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1、上海市闸北区2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请把正确答案填在括号内.】1如果两个相似三角形对应中线之比是1：4，那么它们的周长之比是( )A1：2B1：4C1：8D1：162已知线段MN=6cm，点P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是( )cmA93B33C31D33如图，点P为ABC的AB边上一点（ABAC），下列条件中不一定能保证ACPABC的是( )AACP=BBAPC=ACBC=D=4若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是( )A=B=C|=|D=15在RtABC
2、中，C=90，那么下列关系中，正确的是( )Ac=asinABc=atanACc=Dc=6如图，在RtABC中，C=90，BC=6，AC=8，四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为( )A16：12：9B16：9：25C9：12：16D3：4：5二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7如果=，那么=_8已知线段a=15cm，c=4cm，则a和c的比例中项b=_cm9在ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DEBC，如果AD=3，DB=2，那么=_10两个相似三角形，相似比是1：2，且两三角形面积之差是30，则较大三角形面积是_11如图，在ABC中，1=A，若B
3、D=2，AD=3，则BC=_12如图，ABEFCD，AB=3，CD=7，AE：ED=1：3，则EF的长度为_13如图，已知点G是ABC的重心，过点G作DEBC，分别交边AB、AC于点D、E，那么用向量表示向量为_14如图，在ABC中，AB=AC=4，A=30，那么SABC=_15如图，在平面直角坐标系内，若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），且经过点B（4，4），O为坐标原点，则cosBAO的值是_16如图，梯形ABCD中，ABCD，AB=2，CD=3，若SAOB=1，则S梯形ABCD=_17如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADB=45，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合
4、，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=6，BC=14，那么cotC=_18等腰ABC底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以1cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，那么点P运动的时间为_ 秒三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19求值：20计算：（2+3）（6）21如图，已知平面内两个不平行的向量，求作：+2（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）22如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，BCAB，且ADBD，CD=2，求梯形ABCD的面积23如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E在对角线BD上，且DCE=ADB，如果BC=9，CD：
5、BD=2：3，求CE的长24如图，在一座高为10m的大楼顶C测得旗杆底部B的俯角为60，测得旗杆顶端A的仰角为20（1.73，tan200.3640）（1）求建筑物与旗杆的水平距离BD；（2）求旗杆高（精确到0.1m）25如图，在平面直角坐标系内，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为x轴负半轴上的一点，过点C作CDAB，垂足为D（1）求证：BODBAC；（2）若直线AB的解析式为y=x+m，OD=2，求AC的长度26（14分）如图，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G（1）若，求的值；（2）连接AG，
6、在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且ADG与CDF相似，求BF的长2015-2016学年上海市闸北区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请把正确答案填在括号内.】1如果两个相似三角形对应中线之比是1：4，那么它们的周长之比是( )A1：2B1：4C1：8D1：16【考点】相似三角形的性质【分析】由两个相似三角形对应中线之比是1：4，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，可求得其相似比，又
7、由相似三角形的周长比等于相似比，求得答案【解答】解：两个相似三角形对应中线之比是1：4，它们的相似比为1：4，它们的周长之比是1：4故选B【点评】此题考查了相似三角形的性质注意相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比2已知线段MN=6cm，点P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是( )cmA93B33C31D3【考点】黄金分割【分析】根据黄金比值是计算即可得到答案【解答】解：MP=6=（33）cm，故选：B【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样
