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1、1.1 空间向量及其运算 知识梳理1、空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2、空间向量的有关定理（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点（2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb. 在空间中P，A
2、，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点3、空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b.（2）空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.知识典例题型一 空间向量基本关系例1向量互为相反向量，已知3，则下列结论正确的是（ ）AB为实数0C 与方向相同D3【答案】D【详解】向量互为相反向量，则模相等、方向相
3、反.故选：D.巩固练习1、下列说法正确的是（ ）A任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底中基向量与基底基向量对应相等【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断选项可解.【详解】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.项，空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.2、在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1
4、C2D3【答案】A【详解】若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以错；因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以错；若、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、三向量不一定共面；所以错；若三向量、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以错.故选：A.题型二 空间向量的表示例 2如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD【答案】C解：因为，所以，在平行六面体中，故选：C【点睛】巩固练习1、在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）ABCD【答案】B解：在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B
5、.2、在四面体中，、分别是、的中点，若记，则_.【答案】解：在四面体中，、分别是、的中点，则.故答案为：.题型三基底问题例 3（多选）设，是空间一个基底，则( )A若，则B则，两两共面，但，不可能共面C对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使D则，一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.对于B选项，根据基底的概念可知，两两共面，但，不可能共面.对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.对于D选项，由于，是空间一个基底，所以，不共面.假设，共面，设，化简
6、得，即，所以，共面，这与已知矛盾，所以，不共面，可以作为基底.所以D选项正确.故选：BCD巩固练习1、有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是（ ）ABCD【答案】C如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；这是正确的已知向量是空间的一个基底，则向量不共面，也是空间的一个基底；
7、所以正确故选：C2、下列关于空间向量的命题中，正确的有_.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；若非零向量，满足，则有；若，是空间的一组基底，且，则，四点共面；若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.【答案】【解析】【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.【详解】对于：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故正确；对于：若非零向量，满足，则与不一定共线，故错误；对于：若，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，四点共面，故正确；对于：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，则，也是空间的
8、一组基底，故正确.故答案为：题型四共面问题例 4已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，则的值是( )A1B0C3D【答案】D【解析】试题分析：因，则M、A、B、C四点共面，必有，解得，故选D考点：空间向量的共面问题巩固练习1、已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为()A，B，C，D，【答案】A由于，所以.故选：A【点睛】2、设是平面内不共线的向量，已知若A，B，D三点共线，则_.【答案】【解析】【分析】由A、B、D三点共线、共线向量定理得关于的方程，即可得答案；【详解】，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得，故答案为：.题型四数量积
9、例 4已知a、b是异面直线，且ab，分别为取自直线a、b上的单位向量，且，则实数k的值为_.【答案】6【解析】【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；【详解】由，得，.故答案为：6.巩固练习如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.【答案】答案见解析【解析】【分析】运用向量的减法表示向量，再由向量数量积的定义分别求和可得答案.【详解】，|cos|cos84cos 13586cos 1202416.题型五异面直线夹角例 5平面ABC，且ABC是B90
10、的等腰直角三角形，AB、BC的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线与AC所成的角.【答案】60【解析】【分析】根据几何体的特点，利用向量法求得，以及对应的模长，则问题得解.【详解】如图所示.因为故因为ABBC，BB1AB，BB1BC，故故又故.而，故可得，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1与AC成60角.巩固练习如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，求异面直线与所成角的余弦值【答案】【分析】根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】因为，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为题型六线段长度求解例 6 已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个
11、半平面内，且都垂直，已知，则_【答案】【解析】，所以 ，所以，故填：.巩固练习已知平行六面体，设，；（1）试用、表示；（2）求的长度；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，由此能求出结果（2）由，由此能求出的长度【详解】解：（1）（2），设，；，的长度为题型七共面证明例 7 如图，已知、为空间的个点，且，.求证：（1）、四点共面，、四点共面；（2）；（3）.证明：（1），A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面（2），.（3）.巩固练习如图，点M，N分别在对角线上，且求证：向量共面【答案】证明见解析.【分析】由题意，在上取点，使，从而可证，从而可证向量，共面【
12、详解】证明：如图，在上取点，使，又，又，同理，故由、共面可知，向量，共面巩固提升1、下列命题中，假命题是（ ）A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等【答案】D【详解】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.2、对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ）A四点，必共面B四点，必共面C四点，必共面D五点，必共面【答案】B【解析】
13、【分析】根据题意，得到，判定，共面，进而可得出结果.【详解】因为，所以，即，根据共面向量基本定理，可得，共面，所以，四点共面故选：B3、在下列命题中：若向量共线，则所在的直线平行；若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对
14、于：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A4、设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()ABCD【答案】C选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D中，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.5、如图，在空间四边形ABCD中，（ ）AB1C0D不确定【答案】C【详解】.故选：C.6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设,A1C1与B1D1的交点为E,则=_.【答案】-a+b+c【详解】如图,)=)= 故答案为 7、在四棱锥中，底面ABCD是正
15、方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_【答案】【详解】解：=(+)= +)= +=故答案为：.8、若，,若不共面,当时,+=_.【答案】3【解析】【分析】由已知,所以故有+=3.【详解】由已知,所以故有+=3.故答案为39、如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，表示和 【答案】；【解析】【分析】根据向量的加法、减法法则及已知条件，先求出，再结合图形，运用向量加法，用空间向量基本定理表示出待求向量【详解】因为M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，所以，所以=；=10、如图所示，在平行六面体中，是的中点，是的中
16、点，是的中点，点在上，且用基底表示以下向量.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.连接（1）是的中点（2）是的中点（3）是的中点（4）点在上，且【点睛】本题考查空间向量基本定理，属于基础题11、如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）.解：（1），又，同理可得， 则（2）因为，所以，因为，所以则异面直线与所成角的余弦值为12、已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.（1）求AC的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），再利用向量模的运算即可求解.（2）利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值.【详解】（1）可得，+2（）42+32+52+2（430+4）85故AC的长等于（2）由（1）可知，故（）（）又5故与的夹角的余弦值