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1、第九章 拉普拉斯变换第1页，本讲稿共100页9.0引言引言n连续时间对应的复频域是用直角坐标连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面，简称为表示的复数平面，简称为S平面或连平面或连续时间复频域（续时间复频域（s域）域）.S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 ,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。第2页，本讲稿共100页S平面S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集号集第3页，本讲稿共100页9.1拉氏变换拉氏变换一个信号一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：的拉氏变换定义如下：记作：记作：或或第4页，本讲稿共100页几个典型信号的拉
2、氏变换第5页，本讲稿共100页拉普拉斯变换的收敛域与零极点收敛域：收敛域：一般把使积分一般把使积分收敛的收敛的s值的范值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。第6页，本讲稿共100页ReReS-planeS-planeImIm-a-a第7页，本讲稿共100页零极点零极点n只要只要x(t)x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)X(s)就就一定是有理的一定是有理的,具有如下形式：具有如下形式：N(s)N(s)和和D(s)D(s)分别为分子多项式和分母多项式。分别为分子多项式和分母多项式。使使N(s)=0N(s)
3、=0的根为的根为X(s)X(s)的零点，在的零点，在s s平面上用平面上用“O”“O”表示。表示。使使D(s)=0D(s)=0的根为的根为X(s)X(s)的极点，在的极点，在s s平面上用平面上用“”“”表示。表示。第8页，本讲稿共100页例例ReIm12xx-1请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?第9页，本讲稿共100页9.2拉氏变换收敛域的性质拉氏变换收敛域的性质性质性质1:1:拉氏变换收敛域的形状：拉氏变换收敛域的形状：X(s)X(s)的的ROCROC在在s s平面内由平行于平面内由平行于jj轴的带状区域所组成。轴的带状区域所组成。S-planeReReReImImImRLLRReIms平
4、面第10页，本讲稿共100页性质性质2：对有理拉氏变换来说，：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。内不包括任何极点。性质性质3：如果：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，是有限持续期，并且是绝对可积的，那么那么ROC就是整个就是整个s平面。平面。ReIms平面第11页，本讲稿共100页性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 这条线位于ROC内，那么 的全部s值都一定在ROC内。ReIms平面第12页，本讲稿共100页性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 这条线位于ROC内，那么 的全部s值都一定在ROC内。x(t)T2te-0te-1tReIms平面第13页，本讲稿共10
5、0页性质性质6：如果：如果x(t)是双边信号，而且如果是双边信号，而且如果这条线位于这条线位于ROC内，那么内，那么ROC就一就一定是由定是由s平面的一条带状区域所组成，直线平面的一条带状区域所组成，直线位于带中。位于带中。第14页，本讲稿共100页S-planeReReReImImImRLLR第15页，本讲稿共100页性质性质7：如果：如果x(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的是有理的，那么它的ROC是被极点所界定或延伸到无限远。是被极点所界定或延伸到无限远。性质性质8 8：如果如果x(t)x(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)X(s)是有理的，若是有理的，若x(t)x(t)是
6、是右边信号，则其右边信号，则其ROCROC在在s s平面上位于最右边极点的右边；若平面上位于最右边极点的右边；若x(t)x(t)是左边信号，则其是左边信号，则其ROCROC在在s s平面上位于最左边极点平面上位于最左边极点的左边。的左边。第16页，本讲稿共100页n例例ReIms平面-2 -1求其可能有的所有的收敛域求其可能有的所有的收敛域-2 -1ReIms平面第17页，本讲稿共100页ReIms平面-2 -1ReIms平面-2 -1第18页，本讲稿共100页ReIms平面-2 -1-2 -1ReIms平面第19页，本讲稿共100页时域信号x(t)的特点拉氏变换X(s)的ROC有限长整个S平
