点（或零点），则 一定在一定在 也有极点（或零点）。这表明：也有极点（或零点）。这表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。必共轭成对出现。当当 为实信号时，有：为实信号时，有：由此可得以下重要结论：由此可得以下重要结论：或或5.共轭对称共轭对称性性（Conjugation）：）：
19、若若则则第31页，共38页，编辑于2022年，星期二 6.卷积性质卷积性质:（Convolution Property）包括包括若若则则显然有显然有:例例.ROC扩大扩大原因是原因是 与与 相乘时，发生了零极点相抵消的现相乘时，发生了零极点相抵消的现象。象。当被抵消的极点恰好在当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。的边界上时，就会使收敛域扩大。第32页，共38页，编辑于2022年，星期二7.时域微分时域微分:（Differentiation in theTime Domain）ROC包括包括,有可能扩大。有可能扩大。若若则则 8.时域积分时域积分:（Integration i
20、n the Time Domain）若若包括包括则则包括包括证明：证明：第33页，共38页，编辑于2022年，星期二9.6 常用拉氏变换对常用拉氏变换对 第34页，共38页，编辑于2022年，星期二 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的双边拉氏变换。信号的双边拉氏变换。一一.定义定义:如果如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。拉氏变换是完全相同的。9.9 单边拉普拉斯变换（一般了解即可）单边拉普拉斯变换（一般了解即可）单边拉氏变换也同样存在单边拉氏变换也同样存在ROC R
21、OC。其。其ROCROC必然遵从因果信号双必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：边拉氏变换时的要求，即：一定位于最右边极点的右边。一定位于最右边极点的右边。正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其ROCROC。第35页，共38页，编辑于2022年，星期二做单边拉氏变换：做单边拉氏变换：例例1.做双边拉氏变换：做双边拉氏变换：与与 不同，是因为不同，是因为 在在 的部分的部分对对 有作用，而对有作用，而对 没有任何作用所致。没有任何作用所致。第36页，共38页，编辑于2022年，星期二做单边拉氏变换：做单边拉氏变换：做双边拉氏变
22、换：做双边拉氏变换：与与 相同，是因为相同，是因为 在在 的部分为的部分为0 0。例例2.t0 1第37页，共38页，编辑于2022年，星期二9.10 小结小结 Summaryv ROC 是双边拉氏变换的重要概念。离开了收敛是双边拉氏变换的重要概念。离开了收敛域域ROC，信号与双边拉氏变换的表达式将不再有一信号与双边拉氏变换的表达式将不再有一一对应的关系。一对应的关系。v 拉氏变换是傅氏变换的推广，在拉氏变换是傅氏变换的推广，在LTI系统分析中特系统分析中特别有用。它可以将微分方程变为代数方程，这对分析系别有用。它可以将微分方程变为代数方程，这对分析系统互联、系统结构、用系统函数表征系统、分析系统特统互联、系统结构、用系统函数表征系统、分析系统特性等都具有重要意义。性等都具有重要意义。第38页，共38页，编辑于2022年，星期二