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1、在数学教学中培养学生的创造性思维在数学教学中培养学生的创造性思维在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。要培养学生的创造性思维，就应该有与之相适应的，能促进创造性思维培养的教学方式。当前，数学创新教学方式主要有以下几种形式：1 、开放式教学。这种教学在通常情况下，由教师通过开放题的引进，在学生参与下解决，使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放，一个问题可以有不同的结果；二是方法开放，学生可以用不同的方法解决这个问题；三是思路开放，强调学生解决问题时的不同思路。2 、活动式教学。这种教学模式主要是让学生进行
2、适合自己的数学活动，包括模型制作、游戏、行动、调查研究等，使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。3 、探索式教学。采用“发现式” ，引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、问题的解决等过程。要培养学生的创造思维能力，应当在数学教学中充分有效地结合上述三种形式（但不限于这三种形式） ，通过逐步培养学生的以下各种能力来实现教学目标：一 、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？第一，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。第二，要在观察中及时指导。比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法
3、，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入地观察。第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣。二、培养领悟力。数学领悟力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来的。在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识，并能熟练的掌握数学的基本方法和基本技能，通过培养学生的领悟能力，优化学生的数学思维品质，让学生达到“真懂”的地步。例如：上圆锥曲线复习课时，当复习完椭圆、双曲线、抛物线的各自定义及统一定义后，突然有一学生提问：平面内到两定点 F1，、F2的距离的积等于常数的点的轨迹是什么？这一意料外的问题使思路豁然开朗，我们也
4、可以顺势提出以下问题引导学生，让学生探索：问题 1 平面内到两定点 F1，、F2的距离的积、商等于常数的点的轨迹是什么？问题 2 平面内到定点 F的距离与到定直线 L 的距离的和等于常数的点的轨迹是什么？若联想到课本第 61 页第 6 题（两个定点的距离为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26，求点的轨迹方程） ，还可以提出下列问题：问题 3 平面内到两定点 F1，、F2的距离的平方积、商分别等于常数的点的轨迹是什么？问题 4 平面内到定点 F 距离的平方与到定直线 L 的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么？三、培养想象力。想象是思维探索的翅膀。数学想象一般有以下几个基本要素。第一
5、，要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二，要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三，要有执著追求的情感。因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。其次，根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等。例如在一节高三复习课上，我准备用一题多解的开放视角引导学生探索如下的问题：abbaba121111, 11, 1122求证：已知：，在教师的点评帮助下，学生给出了四种不同的证法：作差比较法、综合法、分析法、三角换元法。教师对此感到满意，也潜意识认为没有其他证法了。但此时学生的思维大门已经开启
6、，有的学生还想跃跃欲试，学生 1 展示了他的新探究： ,1116422aaaa ,1116422bbbb又 abbabaabbabaabbabababa12)1 (22222,)()()(211113322332266442222用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新，应该说思维非常巧妙。 学生 2 同样展示了他的新探究：, 10ba、不等式条件可加强),cos(|,2cos|,2cos|,40,1 ,1 ,1|,| |,|), 1 (), 1 (), 1 (), 1 (21212122121121212121112121221221212121yxyxyyyxxxxyxxyxa