7、面左边时间信号某一左半平面右边时间信号某一右半平面双边时间信号某一带状收敛域第20页，本讲稿共100页例：求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。解：解：第21页，本讲稿共100页9.3拉氏反变换拉氏反变换信号信号x(t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：利用傅立叶反变换：利用傅立叶反变换：两边同乘以两边同乘以est即可从拉氏变换中恢复即可从拉氏变换中恢复x(t)：第22页，本讲稿共100页n所有实信号所有实信号x(t)可以表示成复指数信号可以表示成复指数信号est的加权的加权。拉氏反变换公式表明：原函数拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像函数可以由它们的像函数X(s)乘以复指数信
8、号乘以复指数信号est后积分求得。后积分求得。拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于虚拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于虚轴的一条自下而上的直线。轴的一条自下而上的直线。ImRes平面第23页，本讲稿共100页一、求解拉氏反变换的方法一、求解拉氏反变换的方法1 1、留数定理；（这里不讨论）、留数定理；（这里不讨论）2 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未知的拉氏变换，或它们的反变换。知的拉氏变换，或它们的反变换。3 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分式展开、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分式展开法。法。第24页，本讲稿
9、共100页二、部分分式展开法求解拉氏反变换二、部分分式展开法求解拉氏反变换思路：思路：n单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有理函数，其收敛域也是单纯的。理函数，其收敛域也是单纯的。n单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它们单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每一项的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每一项复指数分量相应的收敛域的交集。复指数分量相应的收敛域的交集。第25页，本讲稿共100页部分分式展开的第一步是把分母N(s)进行因式分解，然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。第26页，本讲稿共10
10、0页一、假设信号一、假设信号x(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且分母多项没有多阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次（式的阶次高于分子多项式的阶次（有理真分式有理真分式），那么），那么X(s)就可以就可以展开成如下形式：展开成如下形式：第27页，本讲稿共100页例例：对对X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：ReIm-1xx-2X(s)的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示：分别对应什么时间信号？第28页，本讲稿共100页例例：对对X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：X(s)的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示：ReIm-1xx-2第
11、29页，本讲稿共100页设设：对对X(s)进行部分分式展开：进行部分分式展开：X(s)的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示：ReIm-1xx-2第30页，本讲稿共100页例：求x(t)解：解：先转换为真分式：先转换为真分式：故：故：第31页，本讲稿共100页例：已知：求x(t)将X(s)进行部分分式展开：第32页，本讲稿共100页第33页，本讲稿共100页二、二阶和高阶极点 当当N(s)0有有r重根，其余为单根的分解式为：重根，其余为单根的分解式为：第34页，本讲稿共100页例：已知：求x(t)将X(s)进行部分分式展开：第35页，本讲稿共100页故：故：则：则：第36页，本讲稿共