8、的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比3如图，点P为ABC的AB边上一点（ABAC），下列条件中不一定能保证ACPABC的是( )AACP=BBAPC=ACBC=D=【考点】相似三角形的判定【分析】根据相似三角形的判定方法利用公共角A进行求解【解答】解：A=A，当APC=ACB或ACP=B或AC：AB=AP：AC或AC2=ABAP时，ACPABC故选C【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键4若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是
9、( )A=B=C|=|D=1【考点】*平面向量【分析】由向量与均为单位向量，可得向量与的模相等，但方向不确定【解答】解：向量与均为单位向量，|=|故选C【点评】此题考查了单位向量的定义注意单位向量的模等于1，但方向不确定5在RtABC中，C=90，那么下列关系中，正确的是( )Ac=asinABc=atanACc=Dc=【考点】锐角三角函数的定义【分析】根据锐角三角函数的定义对各个选项进行判断即可【解答】解：sinA=，a=csinA，A错误；B错误；cosA=，C错误，sinA=，c=，D正确，故选：D【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在RtABC中，C=90，则sinA=，cosA=
10、，tanA=6如图，在RtABC中，C=90，BC=6，AC=8，四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为( )A16：12：9B16：9：25C9：12：16D3：4：5【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】作CNAB，再根据GFAB，可知CGFCAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长，同理可得出AD及BE的长，进而得出结论【解答】解：作CNAB，交GF于点M，交AB于点N在RtABC中，AC=8，BC=6，AB=10，ABCN=BCAC，CN=，GFAB，CGFCAB，设正方形边长为x，则=，解得x=；GDAB，ADG=C，A=A，ADGACB，=，即=，解得
11、AD=；同理，即，解得BE=，AD：DE：EB=：=16：12：9故选A【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7如果=，那么=1【考点】比例的性质【分析】根据比例的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案【解答】解：由比例的性质，得x=1，故答案为：1【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出x=是解题关键8已知线段a=15cm，c=4cm，则a和c的比例中项b=2cm【考点】比例线段【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
12、得比例中项的平方等于两条线段的乘积设它们的比例中项是xcm，则x2=154，解得x=2（线段是正数，负值舍去），a和c的比例中项b=2；故答案为：2【点评】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数9在ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DEBC，如果AD=3，DB=2，那么=【考点】平行线分线段成比例【专题】计算题【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，由DEBC得到=，然后把AD=3，DB=2代入计算即可【解答】解：DEBC，=故答案为【点评】本题考查了平行线分线段成比
13、例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例10两个相似三角形，相似比是1：2，且两三角形面积之差是30，则较大三角形面积是40【考点】相似三角形的性质【分析】由两个相似三角形，相似比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为1：4，然后由两三角形面积之差是30，求得答案【解答】解：两个相似三角形，相似比是1：2，这两三角形面积比为1：4，设这两三角形面积分别为x，4x，两三角形面积之差是30，4xx=30，解得：x=10，较大三角形面积，40故答案为：40
14、【点评】此题考查了相似三角形的性质注意相似三角形的面积比等于相似比的平方11如图，在ABC中，1=A，若BD=2，AD=3，则BC=【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据1=A，B=B，证得CDBABC，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论【解答】解：1=A，B=B，CDBABC，即，BC=故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键12如图，ABEFCD，AB=3，CD=7，AE：ED=1：3，则EF的长度为4【考点】平行线分线段成比例【分析】过点A作AMBC，交EF于点M，交CD于点N由平行线分线段成比例定理得出比例式即可求
15、解【解答】解：过点A作AMBC，交EF于点M，交CD于点N如图所示：则NC=MF=AB=3DN=CDCN=73=4EFCD，=，EM=DN=1EF=EM+MF=1+3=4；故答案为：4【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，可以通过作平行线转化为三角形的问题解决13如图，已知点G是ABC的重心，过点G作DEBC，分别交边AB、AC于点D、E，那么用向量表示向量为【考点】*平面向量；三角形的重心【专题】计算题【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），求得|与|的数量关系，然后再根据平面向量与的方向来确定它们之间的关系【解答】解：连接AG，并延长A