7、byybxxayyxxbybyaxax、，则有轴夹角为与，轴夹角为与设则设221121222cos|12cos|11111yxba2121212211212cos2cos|2cos|2cos|yxyx)cos(|22cos2cos|2cos|2cos|)cos(|11121212121212211212121yxyxyxyxab只需证明，只需证明：即证明：)cos(2cos2cos|22cos2cos|2,2cos2cos|22cos|2cos|)cos(2cos2cos|22cos|2cos|21211121112111221121212111221121yxyxyxyxyxyx，得证。即证
8、明：即证明：，）（即证明：，即证明即证明：)22cos(1,2cos2cos22sin2sin2cos2cos12cos2cos222cos12cos2cos)(cos2cos2cos)cos(212121212121212122121用向量来证明不等式，也是方法上的创新，这两种证法都体现了学生的大胆想象力、探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。有时候，学生的想象力可能是“天马行空” ，甚至是荒唐的，这时候教师还要注意引导：解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多走了哪些思维回路？思维、运算能否
9、变得简洁？是否有方法的创新？能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究，梳理知识的系统性？能否加强知识的横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，得到一些重要的结果，有规律性的发现？能否形成独到的新见解，有自己的小发明？等等。通过不断地想象，让学生的思维能够持续飞翔，从而不断培养学生丰富的想象力。四、培养发散思维。在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等。特别是近年来，随
10、着开放性问题的出现，不仅弥补了以往习题发散训练的不足，同时也为发散思维注入了新的活力。下面是我在教学实践中遇到的一个例子，事情缘起于一本教辅读物的一个练习题：求 f(x),使 f(x)满足 ff(x)=x+2 (1)，书后的答案是 f(x)= x+1。该题本意是在学生学习了函数的基本概念之后，通过一次函数复合的具体例子，让学生体会复合函数的概念。这样的设计思想是不错的，但是题目中没有明确给出“f(x)是一次函数”的条件，给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被告之应加上“f(x)是一次函数”的条件后，许多学生认为“f(x)是一次函数”的条件可由（1）推出，有些学生则认为根据不充分。在这样
11、的情况下，求出函数方程（1）的一个非线性解的兴趣被唤起，我不愿放过这样一个能让学生开阔数学眼界，提升思维深度的大好机会。于是，我开始探究能否构造一个满足（1）的非线性函数的例子。在具体进行构造之前，有必要了解 f(x)的一些基本性质，以便构造时有正确的方向。由（1）知，f(x)定义域和值域都是一切实数；如果有 x1,x2使 f(x1)=f(x2) ，则 f(f(x1)=f(f(x2)；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)= f。(f。f)(x)，由此得到 f(x+2)=f(x)+2（2）因此，我们只要对满足 0 x2 的实数 x 定义 f(x)，然后按照（2）将 f(x)的定义延拓到整
12、个实数轴上即可。令)(x为任意一个定义域和值域都为开区间（0，1）的有反函数的函数，它的反函数记为)(1x。下面 k 总表示整数，定义 f(x)如下：1）定义 f(k)=k+1，kZ；2）若 2kx2k+1，定义 f(x)=2k+1+)2(kx ；3）若 2k+1x2k+2，定义 f(x)=2k+2+)12(1kx；命题：如此定义的函数 f(x)满足函数方程 ff(x)=x+2.1) 12(022122222)2(22)12()(22)(22)(12)2(12)(1)2(012012211kxkxkxkxkkxkkxfkxffkxfkkxkxfkxkxkxkx，则同理，若，从而故，由于，则，。
13、如是整数，命题显然成立证明：若证毕。，从而，也即故，由于此时. 2) 12(32)12(32)1(2)(1) 1(2)(1) 1(2)() 1(232)(22)12(22)(1)12(0111xkxkkxkkxfkxffkxfkkxfkkxkxfkx在上面的函数中，函数的选取有很大的任意性。下面是几个例子：例 1如取(x)=x (0 x1)，容易验证此时 f(x)=x+1 例 2如取(x)=x 2 (0 x1)和xx )(1 (0 x1)，则 f(x)为非线性函数。例 3可以构造逐段线性函数 f(x)，如取121,2123210 ,2)(xxxxx五、培养（诱发）学生的灵感。在教学中，教师应及
14、时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。例如在一次不等式证明的复习课中，我举了这样一个例题：11,1abbaba求证：已知：。问题的叙述如此简洁！要证明这个不等式成立，似乎无从下手。但我让学生观察不等式的结构形式指数式，指数式怎么办？这时有学生说：化成对数式。这时我捕捉了学生的这一想法：,1,lg)(11lglg11lglg11lglg) 1 (),1.(1lg1lglg) 1(lg) 1(11作图由于是设斜率公式。你想起了什么？直线的表达式，式变形成：，你就豁然开朗了。如果再作一点变化的话这个不等式好啊！由baxxfaabbaabbaabaabbaab 吗？，这不就证明了如图，易知11abBCACbakk在分析中寻找解题的灵感，在转化中获取解题的信息，应用数形结合，于是活的解法也就脱颖而出。