12、100页9.4由零极点图对傅立叶变换进行几何求值由零极点图对傅立叶变换进行几何求值n目的：目的：揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的关系。关系。n对于系统函数是有理函数的因果稳定对于系统函数是有理函数的因果稳定LTI系统，其收系统，其收敛域包括敛域包括s平面虚轴，那么系统的频率响应平面虚轴，那么系统的频率响应H(j)第37页，本讲稿共100页如果有理系统函数如果有理系统函数H(s)表示为表示为分别为零点和极点这类因果稳定这类因果稳定LTI系统的频率响应为：系统的频率响应为：第38页，本讲稿共100页根据复数的向量表示法，复数可用复平面上原点到该点
13、的向量来表示。可用复平面上原点到该点的向量来表示。按照向量和差运算法则，两个复数的差分别是s平面上点指向点指向点j的向量。的向量。第39页，本讲稿共100页零点指向点零点指向点j的向量为零点向量，记作的向量为零点向量，记作极点指向点极点指向点j的向量为极点向量，记作的向量为极点向量，记作幅频响应幅频响应H(j)：第40页，本讲稿共100页例：求其幅频特性与性与相频特性曲线第41页，本讲稿共100页第42页，本讲稿共100页9.5拉氏变换的性质拉氏变换的性质一、线性一、线性则则ROC但有时候会扩大但有时候会扩大第43页，本讲稿共100页例：已知：求：求：X(s)解：解：第44页，本讲稿共100页
14、二、时移性质二、时移性质例：例：求：X(s)解：解：第45页，本讲稿共100页三、三、S域平移域平移例：例：求：求：X(s)解：已知解：已知则则同理：同理：第46页，本讲稿共100页四、时域尺度变换四、时域尺度变换五、共轭五、共轭注：若x(t)为实函数，如果X(s)有一个极点或零点为复数在s=s0处，那么X(s)也一定有一个复数共轭的 极点或零点，且对于X(s)的部分分式展开式中的系数也互为共轭。第47页，本讲稿共100页六、卷积性质六、卷积性质那么那么七、时域微分七、时域微分但但ROC有可能扩大有可能扩大第48页，本讲稿共100页八、八、s域微分域微分九、时域积分九、时域积分第49页，本讲稿
15、共100页例：求的拉氏变换解：解：故：故：推广：推广：及：及：故：故：第50页，本讲稿共100页例：关于一个拉氏变换为X(s)的实信号x(t)给出下列条件：1、X(s)只有两个极点；2、X(s)在有限s平面没有零点；3、X(s)有一个零点在-1+j；4、e2tx(t)不是绝对可积；5、X(0)=8求X(s)第51页，本讲稿共100页解：由（1）由（2）由（3）由（4）不含不含j轴轴由（5)得：第52页，本讲稿共100页十、初值和终值定理十、初值和终值定理则则若若t0，x(t)=0且在且在t=0不包括任何冲激或高阶奇异函不包括任何冲激或高阶奇异函数，则数，则初值定理所得到的初值都是初值定理所得到
16、的初值都是x(t)在在t=0+时刻的值，而时刻的值，而不是在不是在t=0或或t=0-时刻的值。时刻的值。sX(s)的收敛域一定要包含j轴第53页，本讲稿共100页例：求该信号的终值解：当解：当a0时，收敛域不包括时，收敛域不包括j，故：，故：不存在不存在第54页，本讲稿共100页9.6常用拉氏变换对常用拉氏变换对nP499表9.2。第55页，本讲稿共100页9.7 用拉氏变换分析与表征LTI系统利用卷积性质，有：利用卷积性质，有：H(s)为系统函数或转移函数。第56页，本讲稿共100页一、因果性一、因果性一个因果系统的系统函数的一个因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面。是某个右半平面。对于
17、一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于等效于ROCROC位于最右边极点的右边的右半平面。位于最右边极点的右边的右半平面。第57页，本讲稿共100页例例有一系统，其单位冲激响应为有一系统，其单位冲激响应为其系统函数和其系统函数和ROC为：为：系统函数是有理的，系统函数是有理的，ROC是右半平面，所以系统是因果的。是右半平面，所以系统是因果的。例例考虑下面系统函数考虑下面系统函数请问该系统是因果的吗？请问该系统是因果的吗？第58页，本讲稿共100页例例有一系统，其单位冲激响应为有一系统，其单位冲激响应为其系统函数和其系统函数和ROC为
18、：为：ROC 不是右半平面，不是因果的不是右半平面，不是因果的 第59页，本讲稿共100页二、稳定性二、稳定性定理一：当且仅当系统函数定理一：当且仅当系统函数H(s)的的ROC包括包括j轴轴即：即：Res=0时，一个时，一个LTI系统就是稳定的。系统就是稳定的。ReImxs=jws-plane系统系统稳定稳定h(t)绝绝对可对可积积H(j)收敛收敛第60页，本讲稿共100页例：考虑一LTI系统，系统函数ReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-plane因果、不稳定系统非因果、稳定系统反