16、G交BC于点FDEBC，AG：AF=DE：BC；又点G是ABC的重心，AG：AF=2：3，DE：BC=2：3；即|：|=2：3；向量与向量的方向相反，=；故答案为：【点评】本题主要考查了三角形的重心、平面向量在解答此题时要注意两点：三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即AG：GF=2：1，而不是AG：AF=2：1；平面向量是有方向的14如图，在ABC中，AB=AC=4，A=30，那么SABC=4【考点】含30度角的直角三角形；三角形的面积【专题】计算题【分析】过B作BDAC于D，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，根据三角形面积公式求出即可【解答】解：过
17、B作BDAC于D，BDAC，ADB=90，A=30，BD=AB=4=2，SABC=ACBD=42=4，故答案为：4【点评】本题主要考查对含30度角的直角三角形，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出高BD的长是解此题的关键15如图，在平面直角坐标系内，若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），且经过点B（4，4），O为坐标原点，则cosBAO的值是【考点】一次函数图象上点的坐标特征；锐角三角函数的定义【分析】过点B作BCx轴于C，则在RtABC中，AC=5，BC=4，所以由勾股定理求得AB的长度，由此可得cosBAC=【解答】解：过点B作BCx轴于C，则在RtABC中，AC=5，
18、BC=4，所以AB=，由此可得cosBAO=cosBAC=故答案是：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和锐角三角函数的定义解答本题要注意将所给条件放在直角三角形中进行分析解答16如图，梯形ABCD中，ABCD，AB=2，CD=3，若SAOB=1，则S梯形ABCD=【考点】梯形【分析】由梯形ABCD中，ABCD，可得AOBCOD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得=，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比，即可求得COD，AOD与BOC的面积，继而求得答案【解答】解：梯形ABCD中，ABCD，AOBCOD，AB=2，CD=3，=，SAOB：SCOD
19、=4：9，SAOB：SAOD=OB：OD=2：3，SAOB：SBOC=OA：OC=2：3，SAOB=1，SCOD=，SAOD=SBOC=，S梯形ABCD=SAOB+SCOD+SAOD+SBOC=1+=故答案为：【点评】此题考查了梯形的性质以及相似三角形的判定与性质注意掌握各三角形的面积关系是解此题的关键17如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADB=45，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=6，BC=14，那么cotC=【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】如图所示：AEBC，DFBC，由等腰梯形的性质可知：ABEDCF，四边形ADFE为矩形，可求得F
20、C=4，然后证明DBF=BDF=45，于是得到BF=DF，最后利用锐角三角函数的定义求解即可【解答】解：如图所示：AEBC，DFBC四边形ABCD是梯形，AEBC，DFBCAE=DF，ABEDCF，四边形ADFE为矩形FC=（BCEF）=4BF=10ADBC，ADB=45，DBF=45又DFB=90，DBF=BDF=45BF=DF=10cotC=故答案为：【点评】本题主要考查的是等腰梯形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，锐角三角函数的定义，求得DF和CF的长是解题的关键18等腰ABC底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以1cm/秒的速度运动，当点
21、P运动到PA与腰垂直的位置时，那么点P运动的时间为1.75或6.25 秒【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【专题】动点型【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：PAACPAAB，从而可得到运动的时间【解答】解：如图，作ADBC，交BC于点D，BC=8cm，BD=CD=BC=4cm，AB=5cm，AD=3cm，分两种情况：当点P运动t秒后有PAAC时，AP2=PD2+AD2=PC2AC2，PD2+AD2=PC2AC2，PD2+32=（PD+4）252，PD=2.25cm，BP=42.25=1.75=t，t=1.75秒，当点P
22、运动t秒后有PAAB时，同理可证得PD=2.25，BP=4+2.25=6.25=t，t=6.25秒，点P运动的时间为1.75秒或6.25秒故答案为：1.75或6.25【点评】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19求值：【考点】特殊角的三角函数值【专题】计算题【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可【解答】解：=1【点评】本题考查了特殊角的三角函数，是基础知识比较简单20计算：（2+3）（6）【考点】*平面向量【分析】先去括号，然后合并同类平面向量，即可求得答案【解答】解：（2+