19、因果、不稳定系统第61页，本讲稿共100页定理二：一个具有有理系统函数定理二：一个具有有理系统函数H(s)的因果的因果LTI系统，当且仅当系统，当且仅当系统函数系统函数H(s)的全部极点都位于的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部平面的左半平面时，也即全部极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。ReImxxs=jws-plane第62页，本讲稿共100页例：例：ReIm-1xx-2s=jws-plane收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。第63页，本讲稿共100页例：已知一因果LTI系统的系统函数如下问：讨论该系统的稳定
20、性问：讨论该系统的稳定性解：该系统的零极点图为：解：该系统的零极点图为：收敛域不包括虚轴，故该系统是不稳定的。收敛域不包括虚轴，故该系统是不稳定的。由于是因果系统，则其收敛域为：由于是因果系统，则其收敛域为：第64页，本讲稿共100页三、由线性常系数微分方程表征的三、由线性常系数微分方程表征的LTI系统系统第65页，本讲稿共100页例：已知一因果LTI系统，其微分方程为：求（1）系统函数H(s)（2）若输入信号x(t)为e-tu(t),求y(t)（3）若输入信号x(t)为e2t,求y(t)第66页，本讲稿共100页解：（1）（2）(3)根据特征函数特征值的概念：根据特征函数特征值的概念：第67
21、页，本讲稿共100页9.8系统函数的方框图与信流图表示系统函数的方框图与信流图表示一、一、LTI系统互联的系统函数系统互联的系统函数H1(s)H2(s)xyw第68页，本讲稿共100页反反馈馈互互联联实际例子：实际例子：控制飞机的副翼，使其沿着特定的轨迹飞行等。控制飞机的副翼，使其沿着特定的轨迹飞行等。H2(s)H1(s)xyw+-+第69页，本讲稿共100页二、微分方程、有理系统函数、因果LTI系统的方框图表示第70页，本讲稿共100页2 系统的信号流图表示对于比较大的系统，如果用方框图的方式就比较麻烦，而由上面的讨论可知，一个系统的特性完全由其子系统的系统函数以及各个子系统之间的连接方式所
22、决定。因此可以将方框图简化，用系统的信号流图来表示。第71页，本讲稿共100页信号流图中的一些术语：节点：表示系统中变量或信号的点：X(s)、Y(s)、x2源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号；阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号；支路：连接两个节点之间的定向线段，支路的增益即为其转移函数。转移函数：两个节点之间的增益：b0、b1第72页，本讲稿共100页通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（注意：不允许有相反方向支路存在）前向通路：从源点到阱点方向的通路上，通过任何节点不多余一次的全部路径；闭合通路：通路的终点为通路的起点，且与任何其它节点相交不多于一次，又称为环路；前向
23、通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积；环路增益：环路中各支路转移函数的乘积；不接触环路：两环路之间无任何公共节点；第73页，本讲稿共100页信号流图的性质：信号流图的性质：1）信号只能沿着支路上的箭头方向通过；信号只能沿着支路上的箭头方向通过；2）节节点点可可以以将将所所有有输输入入支支路路的的信信号号叠叠加加，并并把把总总和和信信号号传传送到所有输出支路；送到所有输出支路；3）具具有有输输入入和和输输出出支支路路的的混混合合节节点点，可可通通过过增增加加一一个个具具有有单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理；单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理；4）给定的系统，其流图形式不唯一；
24、给定的系统，其流图形式不唯一；5）流图转置后，其转移函数保持不变；流图转置后，其转移函数保持不变；第74页，本讲稿共100页3：信号流图的简化梅逊公式：gk：表示由源点到阱点之间第：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的增益；条前向通路的增益；k：称称为为对对于于第第k条条前前向向通通路路特特征征行行列列式式的的余余因因子子,是是除除去去与与第第k条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式其中：其中：称为流图的特征行列式：称为流图的特征行列式：k：表示由源点到阱点之间第：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号；条前向通路的标号；第75页，本讲稿共100
25、页例：例：第76页，本讲稿共100页例：有一因果系统的微分方程为：求（1）系统函数H(s)（2）画出信流图。第77页，本讲稿共100页第78页，本讲稿共100页例.一个LTI系统，其系统函数为：当x(t)=e-tu(t)时，y(t)=(e-t-e-2t)u(t)1.求出具有这一特性的系统函数H(s)。做零极点图、标收敛域，并判定因果性、稳定性。2.求该系统的冲击响应h(t)。3.求出描述该系统的数学模型（常系数微分方程）4.画出该系统的信号流程图与方框图。5.若输入x(t)e2t，求输出y(t)。第79页，本讲稿共100页解：（1）因果性：该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数因果性：