23、3）（6）=2+33+=【点评】此题考查了平面向量的加减运算注意准确掌握去括号法则是解此题的关键21如图，已知平面内两个不平行的向量，求作：+2（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）【考点】*平面向量【分析】首先作=，=2，然后作向量，则=+2【解答】解：如图，作=，=2，则=+=+2，则即为所求【点评】此题考查了平面向量的作图注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键22如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，BCAB，且ADBD，CD=2，求梯形ABCD的面积【考点】梯形；解直角三角形【专题】计算题【分析】由AD=AB，A=90可得BD的长，又ADBC，可得BCD为等腰直角三角形，进而可求
24、解面积【解答】解：ABCD，BCAB，BCCDADBD，ABD+A=90又CBD+ABD=90，CBD=A，CD=2，BD=3，又，【点评】本题考查了梯形的性质及解直角三角形的知识，掌握直角梯形的性质，会在直角梯形中求解一些简单的计算问题23如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E在对角线BD上，且DCE=ADB，如果BC=9，CD：BD=2：3，求CE的长【考点】梯形【分析】先证明DCE=BDC，再由公共角，证明CDEBDC，得出对应边成比例，即可求出CE【解答】解：ADBC，ADB=CBD，DCE=ADB，DCE=CBD，又CDE=BDC，CDEBDC，=，即，CE=6【点评】本题考查了梯形
25、的性质、相似三角形的判定与性质；证明三角形相似是解决问题的关键24如图，在一座高为10m的大楼顶C测得旗杆底部B的俯角为60，测得旗杆顶端A的仰角为20（1.73，tan200.3640）（1）求建筑物与旗杆的水平距离BD；（2）求旗杆高（精确到0.1m）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】（1）首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边CE等价转换，解这两个三角形可得BD的值；（2）本题涉及到两个直角三角形，借助公共边CE等价转换，解这两个三角形可得AE、BE的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案【解答】解：（1）CBD=60，在RtBDC中，tanCBD=
26、BD=（m）（2）设CEAB，垂足为E，CE=BD=（m）在RtAEC中，tan=，AE=CEtan=tan202.1（m）AB=2.1+10=12.1（m），即旗杆高为12.1m【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形25如图，在平面直角坐标系内，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为x轴负半轴上的一点，过点C作CDAB，垂足为D（1）求证：BODBAC；（2）若直线AB的解析式为y=x+m，OD=2，求AC的长度【考点】一次函数综合题【分析】（1）先证明ECO=OAD，从而得到点A、C、O、D共圆，由圆周角定理可知A
27、CB=ODB，根据DBO=CBA，ACB=ODB可证明BODBAC；（2）由直线AB的解析式得到ABO=60，从而得到=，然后利用相似三角形的性质可求得AC的长【解答】解：（1）如图所示：CDAB，ADE=90EOC=ADE=90AED+EAD=90，CEO+ECO=90，AED=CEO，ECO=OADCOD和AOD在OD的同侧，且ECO=OAD，点A、C、O、D共圆ACB=ODB又DBO=CBA，BODBAC（2）直线AB的解析式为y=x+m，tanABO=ABO=60cosAOB=BODBAC，即解得：AC=4【点评】本题主要考查的是一次函数的应用、四点共圆、相似三角形的性质和判定、特殊锐
28、角三角函数值、圆周角定理的应用，证得点A、C、O、D共圆是解题的关键26（14分）如图，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G（1）若，求的值；（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且ADG与CDF相似，求BF的长【考点】相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例【专题】证明题；推理填空题【分析】（1）延长CE和DA，相交于M，根据平行线分线段成比例进行计算可以求出的值（2）根据对应线段的比相等可以得到AG与
29、DC的位置和数量关系（3）根据两三角形相似，对应线段的比相等，求出线段BF的长【解答】解：（1）BF：FC=1：3，设BF=k，则FC=3k，BC=4k，AD：BC=1：2，AD=2k，如图：延长CE交DA的延长线于点M，ADBC，且点E为边AB中点，AM=BC=4k，DM=DA+AM=2k+4k=6k，（2）AGDC，且证明：ADBC，AGDC（3）ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，BC=4，ADBC，ADG=DFC，ADGCDF，AGD=FDC或DAG=FDC情况1，当AGD=FDC时，有AGDC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，由得，AG=2ADG与CDF相似，且AGD=FDC，即，CF=3BF=1情况2，当DAG=FDC时，延长AG交BC于点T，可得ABTFCD，则，由ADBC得，设BF=x，可得FT=，整理得：2x24x+11=0，=16880，无实数根；BF=1【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）根据梯形的两底平行，延长CE和DA，运用平行线分线段成比例求出两线段的比（2）根据对应线段的比相等，证明两线段互相平行（3）根据两三角形相似，对应线段的比相等，求出线段BF的长23