26、该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数为有理函数，故其是因果的；为有理函数，故其是因果的；稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（j轴），故是稳定的。轴），故是稳定的。第80页，本讲稿共100页（4）方框图与信流图：）方框图与信流图：（5）若输入信号为）若输入信号为e2t，则响应为：，则响应为：(2)(3)单位冲激响应：微分方程：微分方程：第81页，本讲稿共100页一、定义根据时间变量根据时间变量t 取值范围的不同，拉氏变换有双边拉氏变换和单边取值范围的不同，拉氏变换有双边拉氏变换和单边拉氏变换之分。如果拉氏变换之分。如果t 的取值范围是从的取值范围是从-到到+
27、，则称为双边拉氏变换；，则称为双边拉氏变换；如果如果t 的取值范围是从的取值范围是从0-到到+，则称为单边拉氏变换，其定义式为，则称为单边拉氏变换，其定义式为:9.9 单边拉普拉斯变换单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应！单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应！第82页，本讲稿共100页n双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域的双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域的不同不同因此，对于单边拉氏变换，常常不标出它的收敛域。因此，对于单边拉氏变换，常常不标出它的收敛域。此外，在某些性质上两者之间也略有差异。此外，在某些性质上两者之间也略有差异。单边拉氏变换
28、的收敛域只有两种可能：单边拉氏变换的收敛域只有两种可能：要么在最右边极点右边的要么在最右边极点右边的s平面，要么是整个平面，要么是整个s平面。平面。第83页，本讲稿共100页n例例考虑信号考虑信号x(t)这个信号的双边拉氏变换为：这个信号的双边拉氏变换为：这个信号的单边拉氏变换为：这个信号的单边拉氏变换为：第84页，本讲稿共100页n对于在对于在t 0-具有相同函数表达式，而在具有相同函数表达式，而在t0-时却并不相同的时却并不相同的任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们的双边拉氏任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们的双边拉氏变换却各不相同。变换却各不相同。对于任何因果时间函数，
29、单边拉氏变换起到了双边拉氏变换对于任何因果时间函数，单边拉氏变换起到了双边拉氏变换相同的作用。相同的作用。第85页，本讲稿共100页二、性质二、性质nP517表表9.3。单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：时域微分时域微分第86页，本讲稿共100页单边拉氏变换的时域微分性质单边拉氏变换的时域微分性质第87页，本讲稿共100页例：已知一系统的微分方程为：例：已知一系统的微分方程为：求分别输入求分别输入时的输出时的输出y(t)。解：解：第88页，本讲稿共100页解：(1)对方程两边同时进行单边拉氏变换：第89页，本讲稿共100页（一）、元件的复频域模型1、电
30、阻三、应用拉氏变换分析电路第90页，本讲稿共100页2、电容第91页，本讲稿共100页3、电感第92页，本讲稿共100页当元件初始储能为零时：第93页，本讲稿共100页（二）、线性电路的分析1、分析步骤u计算 及 ；u将元件换为复频域模型，绘运算电路u据一般的电路分析方法对运算电路进行分析，计算出响应的象函数u据拉氏变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应第94页，本讲稿共100页例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压u(t)u(t)。求输出电。求输出电压压v vR R(t)(t)的初值的初值v vR R(0)(0)和终值和终值v vR R()()。CvR(t)+u(t)_ R -解：解：利用初值定理：利用初值定理：利用终值定理：利用终值定理：第95页，本讲稿共100页例、求电路的零状态响应 运算电路第96页，本讲稿共100页其中其中第97页，本讲稿共100页例、已知：求：全响应运算电路据节点法：第98页，本讲稿共100页第99页，本讲稿共100页例：一因果的LTI系统的系统函数，试求：（1）画出该系统的零极点图、以及ROC，并判断其稳定性；（2）求其单位冲激响应h(t)。（3）求出描述该系统的微分方程；（4）画出该系统的方框图；（5）若输入信号是e3t,求响应y(t)第100页，本讲稿共100页